拉格朗日方程的三种推导方法_第1页
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1、拉格朗日方程的三种推导方法1 引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。2 达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即：W=iFi+Iiri=0(1)其中Ii为惯性力，Ii=-miai。Fi为粒子所受外力，ri为符合系统约束的虚位移。设粒子Pi的位置ri为广义坐标q1, q2, , qn与时间t的函数：ri=ri(q1, q2, , qn, t)则虚位移可以表示为：ri=jriqjqj(2)粒子的速度vi=vi(q1

2、,q2,qn,q1,q2,qn,t)可表示为：取速度对于广义速度的偏微分：(3)首先转化方程 (1) 的加速度项。将方程 (2) 代入：应用乘积法则：注意到的参数为，而速度的参数为，所以，。因此，以下关系式成立： (4)将方程 (3) 与 (4) 代入，加速度项成为代入动能表达式：，则加速度项与动能的关系为(5)然后转换方程(1)的外力项。代入方程 (2) 得：(6)其中是广义力：将方程 (5) 与 (6) 代入方程 (1) 可得：(7)假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程 (7) 成立：(8)这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得：定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：3 哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为：在等时变分情况下，有 (1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有(2)其中第一项可化为：(3)将(3)代入(2)得(4)将(4)代入(1)得(5)在处，所以(5)变为(6)即(7)q是独立变量，所以拉格朗日方程： 4 欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数和：其中是自变量。若存在使泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有

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