高等数学集合常量与变量ppt课件

1、一、集合一、集合 常量与变量常量与变量 二、函数概念二、函数概念 三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数 1 1。1 1 函函 数数函数举例定义域、函数的图形、函数的定义、集合、 区间、 邻域、 常量与变量有界性、单调性、奇偶性、周期性1. 集合集合集合集合(简称集简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用体。集合用A，B，M等表示。等表示。元素元素: 组成集合的事物称为集合的元素。组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合是集合M的的元素表示为元素表示为aM。集合的表示集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f,

2、 g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，为实数，x2+y2 =1。一、集合一、集合 常量与变量常量与变量几个数集几个数集: N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。 R表示所有实数构成的集合，称为实数集。表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。表示所有整数构成的集合，称为整数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。表示所有有理数构成的集合，称为有理集。子集子集: 若若xA，则必有，则必有xB，则称，则称A是是B 的子集，记为的子集，记为AB读作读作A包含于包含于B）。）。 显然，显然，N Z ，Z

3、Q ，Q R 。 数集x|axb称为开区间，记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。xOab(a， b) a, b=x|axb称为闭区间。xOaba， b a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为半开区间。xOaba， b)xOab(a， b区间区间: 上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为区间的端点，b-a 称为区间的长度。 xOaa，+)xOb(- ， b(-, b = x|xb，(-,+) = x| |x|0，则称区间，则称区间(a-, a+)为点为点a 的的邻域，邻域，记作记作U(a, )，即，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点其中点

4、 a 称为邻域的中心称为邻域的中心, 称为邻域的半径。称为邻域的半径。去心邻域去心邻域: (a,) =x |0| x-a |。UxOa-da+dU(a, )，xOa-da+d(a，d )Ua2. 常量与变量常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。等。 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。 还有一些量在过程中是变化着的，也就

5、是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t 等。 变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。 二、函数概念二、函数概念1. 举例举例 圆的面积的计算公式为圆的面积的计算公式为A=pr2，半径，半径r可取可取(0, +)内的任意值。内的任意值。 由落体下落距离的计算公式为s= - gt2，t可取0, T内的任意值。12 圆内接正n边形的周长的计算公式为 Sn=2nr sin - ， n可取3，4，5， 。pn2. 函数的定义函数的定义 设设 x 和和 y 是两个变量，是两个变量，D 是一个给定的数集。如是一个

6、给定的数集。如果对于每个数果对于每个数xD，变量，变量 y 按照一定法则总有确定的按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称数值和它对应，则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集定义中，数集D叫做这个函数的定义域，叫做这个函数的定义域， x叫做自叫做自变量，变量，y叫做因变量。叫做因变量。 函数符号函数符号: 函数函数y=f(x)中表示对应关系的记号中表示对应关系的记号f 也可改用其它也可改用其它字母，例如字母，例如j 、F 等。此时函数就记作等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：值域：W=y | y=f(x)，xD。定义域：定义域： 在数学中，有时

7、不考虑函数的实际意义，而抽象在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：函数值： 当当 x取数值取数值 x0D时，与时，与 x0对应的对应的 y的数值称为函的数值称为函数数 y=f(x)在点在点 x0处的函数值，记为处的函数值，记为 f(x0)。求函数的定义域举例：求函数的定义域举例： 解: 要使函数有意义，必须x0，且x2-40。解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2，或D=(-, 22, +)

8、。 求函数 y 412xx的定义域。 3. 函数的图形函数的图形 在坐标系在坐标系xOy内，集合内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所对应的图形称为函数所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。的图形。O yxC(x, y)xyWDy=f(x) 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4. 函数举例函数举例 例例1. 在直角坐标系中，由方程在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一确定了一个函数。个函数。 对于任意对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：，对应的函数

9、值有两个： 22xry及 y=22xry。 例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为W =2。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。yOxy=22 函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=0, + )。yxOy=|x| x, x0 -x, x0 0, 当x=0-1, 当x1 时，y1+x。 2212)21(f；2212)21(f；2 1 2) 1 (f； ；当 x1 时，y1+x。 图形特点：图形特点：y=f(x)的图形在直线的图形在直线y=K1的下方。的下方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函数的有界性函数的有界性 设函数设函数f(x)在数集在数集

10、X上有定义。如果存在数上有定义。如果存在数K1，使对任一使对任一xX，有，有f(x)K1，则称函数，则称函数f(x)在在X上有上上有上界，而称界，而称K1为函数为函数 f(x)在在X上的一个上界。上的一个上界。三、函数的几种特性三、函数的几种特性 如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点：函数图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线的图形在直线 y=K2 的上方的上方y=K1y=f(x)Oxy有界函数的图形特点：有界函数的图形特点： 函数函数y = f(x)的图形在直线的图形在直线y = - M和和y =

11、M的之间。的之间。 如果存在数 M，使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在 x1X，使|f(x)|M。y=f(x)Oxyy= -Ky= K函数的有界性举例：函数的有界性举例： f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： | sin x | 1。-11yxO-2p -pp 2py=sin xOxy1 2y=1/x 函数f(x)=1/x在开区间( 0 , 1 ) 内 是 无 界 的 。无界函数举例：无界函数举例： 函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M

12、1，总有0 x1M -1M，所以函数无上界。 此函数在(1, 2)内是有界的。2. 函数的单调性函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数y= f(x)在区间I上有定义。如果对于区间 I 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)， 如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。3. 函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例：y=x2，y=cos x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)

13、= f(x)，则称f(x)为偶函数。奇偶函数举例： y=x3，y=sin x都是奇函数。101x -22y3xy 如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性函数的周期性 对于任一数值 yW，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。四、反函数如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。Oxyx1x2y0Dy=f(x)y=y0(x1, y0)(x2, y) 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。WOxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数的反函数是单值函数 什么样的函数存在单值的反函数？Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函数是多值函数：x= 。y 把 x限制在区间 0,)，则y=x2 的反函数是单值的，即x= 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。y反函数的单值分支