高等数学3-2洛必达法则ppt课件

1、洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 shospitalL(,)Rule定义定义.00)x(F)x(flim)x(F)x(f)x(ax)x(ax型型未未定定式式或或常常把把这这种种极极限限称称为为在在通通可可能能存存在在、也也可可能能不不存存极极限限大大，那那末末都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与时时，两两个个函函数数或或如如果果当当 例如例如,1tanlim0 xxx2limxxxe);00().( (indeterminate forms)不存在不存在.)()(lim)()(lim),()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(x

2、FxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .shospitalL(,)Rule证证,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff

3、)(之之间间与与在在ax )()(limxFxfax )()(lim)()(lim FfxFxfaax aa x ax0)()(,)()()()(lim afaFaFafxFxfax可可假假定定无无关关及及与与于是由条件于是由条件1）（）（2）F(x)、f(x)在点在点a的某的某一邻域一邻域 内连续内连续( , )U a ( , ),U a x在在任任取取一一内内点点该该法法则则仍仍然然成成立立时时当当,)3( x使用洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()()2(xFxfxFxf ;)()(lim)()(

4、lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax;)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,)4(也也有有相相应应的的洛洛必必达达法法则则时时的的未未定定式式当当 xax注：注： （1使用洛必达法则之前，要验证条件；使用洛必达法则之前，要验证条件；例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2(P168)2(P168)解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(后划等号后划等号)00(例例3(P169)3(P169

5、)解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4(4(补充补充) )解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求0cossinlimsincosxaaxbxax bbx 原式原式. 1 )00()( 0sincoslimcossinxbxaxbxbxaxax例例5(5(补充补充) )解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3

6、 )( 0( )00( )0先划先划后划后划再划再划注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法化简、变形、无穷小代换但与其它求极限方法化简、变形、无穷小代换等结合使用，效果更好等结合使用，效果更好. .例例6(6(与与P171P171例例10 10 类似类似) )解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式22031seclimxxx 220tan1lim3xxx.31 0( )0（无穷小代换）（无穷小代换）0( )00( )0tan2x+1=sec2x型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0

7、,0 例例7(7(补充补充) )解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或2limxexx 原式原式)( 例例8(8(补充补充) )解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxx2cos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:（通分）（通分）(reduction to common denominator)0( )020si

8、nlimxxxx 0( )02sinlim0 xx （无穷小代换）（无穷小代换）例例9 (P170) ).(seclim2tgxxx 求求() =)cossincos1(lim2xxxx =xxxcossin1lim2 =xxxsincoslim2 =0解解 原式原式0( )0步骤步骤:幂指函数型）幂指函数型）型型(,1 ,0. 300 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1010P170)P170)解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 () 例例11(11(补充）补

9、充） 解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212补充）补充）解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 )ln(cotln1ln1)(cotxxxex )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1)sin1(cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式)00() 例例1313xxx)21(lim (1 ) 22)21(lim xxx2 e 用重要极限很简单，不需取对数。用重要极限很简单，不需取对数。例例14(14(补充补充) )解解.coslimxxxx 求求

10、1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在（2有时洛必达法则失效有时洛必达法则失效(invalid).)cos11(limxxx 原原式式.1 注意注意1洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件 lim xxxxxeeee 解解 原原式式例例15 (补充补充) 求求.limxxxxxeeee =xxxxxeeee lim=xxxxxeeee lim(如此下去求不出结果如此下去求不出结果).实际上实际上,)( )( )( )( 三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令g

11、fy 思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在且且不不为为无无穷穷，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明. 思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在且极限不存在且不为无穷不为无穷但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外

12、，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题 Exercises二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 讨论函数讨论函数 0