高数D7习题课ppt课件

1、 第七章 习题课一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法一、基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 ,

2、 0(yxff所以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 例1. 证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx）偏偏导导连连续续？（）可可微微？（）偏偏导导是是否否存存在在？处处（在在讨讨论论321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222 yxyxyxyxyxfxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 01sinlim220 xxxx 0)0 , 0( yf同同理理220)0

3、, 0()0 , 0(limyxyfxfzyxx 练习练习解解2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 处偏导不连续处偏导不连续在在)0 , 0(),(yxfx01sin)(lim2222220 yxyxyxx 处处可可微微在在)0 , 0(),(yxf例例2. 2. 知知求出 的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解

4、法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 一样., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu二、多元函数微分法显示结构隐式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性例例3. 设设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得x

5、zdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1例4.设),(zyxfu 有二阶连续偏导数, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(

6、3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xy

7、fxy222222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyzxvuxuv例5. 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsindyvuyuvyz利用行列式解出 du, dv ：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusinyu代入即得 ;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入即得 .yzyvy

8、u及将t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2019考研 ）例6. 设例例7 . 7 . 设设 ，其中，其中f f、g g具有一阶连具有一阶连续偏数，续偏数， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解所给方程两端对解所给方程两端对x x求偏导，得求偏导，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,2121整理可得整理可得 )12()1(121121gxvvygxugufxvfxuxf12212121)

9、12)(1(121gfgvyfxgvygffxJ 122112212121)12)(1()12(121gfgvyfxgfgvyfugvygffuJxu 12211111111)12)(1()1(11gfgvyfxfufxgggfufxJxv 例例8. 设设y=f (x，t)，而，而t是由方程是由方程F(x，y，t)=0所确所确定的定的x、y的函数，其中的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导都具有一阶连续偏导数，试证明数，试证明tFyFtfxFtftFxfdxdy 证法一：首先分析一下变量间的关系。证法一：首先分析一下变量间的关系。由式由式1可确定一元函数可确定一元函数y=y(x)。（1式两端对式

10、两端对x求导得求导得 t是由方程是由方程F(x，y，t)所确定的所确定的x、y的函数，的函数，t=t(x，y)，于是有，于是有 y=f x，t(x，y) (1)t是是F(x，y，t)=0确定的确定的x、y 的函数，由隐函数的函数，由隐函数求导法知求导法知 ,tFxFxt )3(.tFyFyt 将将3 3式代入式代入2 2式，并从中解出式，并从中解出dxdy即得所欲证之等式。即得所欲证之等式。 )2( dxdyytxttfxfdxdy证法二：证法二： 将所给两方程联立：将所给两方程联立： , 0),(, 0),(tyxFtxfy方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元方程组中含两个方程、三个

11、变量，可确定两个一元函数函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别。方程组中的两个方程两端分别对自变量对自变量x求导，有求导，有 . 0, 0dxdttFdxdyyFxFdxdttfxfdxdy解上面的方程组解上面的方程组tFyFtfxFtftFxfdxdy 证法三：利用全微分形式不变性证法三：利用全微分形式不变性 0dtFdyFdxFdtfdxfdytyxtx dy解解出出dxtFyFtfxFtftFxf tFyFtfxFtftFxfdxdy 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1.1.在几何中的应用在几何中的应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲

12、面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法例例9.9.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)

13、(2020yyby)(2020 xxax),(zyxFFFn 问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点 .唯一驻点例例10.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛

14、物面上任一点，那么 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故上求一点 , 使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1. 在曲面在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .提示提示: 设所求点为设所求点为, ),(00

15、0zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上2. 在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示: 设切点为设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyx则切平面为所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大最大, 故取拉格朗日函数 coscosyfxflf 对于三元函数对于三元函数 coscoscoszyxffflf 但是当函数不可微时，要用定义但是当函数不可微时，要用定义计算方向导数公式：计算方向导数公式：角角方方向向的的方方向向导导数数成成轴轴正正向向）点点沿沿与与，在在（例例：求求函函数数 xxyz00| 0)0, 0()0, 0( yzxz解：用定义知：解：用定义知：220022)0,0()0,0(00|limlimyxyxyxyyzxxzzyxyx 02|lim|lim220220 xxyxyxxyxxyx ）点点不不可可微微，在在（函函数数00| xyz )0 , 0()0 ,0(lim0