高等数学向量代数与空间解析几何习题9ppt课件

1、 向向 量量 代代 数数与与 空空 间间 解解 析析 几几 何何 习题课习题课一、主要内容一、主要内容（一向量代数（一向量代数（二空间解析几何（二空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一向量代数（一向量代数1 1、向量的概念、向量的概念向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、零向量、零向量、自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、平行向量、平行向量、 向径向径.2 2、向量的线性运算、向量的线性运算加、减、数乘加、减、数乘3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的分解式：向量的分解

2、式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：模、方向余弦的坐标表示式模、方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、向量积、混合积、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件两向量平行、垂直的条件直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二空间解析几何（二空间解析几何1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系2 2、

3、曲面、曲面旋转曲面、旋转曲面、 柱面、柱面、 二次曲面二次曲面3 3、空间曲线、空间曲线4 4、平面、平面5 5、空间直线、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离两直线共面的条件两直线共面的条件1111111:pzznyymxxL 2222222:pzznyymxxL 共面共面)(2121ssMM )(2121ssMM 0222111121212 pnmpnmzzyyxx6 6、平面束、平面束21ss 1s2s1M2M1L2L二、典型例题二、典型例题例例1 1解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbi

4、a,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2设设ABC 的三边的三边cABbCAaBC ,三边中点分别为三边中点分别为 D、E、F 试用试用cba,表示表示CFBEAD,并证明并证明0 CFBEAD证证ABCDEFBCABAD21 ac21 CABCBE21 ba21 ABCACF21 cb21 CFBEAD )(23cba 0 例例3知知2, ADBbACaAB证明证明2|2|bbabaBAD 的面积的面积 的面积最大的面积最大的夹角为何值时，的夹角为何值时，

5、当当BADba ,证证 ADCBBDADSBAD 21 sin|cos|21aa 2sin|412 a而而 cos| baba sin| baba2|2|bbaba 222|2sincos| |bba 2sin|412 a2|2|bbabaSBAD 因因 2cos|212adds 令令0 dds得唯一驻点得唯一驻点)2, 0(4 而而424222sin| adsd0|2 a4 时时BADS 面积最大面积最大)|41(2a 例例4设设)27()4( , )57()3(babababa 求求的的夹夹角角与与ba解解由题设知由题设知0)57()3( baba0)27()4( baba0|1516|7

6、22 bbaa0|830|722 bbaa两式相减得两式相减得2|2346bba 2|21bba 代入前式有代入前式有|ba 故故|),cos(bababa 21|2| ab321arccos),( ba例例5已知向量已知向量 2 , 1 , 2,3 , 2, 1,1 , 3, 2 cba求与求与ba,同时垂直，且在同时垂直，且在c上投影为上投影为 1的向量的向量v解解由于由于v同时垂直于同时垂直于ba,bav /而而321132 kjibakji 57故可设故可设)(batv ttt ,5,7tttcv2514 t21 而而3| c故故|Pr1ccvvjc t7 71 t故，所求向量为故，所

7、求向量为 71,75, 1v例例6 6解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx例例7 7解解.1243:,12:

8、)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都都相相交交的的直直线线且且与与两两直直线线求求过过点点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三点点共共线线与与BAM).(00为为实实数数故故 BMAM 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之

9、得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同同在在直直线线和和点点LBM的方程为的方程为故故 L.211111 zyx例例8求过点求过点)4 , 0 , 1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线21311zyx 相交的直线方程相交的直线方程解解设所求直线的方向数为设所求直线的方向数为pnm,则直线方程为则直线方程为pznymx41 化成参数方程，有化成参数方程，有mtx 1nty ptz 4代入已知直线方程，得代入已知直线方程，得24131ptntmt 102,3 ntptntmt又所求直线与已知平面平行又所

10、求直线与已知平面平行ns 043 pnm（两边同乘以（两边同乘以 ）t解得解得28,19,16 ptntmt直线方程为直线方程为28419161 zyx例例9 9解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2

11、( 例例10 求直线求直线 tztytxL85213:在三个坐标面及平面在三个坐标面及平面083 zyx上的投影上的投影解解分别令参数方程中的分别令参数方程中的 x , y , z 为为 0 即可得即可得直线在三个坐标面上的投影方程直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直过直线作一平面与已知平面垂直直线的方向向量直线的方向向量 8 , 2 , 1 s已知平面的法向量已知平面的法向量 3 , 1, 1 n 1,11,14 ns即为所求平面的法向量即为所求平面的法向量又点又点)5 , 1, 3( 在所求平面上在所求平面上 故所求平面的方程为故所求平面的方程为0)5()1(11)3(

12、14 zyx即即0261114 zyx已知直线在所给平面上的投影直线的方程为已知直线在所给平面上的投影直线的方程为083 zyx0261114 zyx例例1111解解.,1101:求求旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周绕绕直直线线zzyxL ), 1(111zyM设设直直线线上上一一点点,11zy 有有位置位置到达到达旋转后旋转后),(), 1(111zyxMzyM由于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为. 1222 zyx

13、例例12 求点求点),(111zyxM到直线到直线pzznyymxx000 的距离的距离 解一解一如下图如下图0MMLs所求点到直线的距离所求点到直线的距离等于平行四边形的高等于平行四边形的高由向量积的几何意义得由向量积的几何意义得|0ssMMd 222010101pnmpnmzzyyxxkji 222201012010120101pnmpmyyxxpnzzyynmyyxx 解二解二过过M作一平面作一平面L 则平面的方程为则平面的方程为0)()()(111 zzpyynxxmLMN再求直线和平面的交点再求直线和平面的交点直线的参数方程为直线的参数方程为mtxx 0ntyy 0ptzz 0代入平

14、面方程，有代入平面方程，有0)()()()(222101010 tpnmzzpyynxxm222010101)()()(pnmzzpyynxxmt 交点坐标交点坐标ptzzntyymtxx 020202,点到直线的距离为点到直线的距离为212212212)()()(zzyyxxd 例例13设设1111111:pzznyymxxL 和和2222222:pzznyymxxL 为异面直线为异面直线求它们之间的距离求它们之间的距离 解一解一所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。之间的距离。由于公垂线与由于公垂线与21,LL都垂直都垂直故其方向向量为故其

15、方向向量为21sss 过过 作平行于作平行于1L2L的平面的平面1L2LMN1M2M那么那么 到平面到平面2M的距离就是所求的的距离就是所求的异面直线间的距离异面直线间的距离由于由于 为为 的法向量的法向量s的方程为的方程为0222111111 pnmpnmzzyyxx1M2M1L2L1s2s公垂线长等于以公垂线长等于以 为棱的平行六面为棱的平行六面体的高体的高2121,MMss记记221122112211,nmnmCpmpmBpnpnA 0)()()(111 zzCyyBxxA记记222111111pnmpnmzyxD 那么那么 到到 的距离的距离2M222222|CBADCzByAxd 2

16、22222111121212CBApnmpnmzzyyxx CBAMMss 222121|)( |底面面积底面面积平行六面体的体积平行六面体的体积 解二解二设两垂足的坐标分别为设两垂足的坐标分别为),(111111111tpztnytmxM ),(222222222tpztnytmxN 21,sMNsMN )/(21ssMN BtntnyyAtmtmxx112212112212 Ctptpzz112212 解出解出21, tt求得垂足，得求得垂足，得公垂线方程和公垂线长公垂线方程和公垂线长 异面直线间的距离异面直线间的距离例例14过点过点 作一直线，使和作一直线，使和 z 轴相交，且轴相交，且

17、)3 , 2, 1( B和直线和直线 垂直，求其方程垂直，求其方程22334 zyx分析分析求直线方程，或者求出直线所在的平面求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程上的两点得两点式方程解一解一用交面式用交面式直线直线 过点过点 B 且与且与 L 垂直垂直L 故直线故直线 在过在过 B 且与且与 L 垂直的平面垂直的平面 内内1L oxyzLL B 2, 3 , 41 n0)3(2)2(3)1(4:1 zyx即即08234 zyx又又 过过B且与

18、且与z 轴相交轴相交L 故故 在由在由B 及及z 轴所组成的平面轴所组成的平面 内内2L kOBn 2100321 kji 0 , 1, 2 0)2()1(2:2 yx即即02 yx所求直线方程为所求直线方程为08234 zyx02 yx解二解二用点向式用点向式知知 过过B，故只须求出其方向向量，故只须求出其方向向量 L s 而而LL 故故ss 又又 过过 B 且与且与z 轴相交，轴相交，L 即即 在由在由B及及z 轴所组成的平面内轴所组成的平面内L 亦即亦即 共面共面kOBs, 0)( kOBs)(kOBs )(kOBss 012234 kji 1, 2, 12 所求直线方程为所求直线方程为112211 zyx解三解三用两点式用两点