运筹学所有内容讲课稿

1、Page 1运筹学所有内容运筹学所有内容Page 2Page 3Page 4Page 5Page 6运筹学（运筹学（Operations Research）系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。故有人称之为最优化技术。Page 7运筹学的历史运筹学的历史“运作研究运

2、作研究(Operational Research)小组小组”:解决复解决复杂的战略和战术问题。例如：杂的战略和战术问题。例如：如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；艇攻击时损失最少；1.在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。Page 8Page 9Page 10数学规划（数学规划（线性规划、整数规划、目标规划线性规划、整数规划、目标规划、动态、动态规划等）

3、规划等）图论图论存储论存储论排队论排队论对策论对策论排序与统筹方法排序与统筹方法决策分析决策分析Page 11先修课：先修课：高等数学，基础概率、线性代数高等数学，基础概率、线性代数特点：特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用运筹学的研究的主要步骤：运筹学的研究的主要步骤：真实系统真实系统系统分析系统分析问题描述问题描述模型建立模型建立与修改与修改模型求解模型求解与检验与检验结果分析与结果分析与实施实施数据准备数据准备Page 12Page 13运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：n 生产计划生产计划n

4、 运输问题运输问题n 人事管理人事管理n 库存管理库存管理n 市场营销市场营销n 财务和会计财务和会计另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。与评价，工程优化设计等。Page 14Interface上发表的部分获奖项目上发表的部分获奖项目组织组织应用应用效果效果联合航空公司联合航空公司在满足乘客需求的前提下，以最低成本进在满足乘客需求的前提下，以最低成本进行订票及机场工作班次安排行订票及机场工作班次安排每年节约成本每年节约成本600600万美元万美元CitgoCitgo石油公司石油公司优化炼油程序及产品供应

5、、配送和营销优化炼油程序及产品供应、配送和营销每年节约成本每年节约成本70007000万万AT&TAT&T优化商业用户的电话销售中心选址优化商业用户的电话销售中心选址每年节约成本每年节约成本4.064.06亿美元，销亿美元，销售额大幅增加售额大幅增加标准品牌公司标准品牌公司控制成本库存（制定最优再定购点和定购控制成本库存（制定最优再定购点和定购量确保安全库存）量确保安全库存）每年节约成本每年节约成本380380万美元万美元法国国家铁路公司法国国家铁路公司制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量每年节约成本每年节约成本15001500万美元，万美元，年收入大幅增加

6、。年收入大幅增加。Taco BellTaco Bell优化员工安排，以最低成本服务客户优化员工安排，以最低成本服务客户每年节约成本每年节约成本13001300万美元万美元DeltaDelta航空公司航空公司优化配置上千个国内航线航班来实现利润优化配置上千个国内航线航班来实现利润最大化最大化每年节约成本每年节约成本1 1亿美元亿美元Page 15“管理运筹学管理运筹学”2.02.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-10-1整数整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径

7、、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共决策分析、预测问题和层次分析法，共1515个子模块。个子模块。 LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用Page 171. 规划问题规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问

8、题。这就是规划问题。（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大. .）Page 18例例1.1 如图所示，如何截取如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最使铁皮所围成的容积最大？大？ x xa a xxav 220

9、 dxdv0)2()2()2(22 xaxxa6ax Page 19例例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？企业总的利润最大？ 设设 备备产产 品品 A B C D利润（元）利润（元） 甲甲 2 1 4 0 2 乙乙 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时 1

10、2 8 16 12Page 20解：设解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：Page 21Page 2200 )( )( (min) max12211112121112211 nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz)21(j 0 )21(i )( Z (min)max 11nxmbxaxcjnjijijnjjj 简写为：简写为：Page 23) (21ncccC nxxX1 mjjjaaP1 mbbB1 0 )( (min) maxXBxpCXzjj其中：其中：Page 24 mnmnaaaaA1111

11、 0 )( (min) maxXBAXCXZ其中：其中：) (21ncccC nxxX1 mbbB1Page 253. 线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式minjxbxatsxcZjnjijijnjjj, 2 , 1, 2 , 1, 0.max11 特点：特点：(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）目标函数求最大值（有时求最小值）(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零都大于或等于零(3) 决策变量决策变量xj为非负。为非负。Page 26 目标函数的转换目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则

12、可将目标函数乘以(- (-1)1)，可化为求极大值问题。，可化为求极大值问题。 jjxczmin也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。zz jjxczzmax即即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中：jxjjjxxx 0, jjxx 变量的变换变量的变换Page 27 约束方程的转换：由不等式转换为等式。约束方程的转换：由不等式转换为等式。 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为松弛变量称为松弛变量 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为剩余变量称为剩余变量 变量变量 的变换的变换 可令可令 ，显然，显然0 jxjjxx 0

13、jxPage 28例例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式 ,0,52324 7 532min321321321321321无无约约束束xxxxxxxxxxxxxxxZ用用 替换替换 ，且，且 解解:（）因为（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也可取负值，标准取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以型中要求变量非负，所以33xx 3x0,33 xxPage 29(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是“”号，在号，在“”左端加入松驰变量左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；化为等式；(3) 第二个约束条件是第二个约束条件是“”号，在号，在“

14、”左端减去剩余变量左端减去剩余变量x5，x50；(4) 第第3个约束方程右端常数项为个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以，方程两边同乘以(-1),将右将右端常数项化为正数；端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到得到max z=-z，即当，即当z达到最小值时达到最小值时z达到最大值，反之亦然达到最大值，反之亦然;Page 30 0,5 )(252 )( 7 )(500)(32max54332133215332143321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ标准形式如下：标准形式如下

15、：Page 314. 4. 线性规划问题的解线性规划问题的解 )3(, 2 , 1, 0)2(), 2 , 1(.) 1 (max11njxmibxatsxcZjnjijijnjjj线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组的方程组中找出一个解，使目标函数中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。达到最大值。Page 32 可行解可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。 最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行

16、解。 基：基：设设A为约束条件的为约束条件的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010换换出出行行将将3化为化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/52/540011Page 52例例1.9 用单纯形法求解用单纯形法求解 02053115232.2max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ、解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式： 5 , 2 , 1, 02053115232.2max53214321321jxxxxxxxxxtsxxxZj不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量

17、，列单纯形表计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。Page 53cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50 x4152-32100 x5201/31501121000 x42x2j 201/3150120753017131/30902j 256011017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3j Page 54学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Page 55人工变量法：人工变量法：前面讨论了在标准型中系

18、数矩阵有单位矩阵，很容易前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大MM法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。为人工变量法。P

19、age 56例例1.10 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划 012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式 5 , 2 , 1, 012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。Page 57故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 7 , 2 , 1, 01221024

20、3423max732153216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 Page 58cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i0 x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M0 x63-650-

21、1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/50-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3j j j j Page 59解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线则线 规划具有唯一最优解。规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的

22、检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性）则线性规划具有无界解。规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并单纯形法计算得到最优解并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。Page 60单纯性法小结单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或

23、不等式不等式极大或极小极大或极小新加变量新加变量系数系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi mi 时，企业愿意时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为购进这种资源，单位纯利为yi*mi ，则有利可图；如果，则有利可图；如果yi* mi 则购进资源则购进资源i，可获单位纯利，可获单位纯利yi*mi 若若yi* mi则转让资源则转让资源i ，可获单位纯利，可获单位纯利miyiPage 1033）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0 , YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生

24、产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资未得到充分利用时，该种资源的影子价格为源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为；若当资源资源的影子价格不为0时，表明时，表明该种资源在生产中已耗费完。该种资源在生产中已耗费完。Page 1044）影子价格对单纯形表计算的解释）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数单纯形表中的检验数 miiijjjBjjyacPBCc11其中其中c cj j表示第表示第j j种产品的价格种产品的价格; ; 表示生产该种产品所表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和消耗的各项资源的影子价格的总和, ,即产品的隐含成本。即产品的隐含成本。 miii

25、jya1当产值大于隐含成本时，即当产值大于隐含成本时，即 ，表明生产该项产品有，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则利，可在计划中安排；否则 ，用这些资源生产别的，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。产品更有利，不在生产中安排该产品。0 j 0 j Page 105 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。法。 找出一个

26、对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断条件下，判断XB是否可行（是否可行（XB为非负），若否，通过变换基为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。可得最优解。Page 106找出一个找出一个DP的可行基的可行基LP是否可行是否可行（XB 0）保持保持DP为可行解情况下转移到为可行解情况下转移到LP的另一个基本解的另一个基本解最优解最优解是是否否循循环环结束结束Page

27、107例例2.9 用对偶单纯形法求解：用对偶单纯形法求解： )3.2.1(0145 1232102215129min321321321321jxxxxxxxxxxxxxZj解解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数0（求（求max问题）。问题）。Page 108 014 5 12 3210 2215129max61632153214321321xxxxxxxxxxxxxxxxZcj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-2-

28、2-1100-100 x5-2-3-1010-120 x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1. -15/-5)j-9-12-150000iPage 109cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/5-9/5010-1/5-36/50 x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342icj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60 x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423

29、/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14ij j Page 110cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3j 原问题的最优解为：原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），），Z* =72 其对偶问题的最优解为：其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），），W*= 72Page 111 对偶单纯形法应注意的问题：对

30、偶单纯形法应注意的问题： 用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解问题的最优解 初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则别准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分母分母a aij ij0 0 这时必须取绝对值。在极大化问题中，这时必须取绝对值。在极大化问题中， j j00，分母，分母a aij ij00， 总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如总满足

31、非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成在本例中将目标函数写成ijja 这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。32134maxxxxz ijja Page 112 对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；量后确定进基变量； 普通单纯形法的最小比值是普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一其目的是保证下一个原问题的基本

32、解可行，对偶单纯形法的最小比值是个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是 0minikikiiaab其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 0|minljljjjaa 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规则，任选一个小于零的规则，任选一个小于零的b bii对应的基变量出基，不影响计算结果，对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。只是迭代次数可能不一样。 0|min iilbbbPage 113学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练

33、掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 Page 115例例3.1 某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？小？B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量150150200Page 116解：产

34、销平衡问题：总产量解：产销平衡问题：总产量 = 总销量总销量500 设设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列运输量的运输量，得到下列运输量表：表：B1B2B3产量产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量销量150150200Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、

35、2、3）Page 117运输问题的一般形式：产销平衡运输问题的一般形式：产销平衡A1、 A2、 Am 表示某物资的表示某物资的m个产地；个产地； B1、B2、Bn 表示表示某物质的某物质的n个销地；个销地；ai 表示产地表示产地Ai的产量；的产量； bj 表示销地表示销地Bj 的销量；的销量； cij 表示把物资从产地表示把物资从产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价。设的单位运价。设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：的运输量，得到下列一般运输量问题的模型： minjijijxcz11min njmixnjbxmiaxtsijjmiijn

36、jiij, 1;, 1, 0, 1, 1.11Page 118变化：变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。地（产大于销时）。定理定理: 设有设有m个产地个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为量数为m+n

37、-1。Page 119表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯实质是单纯形法。形法。步骤步骤描述描述方法方法第一步第一步求初始基行可行解（初始调运方案）求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、最小元素法、元素差额法、元素差额法、第二步第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数检验数 ij ij全都非负时得到最优解，若存在检验全都非负时得到最优解，若存在检验数数 ij ij 00，说明还没有达到最优，转第三步。，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位闭回路法和位势法势法第三步第三步调整

38、运量，即换基，选一个变量出基，对原运调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步量进行调整得到新的基可行解，转入第二步Page 120例例3.2 3.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量3 311113 310107 71 19 92 28 84 47 74 410105 59 9销量销量3 36 65 56 64321 BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？Page 121解：第解：第1步步 求初始方案求初始方案方法方法1：最小元素法：最小元素法 基本

39、思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058341633Page 122总的运输费总的运输费(31)+(64) +(43) +(12)+(310)+(35)=86元元元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增

40、加总运费。例如下面两种运输方最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。案。85102120151515510总运费是总运费是z=108+52+151=105最小元素法：最小元素法：Page 12385102120151551510总运费总运费z=105+152+51=85后一种方案考虑到后一种方案考虑到C11与与C21之间之间的差额是的差额是82=6，如果不先调运，如果不先调运x21，到后来就有可能，到后来就有可能x110，这，这样会使总运费增加较大，从而先样会使总运费增加较大，从而先调运调运x21，再是，再是x22，其次是，其次是x12用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，

41、所用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。以也称为近似方案。Page 124方法方法2：Vogel法法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058Page 1252）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足供需数量。当产地或销地中有一方数量

42、供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。时，划去运价表中对应的行或列。重复重复1)和和2)，直到找出初始解为至。，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A3 9销量销量3656311310192741058Page 126单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71135215Page 127单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA7135275

43、3Page 128单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA11351536312该方案的总运费该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元Page 129求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记验数来判断，记xij的检验数为的检验数为ij由第一章知，求最小值的运由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优所有非基变量

44、的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种：求检验数的方法有两种： 闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）Page 130闭回路的概念闭回路的概念,132222111jsisjsijijijijixxxxxx称称集集合合),(2121互互不不相相同同；其其中中ssjjjiii为一个闭回路为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表量的连线为闭回路的边。如下表Page 131例下表中闭回路的变量集合是例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31共共有有8个顶点，这个顶

45、点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。一条封闭的回路。 B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表度与另一顶点连接，表33中的变量中的变量x 32及及x33不是闭回路的顶不是闭回路的顶点，只是连线的交点。点，只是连线的交点。 Page 132闭回路闭回路,123233434111xxxxxxB1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组例如变量

46、组 不能构成一条闭回路，不能构成一条闭回路，但但A中包含有闭回路中包含有闭回路 ,121131352521xxxxxxA ,31352521xxxx变量组变量组 变量数是奇数，显然不是变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；闭回路，也不含有闭回路； ,2111123233xxxxxB Page 133用位势法对初始方案进行最优性检验：用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由）由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势）计算位势Ui ， Vj ，因对基变量而言有，因对基变量而言有 ij=0，即即Cij-（Ui+Vj） = 0，令，令U1=02）再由）再由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基

47、变量的检验数）计算非基变量的检验数 ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313当存在非基当存在非基变量的检验变量的检验数数 kl 0，说，说明现行方案明现行方案为最优方案，为最优方案，否则目标成否则目标成本还可以进本还可以进一步减小。一步减小。Page 134当存在非基变量的检验数当存在非基变量的检验数 kl 0 且且 kl =min ij时，令时，令Xkl 进进基。从表中知可选基。从表中知可选X24进基。进基。第第3步步 确定换入基的变量确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量以进基变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最

48、小运量作为为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量调整量，对应的基变量为出基变量，并打上对应的基变量为出基变量，并打上“”以示换以示换出作为非基变量。出作为非基变量。Page 135B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311197436 13 , 1minmin14,23 xx调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。Pa

49、ge 136当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：优方案，如表此时最小总运费：Z =(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058536312Page 137表上作业法的计算步骤：表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大

50、的负检验数，用闭合找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价Page 138（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为中最小者对应的变量为换入变量。换入变量。（2）无穷多最优解）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解

51、。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。，则该问题有无穷多最优解。Page 139 退化解：退化解： 表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证，以保证有有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个任意空格处加一个0即可。即可。 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过最小运量（超过2个最小值）作为调整量个

52、最小值）作为调整量，选择任意一个最，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为以示作为非基变量。非基变量。Page 140 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A116A210A322销量销量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)如下例中如下例中11检验数是检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。，经过调整，可得到另一个最优解。 Page 141 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A17A24A39销量销量365620114431377821060在在x12、x22、x33、

53、x34中任选一个变量作为基变量，例如选中任选一个变量作为基变量，例如选x34例：用最小元素法求初始可行解例：用最小元素法求初始可行解Page 142目标函数求利润最大或营业额最大等问题。目标函数求利润最大或营业额最大等问题。 minjijijxCZ11max njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 143求解方法：求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为表为C ，用一个较大的数，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个）去减每一个cij

54、得得到矩阵到矩阵C，其中，其中C=（Mcij）0,将将C作为极小化问题的运作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。价表，用表上用业法求出最优解。Page 144例例3.3 下列矩阵下列矩阵C是是Ai（I=1，2，3）到）到Bj的吨公里利润的吨公里利润,运输运输部门如何安排运输方案使总利润最大部门如何安排运输方案使总利润最大. 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量ijijijccccM 10,10max/22取取Page 145 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求

55、解即可。Page 146当总产量与总销量不相等时当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题称为不平衡运输问题.这类这类运输问题在实际中常常碰到运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。化为平衡问题再按平衡问题求解。 当产大于销时，即：当产大于销时，即： minjjiba11数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 147由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，由于总产量

56、大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地销地Bn+1， bn+1作为一个虚设销地作为一个虚设销地Bn+1的销量的销量(即库存量即库存量)。各产地。各产地Ai到到Bn+1的运价为零，即的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的）。则平衡问题的数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min , 2 , 1, 2 , 1, 01, 2 , 1, 2 , 1111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij；具体求解时具体求解时, ,只在只在运价表

57、右端增加运价表右端增加一列一列B Bn n+1+1，运价，运价为零为零, ,销量为销量为b bn n+1+1即可即可Page 148 当销大于产时，即：当销大于产时，即： minjjiba11 minjijijxCZ11min , 2 , 1;, 2 , 1, 0, 2 , 1, 2 , 111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij数学模型为：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时虚设这时虚设一个产地一个产地Am+1，产量，产量为：为： miinjjab11Page 149销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于

58、产化为平衡问题的数学模型为 ： minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiji, 2 , 11, 2 , 1, 0, 2 , 11, 2 , 1111；具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产，运价为零。产量为量为am+1即可。即可。 Page 150例例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。求下列表中极小化运输问题的最优解。 B1B2B3B4aiA1592360A2-47840A3364230A448101150bj20603545180160 4141160180ijjiba因为有：因为有：Page

59、 151所以是一个产大于销的运输问题。表中所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达不可达B1，用一个，用一个很大的正数很大的正数M表示运价表示运价C21。虚设一个销量为。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，表的右边增添一列 ，得到新的运价表。，得到新的运价表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180Page 152下表为计算结果。可看出：产地下表为计算结果。可看出：产地A4还有还有20个单位没有运出。个单位没有运出。B1B2B3B4B5AiA13

60、52560A24040A3102030A420102050Bj2060354520180Page 1533. 生产与储存问题生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂