高等设计数学1联大ppt课件

1、导 数 的 应 用第一节第一节 函数的单调性和凹凸性函数的单调性和凹凸性第二节第二节 函数的极值与最值函数的极值与最值第三节第三节 函数的图形的描绘函数的图形的描绘 于任何设计造型而言，影响其于任何设计造型而言，影响其“美观美观程度的最重要的方面程度的最重要的方面就是它的表面：几何外形表面的光滑度、线条和反射度以及不就是它的表面：几何外形表面的光滑度、线条和反射度以及不同表面的连接方式，都会影响到可产生美感的物体外观的艺术同表面的连接方式，都会影响到可产生美感的物体外观的艺术水准。水准。 在一些在一些CADCAD和建模软件包总是会提到一些数学方面的专业和建模软件包总是会提到一些数学方面的专业术

2、语，这就需要那些习惯艺术语言的专业设计职员要领会工具术语，这就需要那些习惯艺术语言的专业设计职员要领会工具背后的数学原理，而不是奢看自己能够以艺术家的方式来指示背后的数学原理，而不是奢看自己能够以艺术家的方式来指示软件如何工作软件如何工作. .这就是为什么说这就是为什么说, ,把握与把握与CADCAD软件操纵有关的数学软件操纵有关的数学知识和常用术语，可以进步产品设计职员将大脑灵感转换为屏幕知识和常用术语，可以进步产品设计职员将大脑灵感转换为屏幕上完美设计创意的能力。上完美设计创意的能力。 创建创建“美观美观的表面造型需要用到曲线。还记得微积分吗？的表面造型需要用到曲线。还记得微积分吗？您可能

3、想起来了，沿曲线在各点处求导可以获得反映曲线外形您可能想起来了，沿曲线在各点处求导可以获得反映曲线外形的很多信息。这类导数属性通常称为连续性。的很多信息。这类导数属性通常称为连续性。 曲线的一阶导数与曲线的切线有关。切线就是沿曲线绘制曲线的一阶导数与曲线的切线有关。切线就是沿曲线绘制的直线。它可以反映出曲线在该点处的方向。一阶导数十分有的直线。它可以反映出曲线在该点处的方向。一阶导数十分有用，它可以告诉您曲线是否水平，或者告诉您曲线在特定点位用，它可以告诉您曲线是否水平，或者告诉您曲线在特定点位置是否与其他曲线的方向一致。沿曲线移动时，假如切线方向置是否与其他曲线的方向一致。沿曲线移动时，假如

4、切线方向不断摆动，则说明该曲线为波浪线。不断摆动，则说明该曲线为波浪线。 函数单调性的判定法函数单调性的判定法一一xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减

5、少；函数单调减少；,), 0(内内在在 , 0 y.函函数数单单调调增增加加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又0, 0 xy令令 x.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey0, 0 xy令令例例1 1解解), 0()(),0 ,()( xfxf yy)0 ,(0), 0( 0 确定函数单调区间的步骤确定函数单调区间的步骤二二问题问题: :如上例，函数在

6、定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xx

7、xxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0

8、时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy 三三曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABCp凹凸作为图形的基本特征，对于准确描绘函数图凹凸作为图形的基本特征，对于准确描绘函数图形起着重要的作用。在设计构成中，线的凹凸程形起着重要的作用。在设计构成中，线的凹凸程度直接影响到

9、线的属性和表现张力。根据线的凹度直接影响到线的属性和表现张力。根据线的凹凸与否分为直线和曲线，曲线给人以优雅、跳跃、凸与否分为直线和曲线，曲线给人以优雅、跳跃、节奏感，直线则具有速度、简洁和锐利的特征。节奏感，直线则具有速度、简洁和锐利的特征。定义定义的的（或或凸凸弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称如如果果恒恒有有的的（或或凹凹弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末称称恒恒有有点点上上任任意意两两如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(21212121

10、21;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxfxyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线

11、xy 解解,32xy ,6xy 时时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线,(0时，时，当当0 x, 0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线), 0.)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到, ,确定函数凹凸区间的步骤确定函数凹凸区间的步骤四四1 1、定义、定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2 2、拐点的求法、拐点的求法方法方法: :,)(,)(000 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()(即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁0001xfxxfx .)(,(

12、,)()(不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁0002xfxxfx 例例2 2.凹凹、凸凸的的区区间间的的拐拐点点及及求求曲曲线线14334 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.,32021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,( 323200凹凹凸凸区区间间为为p拐点在计算机图形学中应用广泛，拐点的连接曲拐点在计算机图形学中应用广泛，拐点的连接曲率处理不好将会直接影响三维建模面的质量，影率处理不好将会直接影响三维建模面的质量

13、，影响到产品的后续设计与制造。响到产品的后续设计与制造。p曲线的曲率曲线的曲率curvaturecurvature就是针对曲线上某个点就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。 曲线曲线CDCD在在A A点的曲率点的曲率 二阶导数也很有用，它可以给出特定点处的曲率。这对二阶导数也很有用，它可以给出特定点处的曲率。这对于正确了解曲线的外形很有帮助。假如曲率由正值变为负值于正确了解曲线的外形很有帮助。假如曲率由正值变为负值（由凹变凸），就说明存在一个弯曲。（由凹变凸），就说明存在一个弯曲。 曲率、光滑度和弯曲是