高数A线曲面积分的关系与积分学的应用ppt课件

1、课件制作：肖萍课件制作：肖萍 李丹衡李丹衡 赵庆华赵庆华二、二、 作业选讲作业选讲三、三、 典型例题典型例题四、四、 课堂练习课堂练习一、一、 内容总结内容总结一、内容总结一、内容总结1 1、对坐标的曲面积分与三重积分的关系、对坐标的曲面积分与三重积分的关系高斯高斯(Gauss)公式公式: 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面 所围成所围成, 函数函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在在上有连上有连续续的一阶偏导数的一阶偏导数, 则有则有 d d d d d dPQRx y zxyz d d d dd d d dd d d dP y

2、 zQ z xR x y 此处曲面积分取此处曲面积分取 的外侧的外侧.通量与散度通量与散度:(P, Q, RC1(G) ( , , )( , , )( , , )( , , )Ax y zP x y z i Qx y z j Rx y z j 向量场向量场的通量为的通量为.d dA n S 通过有向曲面通过有向曲面(其中其中 为其单位法向量为其单位法向量)n G内任意点处的散度为内任意点处的散度为 div.PQRAxyz div d dd dA VA n S 向量形式的向量形式的Gauss为为一、内容总结一、内容总结2、对坐标的曲面积分与对坐标的空间曲线积分间的关系、对坐标的曲面积分与对坐标的

3、空间曲线积分间的关系斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式:设光滑曲面设光滑曲面的边界的边界是分段光滑是分段光滑曲曲线线, 的侧与的侧与 的正向符合右手法则的正向符合右手法则, 函数函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x,y,z)在包含在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数数,则有则有 d d d dd d d dd d d dRQPRQPy zz xx yyzzxxy d dd dd dP xQ yR z 为便于记忆为便于记忆, 斯托斯托克斯公式还可写作克斯公式还可写作:d dd dd dy zz xx yxyzPQRdddP xQ

4、 yR z 一、内容总结一、内容总结或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:coscoscosdSxyzPQRdddP xQ yR z 环流量与旋度环流量与旋度 设设 是是R3上的向量场上的向量场, 是该场中一条光滑的有向曲线是该场中一条光滑的有向曲线, 那那么么( , , )( ( , , ),( , , ),( , , )A x y zP x y zQ x y zR x y z)(),(),(yPxQxRzPzQyRRQPkjizyx称为向量场称为向量场A AdddP xQ yR z 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量的环流量.向量向量称为向量场称为向量场 A 的旋度的旋度, 记作记

5、作rotA .rotddA n SAs 假设假设 的法向量的法向量为为,n 的单位切向的单位切向,量为量为则向量形式的则向量形式的Stokes为为一、内容总结一、内容总结dddduP x Q yR z3 、空间曲线积分与路径无关的条件、空间曲线积分与路径无关的条件设设G是空间一维单连通域是空间一维单连通域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)C1(G),则下列四个条件相互等价则下列四个条件相互等价: (1) 对对G内任一分段光滑闭曲线内任一分段光滑闭曲线 , 有有ddd0P xQ yR z (2) 对对G内任一分段光滑曲线内任一分段光滑曲线 , dddP xQ yR z与路径

6、无关与路径无关(3) 在在G内存在某一函数内存在某一函数 u, 使使(4) 在在G内处处有内处处有zPxRyRzQxQyP,一、内容总结一、内容总结4、多元函数积分学在几何学中的应用、多元函数积分学在几何学中的应用_几何形体的度量几何形体的度量所谓几何形体的度量具体指平面区域的面积，空间区域所谓几何形体的度量具体指平面区域的面积，空间区域的体积，平面空间曲线的长度及空间曲面的面积，的体积，平面空间曲线的长度及空间曲面的面积，可用积分的统一定义表示为：可用积分的统一定义表示为： .具体地，具体地，d(1) 平面区域平面区域D的面积的面积DSx yd d(2) 空间区域空间区域的体的体积积12Lx

7、 yy x ddVVd13x y z y z x z x y 外d dd dd d(3) 平面平面(空间空间)曲线曲线 的长的长度度lsd(4) 空间曲面空间曲面的面积的面积SSd一、内容总结一、内容总结5、多元函数积分学在物理学的应用之一物质形体的质量、多元函数积分学在物理学的应用之一物质形体的质量(1)面密度为面密度为(x, y)的物质平面区域的质量的物质平面区域的质量( , )DMx yd(2)体密度为体密度为(x, y, z)的空间物质立体的空间物质立体的质量的质量( , , )Mx y z Vd(3)线密度为线密度为(x, y)(x, y, z)平面平面(空间空间)的物质曲线的物质曲

8、线 的的 质量质量( , ) ( , , ) )Mx y sx y z sdd(4)面密度为面密度为(x, y, z)的物质曲面的物质曲面的质量的质量( , , )Mx y z Sd若中的几何形体是物质的非均匀分布的形体，质量的若中的几何形体是物质的非均匀分布的形体，质量的统一计算公式为：统一计算公式为： , 其中其中 表示物质几何形体表示物质几何形体的密度的密度. 具体地，具体地，( )Pd( )P一、内容总结一、内容总结5、多元函数积分学在物理学的应用之二物质形体的质心、多元函数积分学在物理学的应用之二物质形体的质心(1)设设是物质平面薄片或平面曲线是物质平面薄片或平面曲线, 不妨将其面或

9、线密度不妨将其面或线密度都记为都记为(x, y), 若质心坐标为若质心坐标为(x*, y*), 那么那么*( , );( , )yxx yMxMx ydd*( , );( , )xyx yMyMx ydd(2)设设是物质立体是物质立体,空间曲线或空间曲面空间曲线或空间曲面, 不妨将其体不妨将其体, 线线 或面密度都记为或面密度都记为(x, y, z), 若质心坐标为若质心坐标为(x*, y*, z*), 那那么么*( , , );( , , )yzx x y zMxMx y zdd*( , , );( , , )zxy x y zMyMx y zdd*( , , ).( , , )xyz x

10、y zMzMx y zdd一、内容总结一、内容总结6、多元函数积分学在物理学的应用之三物质形体的、多元函数积分学在物理学的应用之三物质形体的 转动惯量转动惯量(1)设设是物质平面薄片或平面曲线是物质平面薄片或平面曲线, 不妨用不妨用(x, y)表示其表示其面或线密度面或线密度, Ix, Iy表示其关于表示其关于x轴与轴与y轴的转动惯量轴的转动惯量, 那那么么2( , );xIyx yd2( , );yIxx yd(2)设设是物质的空间立体是物质的空间立体,空间曲线或空间曲面空间曲线或空间曲面, 其体其体, 线线 或面密度都记为或面密度都记为(x, y, z), 若若Ix, Iy与与Iz表示其关

11、于表示其关于x轴轴, y轴与轴与z轴的转动惯量轴的转动惯量, 那么那么22() ( , , );xIyzx y zd22() ( , , );yIxzx y zd22() ( , , ).zIxyx y zd一、内容总结一、内容总结7、多元函数积分学在物理学的应用之四物质形体的引力、多元函数积分学在物理学的应用之四物质形体的引力 对于物质形体对于物质形体, 设其密度为设其密度为(P), 该物质形体对于位该物质形体对于位于于z轴上点轴上点M0(0,0,a)(a0)处的单位质量的质点的引力为处的单位质量的质点的引力为F=Fx,Fy,Fz, 那么那么32222( );()xP xkxyaFd3222

12、2( );()yP ykxyaFd其中其中k为引力系数为引力系数, P表示平面区域表示平面区域(空间区域空间区域,曲线及曲面曲线及曲面)上的点上的点, 表示以上区域表示以上区域, d表示以上区域的元素表示以上区域的元素, 而积分而积分分别表示二重分别表示二重, 三重三重, 曲线及曲面积分曲线及曲面积分.32222( );()zP zkxyaFd二、作业选讲二、作业选讲练习练习4.9(1) 三三计算计算其中其中为球面为球面x2+y2+z2=R2x2+y2+z2=R2的外侧的外侧. . 222d dd dd dIxyzx y zy z xz x y 解解:曲面积分的积分区域曲面积分的积分区域的方程

13、可代入的方程可代入被积函数被积函数, 因而因而3d d dVRx y z高斯公式d dd dd dIRx y zy z xz x y 3433RR44 Rxozyn二、作业选讲二、作业选讲练习练习4.9(1) 五五计算计算其中其中为为222d dd dd d ,Ix y zy z xz x y 解解:记记2()Ixyz dV 2222:()()(),x ay bz cRxozyn球面球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2的外侧的外侧. 由高斯公式得由高斯公式得,xdVydVzdV注意到积分注意到积分 的物理意义的物理意义(静力矩静力矩)， 333,4/34/34/3xdVydVzd

14、VabcRRR而球的形心为球心而球的形心为球心, 所以所以38().3RIabc二、作业选讲二、作业选讲练习练习4.9(2) 二二计算计算其中其中为平面为平面: :222222()d()d()d ,Iyzxzxyxyz 解解:coscoscosdISxyzPQR截立体截立体: 由由Stokes公式得公式得92 33d d.2xyDx y1coscoscos,3 的方向余弦为的方向余弦为 4()d3xyz S32xy z 的表面所得的截痕的表面所得的截痕, 若从若从x轴的正向看去轴的正向看去, 取逆时针方向取逆时针方向.01,01,01xyz 2222221111d3Sxyzyzzxxy43d2

15、3Sxozy二、作业选讲二、作业选讲练习练习4.9(2) 四四 求向量求向量 的旋度的旋度, 并计算此向量并计算此向量(从从z 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向)zixjyk 22(1)(1)1221xyxyz 沿闭曲线沿闭曲线 的环流量的环流量. 解解:rot.ijkijkxyzzxy 取取 : 2x+2y-1=z(上侧上侧)其单位法向量为其单位法向量为022 1(, ),33 3n ddddIsxyz22 1()d33 3S dS3d d3 .xyDx y二、作业选讲二、作业选讲练习练习4.9(2) 五五 设设 具有二阶连续编导数具有二阶连续编导数, 求求( , , )uu x

16、 y z 解解:graduuuuijkxyzrot(grad )ijkuxyzuuuxyz222222()()()uuuuuuijkz yy zz xx zy xx y =0rot(gradu). 二、作业选讲二、作业选讲练习练习5.3 三三在均匀半圆形薄片的直径上在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边要接上一个一边与直径等长的矩形薄片与直径等长的矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的重心恰好为了使整个均匀薄片的重心恰好在圆心上在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片的一边长度为多少？问接上去的均匀矩形薄片的一边长度为多少？解解: 设接上去的边长为设接上去的边长为L(半圆形薄片半径为半圆形薄片半径为R已

17、知常数已知常数)由题意由题意, 知整个薄片关于知整个薄片关于y轴对称轴对称, 故故0 x2232222ddd311d(2)222RRxDRLDyRLRxy yyRRLRRL 2223122RLRL0y23LR 又由题意知，又由题意知，二、作业选讲二、作业选讲练习练习5.3 七七已知单位立方体已知单位立方体 在点在点(x, y, z)处的密度与该点到原点的距离的平方成正比处的密度与该点到原点的距离的平方成正比, 求此立方体的重心坐标求此立方体的重心坐标. . 解解: :由题意知，由题意知，222(),k xyz111222000dd()dMxy k xyzz1122001d()d3kxxyy12

18、02()d3kxxk1112220007dd()d12yzMxy kx xyzzkk为常数为常数.,01 01 01xyz同理可得同理可得 712x 77,1212yz重心坐标为重心坐标为7 7 7(,)12 12 12三、典型例题三、典型例题例例1 计算计算其中其中绕绕y轴旋转一周所成曲面外侧轴旋转一周所成曲面外侧.2(81)d d2(1)d d4d d ,Iyy zyz xxy x y 1(13)0zyyx 解解: : 的方程为的方程为221(13)yxzy 不是封闭曲面不是封闭曲面, 所以补充所以补充 :2223xyy 12(81 44 )(81)2(1)4Iyyy Vyy zyz xx

19、y x y dd dd dd d122(1)Vyz xdd d23234 是由曲线是由曲线yxzo取右侧取右侧, 那么那么 + 构成封闭曲面构成封闭曲面, 外侧外侧. 于于是是3116yxyDDyz xddd d三、典型例题三、典型例题例例2 计算计算其中其中f(u)具有连续导数具有连续导数, 是锥是锥面面与两球面与两球面 33311d d( )d d( )d dyyIxy zfyz xfzx yzzyz 解解:22xyz 由高斯公式，由高斯公式， 2223()dIxyzv22224001dd3sin drrr244012sin d3 drr 93(22)5所围立体的表面的外侧所围立体的表面的

20、外侧. 2222221,4xyzxyz 三、典型例题三、典型例题例例3 设半径为设半径为r的球的球心在半径为的球的球心在半径为a的定球面上的定球面上, 试证：试证：半径为半径为r的球夹在定球内部的表面积为最大时，的球夹在定球内部的表面积为最大时，解解:如图建立坐标系如图建立坐标系, 则定球的方程为则定球的方程为4.3ra2222xyza另一球的方程为另一球的方程为2222()xyzaroxzy设小球夹在定球内部的部分为设小球夹在定球内部的部分为 , 其面积为其面积为dSS由两球面方程消去由两球面方程消去z, 得得222222(4)4rxyara故故 在在xOy面的投影为面的投影为222222(

21、4)40 rxyaraz又又 的方程为的方程为222zarxy三、典型例题三、典型例题例例3 设半径为设半径为r的球的球心在半径为的球的球心在半径为a的定球面上的定球面上, 试证：试证：半径为半径为r的球夹在定球内部的表面积为最大时，的球夹在定球内部的表面积为最大时，4.3ra222222,zxzyxyrxyrxy故故221()() d dDzzSx yxyoxzy222d dDrx yrxy2222442222200220dd2 rrararaarrrr 222rra234,rrSra 令令0rS 得定义域内唯一奇点得定义域内唯一奇点43ra故得所证故得所证.三、典型例题三、典型例题例例4

22、求心形线求心形线的形心。的形心。(1 cos )r a 解解: :45yMxaM (1 cos )02 )r a (sinra 22222( )(1 cos )sinsrra ddd21 cosa d那那么么2021 cosMa d202sin2ad8 a20cos21 cosyMra d20(1 cos )cos21 cosaa d32222202(2sin) (1 sin)22ad223504(sin2sin)22ad2352016(sin2sin)auu ud224 216(2)35 3a 232.5a由对称性由对称性, 得得0.y 从而曲线的从而曲线的形心坐标为形心坐标为4(,0)5a三、典型例题三、典型例题例例5设有底半径为设有底半径为a, 高为高为h, 质量均匀分布的圆锥体质量均匀分布的圆锥体, 其其质量为质量为m,在圆锥体顶点处有一单位质量的质点在圆锥体顶点处有一单位质量的质点, 求求解解: 如图如图, 顶点顶点A(0,0,h), 动点动点M(x, y, z), MA=-x, -y, h-z.圆锥体对此质点的引力圆锥体对此质点的引力.xyzo若设体密度为若设体密度为, 那么那么22313mmmVa ha h由对称性由对称性, Fx=0; Fy=0. 而而222 22221() )()zvh