高等数学教案ppt课件

1、函数的幂级数展开函数的幂级数展开三个问题：三个问题：什么是函数的什么是函数的Taylor展开式？展开式？泰勒展开式是否就收敛于某指泰勒展开式是否就收敛于某指 定的函数？定的函数？如何展开？（重点）如何展开？（重点）多项式是具有良好分析性质的简单函数，那么能否多项式是具有良好分析性质的简单函数，那么能否把一个较复杂的函数表达成一个多项式来讨论？把一个较复杂的函数表达成一个多项式来讨论？一般来说，这不容易办到但是能否用幂级数一般来说，这不容易办到但是能否用幂级数呢？在某些条件下这是可能的，也是在实际应呢？在某些条件下这是可能的，也是在实际应用中非常重要的方法用中非常重要的方法一、泰勒级数一、泰勒级

2、数假定函数假定函数)(xf点有任意阶的导数，那点有任意阶的导数，那么么在在0 xxnnnnnxxnxfxxxfxxxfxfxxnxf)(!)()(! 2)()( )()(!)(00)(200000000)(特别地，取特别地，取00 x时，叫麦克劳林级数时，叫麦克劳林级数Maclaurinnnnnnxnfxfxffxnf!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0(!) 0()(20)(叫做叫做)(xf在在0 xx处的泰勒级数，处的泰勒级数，叫做泰勒系数叫做泰勒系数!)(0)(nxfann只要作一个简单的变量替换就可把泰勒级数化为只要作一个简单的变量替换就可把泰勒级数化为麦克劳林级数以下我们就只讨

3、论后者麦克劳林级数以下我们就只讨论后者泰勒级数的前泰勒级数的前n项和叫做项和叫做)(xf的的n阶泰勒多项式阶泰勒多项式nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0()(2函数的泰勒级数与其函数的泰勒级数与其n阶泰勒多项式的差叫阶泰勒多项式的差叫n阶泰阶泰勒余项勒余项!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0(!) 0()()(20)(nnnnnnxnfxfxffxnfxR可用以表示误差，是进行近似计算的基础可用以表示误差，是进行近似计算的基础上述的余项形式并不便于应用，常见的余项形式有上述的余项形式并不便于应用，常见的余项形式有1) 1()!1()()(nnnxnfxR，叫，

4、叫Lagrange型余项型余项),()(nnxoxR叫叫Peano型余型余项项前者用于定量的讨论，后者用于定性讨论前者用于定量的讨论，后者用于定性讨论 介于介于0与与x之间之间二、函数的泰勒级数是否收敛于原来的函数？二、函数的泰勒级数是否收敛于原来的函数？对一个函数，只要其任意阶导数存在，就可以写出它对一个函数，只要其任意阶导数存在，就可以写出它的泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来的函数吗？的泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来的函数吗？答案是：不一定答案是：不一定这就是说，写出的泰勒级数也不能用只有在收这就是说，写出的泰勒级数也不能用只有在收敛的部分收敛到已知函数才有意义敛的部分收敛到已知函数

5、才有意义那么在什么样的条件下，一个函数能用其泰勒那么在什么样的条件下，一个函数能用其泰勒级数表示呢？级数表示呢？我们有下面的收敛定理：我们有下面的收敛定理：假假设设)(xf0 x在在有任意阶的导数，且有任意阶的导数，且)(xf)(xf的的n阶阶泰勒余项趋于当泰勒余项趋于当n时），那时），那么么可可展开为泰勒级数展开为泰勒级数即即0)(!) 0()(nnnxnfxf此时，在此时，在x点泰勒级数收敛于点泰勒级数收敛于)(xf三、如何把一个函数展开为其泰勒级数三、如何把一个函数展开为其泰勒级数把一个函数展开为幂级数麦克劳林级数有二法：把一个函数展开为幂级数麦克劳林级数有二法：直接法和间接法直接法和间

6、接法直接方法：直接方法：求各阶导数求各阶导数)0()(nf写出泰勒级数；写出泰勒级数；求出泰勒级数的收敛区间；求出泰勒级数的收敛区间；在收敛区间内，余项是否趋于？在收敛区间内，余项是否趋于？例求例求xexf)(的幂级数展开式的幂级数展开式解解, 1)0()(nf故已知函数的泰勒级数为故已知函数的泰勒级数为nnnnxnxxxnf!1! 211!)0(20)(此级数的收敛区间是此级数的收敛区间是).,(而泰勒余项的绝对值而泰勒余项的绝对值0)!1(|)!1(| )(|1|1nxexnexRnxnn所以所以xexf)(的幂级数展开式为的幂级数展开式为,!1! 211!120nnnxxnxxxne),

7、(x注意注意补充补充必要必要的步的步骤骤Rx 例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),( x在讨论余项在讨论余项0)(xRn时，可简化为讨论是否存在时，可简化为讨论是否存在M,Mxfn| )(|) 1(使使) 0)!1()()(1)1(nnnxnfxR例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxx

8、f 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 Rnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2)1 , 1( x牛顿二项式的推广牛顿二项式的推广例子中我们略去了讨论余项的步骤！例子中我们略去了讨论余项的步骤！注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 ,1(1 收收敛敛区区间间为为;1 ,1(11 收收敛敛区区间间为为.1 ,11 收收敛敛区区间间为为你能利用牛顿的二项式展开式写出你能利用牛顿的二项式

9、展开式写出xxx11,1,11的泰勒展开式吗？的泰勒展开式吗？此级数称为二项式级数此级数称为二项式级数2.2.间接法间接法利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒恒等变形等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方法逐项积分等方法,求展开式求展开式.这是经常用的方法，但前提是必须记住一些这是经常用的方法，但前提是必须记住一些常见的函数的幂级数！常见的函数的幂级数！例例)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn例例 xnnnxdxxdxxx00202) 1(11arctan01200212) 1() 1(nnnnxnnnxdxx12) 1(75312753nxxxxxnn) 11(x例例)1ln(xxdxx011xnnndxx00) 1(00) 1(nxnndxx011) 1(nnnnx1) 1(4321432nxxxxxnn) 11(x熟练地将函数展开成幂级数是基本要求之一，千万熟练地将函数展开成幂级数是基本要求之一，千万要注意指出收敛区间！否则就是不完整的解答要注意指出收敛区间！否则就是不完整的解答如果是较复杂的函数，需要将其分解为熟悉的情况如果是较复杂的函数