第八章多元函数的积分学ppt课件

1、第九章多元函数积分学第九章多元函数积分学第一节第一节 二重积分二重积分 第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法 第三节第三节 二重积分应用举例二重积分应用举例 例例 1 1 （曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）设函数设函数( , )zf x y在有界闭区域在有界闭区域D上连续，且上连续，且( , )0f x y .以函数以函数( , )zf x y所表示的曲面为顶，所表示的曲面为顶，以区域以区域D为底，且以为底，且以D的边界曲的边界曲线为准线而母线平行于线为准线而母线平行于z轴的柱轴的柱面为面为侧面的立体叫做曲顶柱体侧面的立体叫做曲顶柱体（图（图 9-1）.现在我们讨论如何计现在我们讨

2、论如何计算它的体积算它的体积 V. O yx z ) , ( y x f z Ds d 图图9-1 9-1 由由于于柱柱体体的的高高( , )f x y是是变变动动的的， 且且在在区区域域D上上是是连连续续的的，所所以以在在小小范范围围内内它它的的变变动动不不大大，可可以以近近似似地地看看成成不不变变.依依此此，就就可可用用类类似似于于求求曲曲边边梯梯形形面面积积的的方方法法，即即采采取取分分割割、取取近近似似、求求和和、取取极极限限的的方方法法（以以后后简简称称四四步步求求积积法法）来来求求的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 V. 为为此此，我我们们用用一一组组曲曲线线网网把把D分分割割成成

3、n 个个小小区区域域12,(1,2,)niinssss同同时时又又表表示示它它们们的的面面积积.以以每每个个小小区区域域is为为底底作作 n 个个母母线线平平行行于于 z 轴轴的的小小柱柱体体，又又在在小小区区域域is上上任任取取一一点点( ,)(1,2, )iiin ，以以( ,)iif 为为高高，is为为底底的的小小平平顶顶柱柱体体体体积积( ,)iiif s作作为为相相应应小小曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的近近似似值值， 于于是是n个个平平顶顶柱柱体体的的体体积积的的和和 1( ,)niiiif s 就就是是所所求求曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的一一个个近近似似值值， 令令 n 个个小小闭闭

4、区区域域is的的直直径径（一一个个闭闭区区域域的的直直径径是是指指区区域域是是任任意意两两点点间间距距离离的的最最大大者者）中中的的最最大大值值（记记作作 ）趋趋于于零零， 取取上上述述和和式式的的极极限限便便得得所所求求曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积，即即 01lim( ,)niiiiVf s 定义定义 设设( , )f x y在有界闭区域在有界闭区域 D 上有定义且有界，上有定义且有界，将将D任 意 地 分 割 为任 意 地 分 割 为n个 小 闭 区 域个 小 闭 区 域(1,2, ,)iiinss同时又表示其面积.在每个小区域在每个小区域is上任取一点上任取一点( ,)ii ，作和式，作

5、和式1( ,)niiiif s.若当各若当各is的直径中的最大值的直径中的最大值趋于零时， 这个和式的极限存在， 则趋于零时， 这个和式的极限存在， 则称为函数称为函数( , )f x y在闭区域在闭区域 D 上的上的二重积分二重积分，记作，记作( , )dDf x ys，即，即 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s， (1) 其中其中( , )f x y称为称为被积函数被积函数，( , )df x ys称为称为被积表达被积表达式式，ds称为称为面积元素面积元素，x和和y称为称为积分变量积分变量，D 称为称为积积分区域分区域，1( ,)niiiif s称为称为积分和式积

6、分和式. 应当指出， （应当指出， （1）的极限存在时，二重积分才）的极限存在时，二重积分才存在，存在，这时也称这时也称( , )f x y在在 D 上是可积的上是可积的.与定积分的存在定理与定积分的存在定理类似， 可以证明： 当被积函数类似， 可以证明： 当被积函数( , )f x y在区域在区域 D 上连续时，上连续时，（1）的极限必存在，即在区域）的极限必存在，即在区域 D 上连续的函数是可积上连续的函数是可积的的.当然，这个极限的存在与区域当然，这个极限的存在与区域 D 的分割方法以及点的分割方法以及点( ,)ii 的取法无关的取法无关. 性性质质 4 4 如如果果在在区区域域D上上,

7、( , )1f x y ,则则二二重重积积分分在在数数值值上上等等于于区区域域D面面积积的的值值,即即 ( , )d1 dDDf x ysss, 其其中中s为为区区域域D的的面面积积. 这这一一性性质质的的几几何何意意义义是是很很明明显显的的，因因为为高高为为 1 的的平平顶顶柱柱体体的的体体积积的的值值等等于于柱柱体体的的底底面面积积乘乘以以 1. 性质性质 如果将积分区域如果将积分区域 D 分为两个区域分为两个区域 1D和和 2D,则在则在 D 上的二重积分等在上的二重积分等在 1D和和 2D上二重积分的和上二重积分的和,即即 12( , )d( , )d( , )dDDDf x yf x

8、 yf x ysss. 这一性质表示二重积分对于积分区域的这一性质表示二重积分对于积分区域的可加性可加性. 性性质质 7 7 （二二重重积积分分的的中中值值定定理理） 设设函函数数( , )f x y在在有有界界闭闭区区域域 D 上上连连续续，s是是 D 的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点( , ) ，使使得得 ( , )d( , )Df x yfs s. 性性质质 5 5 在在区区域域D上上，如如果果( , )( , )f x yg x y，则则有有不不等等式式 ( , )d( , )dDDf x yg x yss 性性质质 6 6 设设M，m分分别别是是( , )f

9、x y在在有有界界闭闭区区域域D上上的的最最大大值值和和最最小小值值，则则有有不不等等式式 ( , )dDmf x yMsss，其其中中 s为为区区域域D的的面面积积. 证证 显然显然0s，把性质，把性质 6 中不等式各除以中不等式各除以 s，有，有 1( , )dDmf x yMss， 这就是说，确定的数值这就是说，确定的数值1( , )dDf x yss是介于函数是介于函数( , )f x y的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的.根据在有界闭区域上根据在有界闭区域上连续函数的介值连续函数的介值定理，在定理，在 D 上至少存在一点上至少存在一点( , ) ，使得函，使得函数在该点

10、的值与这个确定的数值相等，即数在该点的值与这个确定的数值相等，即 1( , )d( , )Df x yfs s. 上式两端乘以上式两端乘以，就是所需证明的公式，就是所需证明的公式. 例例 2 2 比比较较二二重重积积分分ln()dDxys与与2ln() dDxys的的 大大 小小 ， 其其 中中D是是 三三 角角 形形 闭闭 区区 域域 ， 三三 顶顶 点点 分分 别别 为为(1,0),(1,1),(2,0). 解解 如图如图92在在D上上12xy则则 0ln()ln2lne1xy.所以所以 2ln()ln()xyxy 由性质由性质 5 得得 2ln()dln() dDDxyxyss. 12y

11、x12O图图9-2设 函 数设 函 数( , )zf x y在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 且上 连 续 且( , )0f x y ，并设积分区域，并设积分区域 D 可用不等式可用不等式 12( )( ),xyx axb 来表示来表示(93)图，其中函数，其中函数21( ),( )xx区间区间, a b上连续，这上连续，这样的区域称为样的区域称为 X-型区域，其特点是：穿过内部型区域，其特点是：穿过内部 D 且平行且平行 y轴的直线与轴的直线与 D 的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点. 在在实实际际应应用用中中，直直接接通通过过二二重重积积分分的的定定义义与

12、与性性质质来来计计算算二二重重积积分分一一般般是是困困难难的的.下下面面， 我我们们从从计计算算曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积出出发发来来给给出出二二重重积积分分的的计计算算方方法法.这这种种方方法法是是把把二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分来来计计算算. (a) 1( )yx 2( )yx a b x y O D (b) 2( )yx 1( )yx a b y O D x 图图 9-39-3x b z ( , )z f xy 0 x 2( )yx 1( )yx O a y 图图 94先求截面面积先求截面面积( )S x， 为此， 在区间， 为此， 在区间, a b上任意选定一点上任意选定

13、一点0 x，过这点作垂直于，过这点作垂直于 x 轴的平面轴的平面0 xx.此平面截曲顶柱体所此平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间得截面是一个以区间1020(),()xx为底， 以曲线为底， 以曲线0(, )zf xy为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形(图9-4).由定积分的几何意义知其面积由定积分的几何意义知其面积2010()00()()(, )dxxS xf xyy，对于区间，对于区间, a b上的任何点上的任何点 x，对应，对应的截面面积为的截面面积为 21( )( )( )( , )dxxS xf x yy 于是得曲顶柱体的体积于是得曲顶柱体的体积 V 为为 21( )( )( )d( ,

14、 )ddbbxaaxVS xxf x yyx 从从而而有有21( )( )( , )d( , )ddbxaxDf x yf x yyxs (1) 或或写写成成21( )( )( , )dd( , )dbxaxDf x yxf x yys (1) 这这个个公公式式表表明明，二二重重积积分分可可以以化化为为先先对对 y，后后对对 x 的的二二次次积积分分来来计计算算.先先对对 y 积积分分时时，应应把把( , )f x y中中的的 x 看看作作常常数数，只只看看作作 y 的的函函数数，计计算算从从1( )x到到2( )x的的定定积积分分.然然后后把把算算得得的的结结果果（不不含含 y 是是 x 的

15、的函函数数）再再对对 x 计计算算从从 a 到到 b的的定定积积分分. 1( )xy 2( )xy D O c d y x (a) 2( )xy 1( )xy x y O c d D (b) 图图 9-5 在在推推导导中中，借借助助几几何何直直观观，设设( , )0f x y ，事事实实上上，这这个个公公式式的的成成立立并并不不受受此此条条件件限限制制.类类似似地地，如如果果积积分分区区域域 D可可用用不不等等式式 12( )( ),yxy cyd 表表示示（图9-5），其其中中12( ),( )yy在在区区间间, c d上上连连续续，这这样样的的区区域域称称为为 Y-型型区区域域， 其特点是

16、：穿过其特点是：穿过 D 内部且平行内部且平行 x 轴的直线与轴的直线与 D 的边的边界相交不多于两点，则有界相交不多于两点，则有 2121( )( )( )( )( , )d( , )d dd( , )dDdycydycyf x yf x yx yyf x yxs (2) 公式公式(2)是把二重积分化为先对是把二重积分化为先对 x， 后对， 后对 y 的二重积分的二重积分来计算来计算. 2211( )( )( )( )d( , )dd( , )dbxdyaxcyxf x yyyf x yx (3) 公公式式(3)常常用用来来交交换换二二重重积积分分的的积积分分次次序序. 如如果果所所给给积积

17、分分区区域域D既既是是X 型型的的，可可用用不不等等式式12( )( ),xyx axb表表示示，又又是是Y 型型的的，可可用用不不等等式式12( )( ),yxy cyd表表示示(96)图，由由公公式式(1)和和(2)就就有有 O a d c b y D 图图 9-6 二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分计计算算 时时，确确定定二二次次积积分分的的积积分分限限是是一一 个个关关键键.为为此此，应应先先画画出出积积分分区区域域 图图，如如果果区区域域是是 X-型型区区域域(97)图, 在在区区间间, a b上上任任意意取取定定一一点点 x，并并 过过此此点点作作一一条条平平行行于于 y 轴

18、轴的的直直线线， 顺顺着着 y 轴轴正正向向看看去去，点点 A 是是这这条条直直 线线穿穿入入区区域域 D 的的点点，这这点点的的纵纵坐坐标标 1( )x就就是是积积分分的的下下限限；点点B 是是穿穿出出区区域域 D 的的点点，它它的的纵纵坐坐标标 2( )x是是积积分分的的上上限限，把把计计算算的的结结果果 （是是 x 的的函函数数） 再再对对 x 在在其其变变化化区区间间, a b上上作作定定积积分分.同同理理可可得得 Y-型型区区域域的的定定限限方方法法. x A B O a b y D 图图 9-79-7 1D 2D 3D x y 图图98例例 1 1 计计算算2d dDxyx y，

19、其其中中 D 是是由由直直线线0,1,xx1y 和和2y 所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解 方法一方法一 首先画出积分区域首先画出积分区域 D (99)图图. D是矩形区是矩形区域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对若先对 y积积分，把分，把x暂定为常数，暂定为常数，y的变化范围由的变化范围由 1 到到 2，然后再对，然后再对 x从从0 到到 1 积分，于是得积分，于是得 231211220100177d ddddd336Dyxyx yxxyyxxx x 方法二方法二 如图如图99，若先对，若先对 x积积分，后对分，后对y积分，则得积分，则

20、得 212210d dddDxyx yyxyx122210d2xyy 2211d2yy231123y76 yD21Ox图 99例例 2 2 计计算算二二重重积积分分223dDx ys，其其中中 D 是是由由 x 轴轴，y轴轴和和抛抛物物线线21yx 所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的闭闭区区域域. 1Oyxx121yx y = 011Ox = 01xyxy(a)(b)图图 910解解 画出积分区域画出积分区域 D(9 10)图 D既是既是X 型，又是型，又是Y 型区域，若用公式型区域，若用公式(1)，有，有 2211222200111232230003dd3d16d(1) d315x

21、Dxx yxx yyxyxxxxs 若用公式若用公式(2)，有，有 111122222300003dd3ddyyDx yyx yxyxys 31220(1)dyyy 这个积分计算比较麻烦，说明此利用公式这个积分计算比较麻烦，说明此利用公式(1)比用公式比用公式(2)计算较为方便计算较为方便. 例例3 3 计算二重积分计算二重积分dDxys， 其中， 其中D是由抛物线是由抛物线 2yx及直线及直线2yx所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解 画 出 区 域画 出 区 域D(9 11)图.先求交点，先求交点，解 方 程 组解 方 程 组2,2,yxyx 得得交点坐标为交点坐标为(1, 1)及及(4,

22、2)D既是既是X 型，又型，又是是Y 型区域型区域. 图图 9 - 11D(4,2)(1,-1)xy2yO-12xy2xy若按若按Y 型区域计算，用公式型区域计算，用公式(2)，有，有 222221212251dddd21(2)d2yyyyDyxxyyxy xyyyyyys 2463211422436yyyy 558 若若按按 x-型型区区域域计计算算，用用公公式式（1） ，则则由由于于 下下 方方 边边 界界 曲曲 线线1( )yx在在区区间间0,1及及1,4上上的的表表达达方方式式不不一一致致，所所以以要要用用经经过过交交点点(1, 1)且且平平行行于于y轴轴的的直直线线1x 把把区区域域

23、D分分成成两两部部分分（图图 9-12）. x4x图图 9 - 12(4,2)(1,-1)y1O2yx2D1Dyxyx x其其中中 1( , ),01Dx yxyxx 2( , )2,14Dx y xyxx 利利用用二二重重积积分分的的性性质质 3，就就有有 12140122214012ddddddddd22xxxxDDDxxxxxyxyxyxxy yxxy yyyxxxxsss 241(2)50d5228xxxx 由由此此可可见见，这这里里用用公公式式(1)来来计计算算比比较较麻麻烦烦. 从从例例 2，例例 3 可可见见，积积分分次次序序选选择择不不同同，二二重重积积分分计计算算的的难难易易

24、程程度度也也不不同同，如如何何选选择择积积分分次次序序呢呢，除除与与积积分分区区域域形形状状有有关关，还还与与被被积积分分函函数数的的特特性性有有关关. 解解 画 出 积 分 区 域画 出 积 分 区 域D(9 13)图 若用公式若用公式(1)，就要，就要先计算定积分先计算定积分sindxxyyy， 由于， 由于sin yy的的原函数不是初等函数，原函数不是初等函数，因而积分因而积分sindxxyyy无无法用牛顿法用牛顿莱布尼茨公莱布尼茨公式算出式算出. DyOx图图 9- 132yxyx2112001100sinsinsind ddd()d(1)sin d(1)d(cos )yyDyyyx

25、yyxyyyyyyyy yyy 1100(1)coscos dyyy y 1 sin1 . 此此例例表表明明，选选择择怎怎样样的的二二次次积积分分次次序序有有时时直直接接关关系系到到能能否否算算得得二二重重积积分分的的结结果果. 若按若按Y 型区域，用公式型区域，用公式(2),则有则有 例例 5 5 交交换换二二次次积积分分1220010d( , )dd( , )dxxxf x yyxf x yy的的积积分分次次序序. 解解 这 个积 分可以看作区域这 个积 分可以看作区域12DDD上的一个二重积分，其中上的一个二重积分，其中1D由直线由直线0,1yyx x所围成，所围成，2D由 直 线由 直

26、 线0,2,1yyx x所 围 成所 围 成(9 14)图现将它化成先对现将它化成先对x后对后对y的二的二次积分， 此时次积分， 此时:01,2Dyyxy，于是有于是有 21(1,1)yxO图图 9- 141D2D1221200100d( , )dd( , )dd( , )dxxyyxf x yyxf x yxyf x yx例例 6 6 通通过过交交换换积积分分次次序序计计算算二二次次积积分分2110dedyxxy. 图图 9- 152121DyxO(1,1)于于是是2222111100001100deddeded111e(1)22eyyyyxyxyyxyy 由例由例 6 可见，若不交换积分次

27、序，由于可见，若不交换积分次序，由于2ey的原函数的原函数不是初等函数，就无法算得二次积分的结果不是初等函数，就无法算得二次积分的结果. 作业：作业：习题习题92(1)2(2,4)3(1,3)4(1,3) 在在具具体体计计算算二二重重积积分分时时，根根据据被被积积函函数数的的特特点点和和积积分分区区域域的的形形状状，选选择择适适当当的的坐坐标标，会会使使计计算算变变得得简简单单.下下面面介介绍绍利利用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分的的方方法法. 用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分时时，积积分分区区域域 D 及及被被积积函函数数( , )f x y都都应应不不难难用用极极坐坐标标表

28、表示示，而而面面积积元元素素怎怎样样用用极极坐坐标标表表示示呢呢？ 按按二二重重积积分分的的定定义义 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s 可可知知，01lim( ,)niiiif s的的值值与与is的的分分法法无无关关， 与与点点( ,)ii 的的取取法法无无关关. 从从而而在在直直角角坐坐标标系系下下，我我们们选选择择了了is的的一一种种特特殊殊分分法法， 取取分分别别平平行行于于x轴轴及及y轴轴的的两两族族直直线线， 即即x 常常数数，y 常常数数，把把区区域域D分分成成 n 个个小小区区域域is，设设长长为为ix，宽宽为为ky，则则iiixys ，从从而而面面积

29、积dd dx ys. 在极坐标下，假设从极点在极坐标下，假设从极点 O 出发穿过积分区域出发穿过积分区域 D 内内部的射线与部的射线与 D 的边界曲线相交不多于两点的边界曲线相交不多于两点.我们用极坐标我们用极坐标系中的曲线网系中的曲线网r 常数（是以极点为中心的一族同心圆）常数（是以极点为中心的一族同心圆）和和 常数（是自极点出发的一族射线） ，将区域常数（是自极点出发的一族射线） ，将区域 D 分成分成n 个小闭区域（图个小闭区域（图 916）. xOddrdr图图 9- 16这 些 小 闭 区 域 的 面 积这 些 小 闭 区 域 的 面 积(1,2, )iins当作是两个圆扇形的当作是

30、两个圆扇形的面积之差，除了包含边界点的一些小面积之差，除了包含边界点的一些小闭区域外（当取极限时，这一些小闭闭区域外（当取极限时，这一些小闭区域对应项的和的极区域对应项的和的极限限趋于零，因此趋于零，因此这些小区域可以忽略不这些小区域可以忽略不计计）.于是得于是得 2211()22iiiiiirrrs 21()2iiiiiiiir rrr r （略去高阶无穷小（略去高阶无穷小21()2iir） ，） ，于是就得到极坐标下的面积元素于是就得到极坐标下的面积元素dd dr rs. 对直角坐标系下的二重积分对直角坐标系下的二重积分( , )dDf x ys，可用下面的，可用下面的方法将它变换成极坐标

31、下的二重积分：方法将它变换成极坐标下的二重积分： （1） 通过变换通过变换cos ,sinxryr，将被积函数，将被积函数( , )f x y化为化为, r的函数，即的函数，即 ( , )( cos , sin )( , )f x yf rrF r； （2） 将积分区域将积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程的边界曲线用极坐标方程( )rr来表示；来表示； （3） 将面积元素将面积元素ds表示成极坐标下的面积元素表示成极坐标下的面积元素d dr r.于是就得到二重积分的极坐标表示式于是就得到二重积分的极坐标表示式 ( , )d( cos , sin ) d dDDf x yf rrr rs. （

32、4） 这时区域这时区域D在两条射线在两条射线, 之间，这两条射线和之间，这两条射线和D的边界的交点把区域边界分为两部分：的边界的交点把区域边界分为两部分：12( ),( )rrrr.此时此时积分区域积分区域D可以用不等式可以用不等式 12( )( ),rrr 来表示来表示.在区间在区间, 上任意取一个上任意取一个 值， 对应这个值， 对应这个 值作射线值作射线 利用极坐标计算二重积利用极坐标计算二重积分，同样是把二重积分化为分，同样是把二重积分化为二次积分，这里我们只介绍二次积分，这里我们只介绍先先r后后的积分次序的积分次序.如何确如何确定两次积分的上下限，要根定两次积分的上下限，要根据极点与

33、区域据极点与区域D的位置而定，的位置而定，现分三种情形加以讨论：现分三种情形加以讨论： （1） 极点在区域极点在区域 D 的的外面（图外面（图 917） x 2( )rr 1( )rr B D A 图 9-17 (2) 极点在区域极点在区域 D 的的边界上边界上(图图 9-18) 设积分区域设积分区域 D 可以用可以用不等式不等式 0( ),rr 来表示来表示.这可看成（这可看成（1）当）当12( )0,( )( )rrr的 特的 特例，故有例，故有 xOD图图918OAB. A 是是穿穿入入 D 的的点点, B 是是穿穿出出 D 的的点点,故故极极径径 r 从从 1( )r变变到到2( )r

34、.将将计计算算的的结结果果（是是的的函函数数）再再在在区区间间, 上上的的积积分分,即即 21( )( )( cos , sin ) d dd( cos , sin ) drrDf rrr rf rrr r （5） （3） 极点在区域极点在区域D的内部（图的内部（图 9-19） 设积分区域设积分区域 D 可可以用不等式以用不等式 0( ),02rr 来表示来表示.这可看成这可看成(2)当当0,2的 特 例的 特 例 ,故有故有 2r( )00( cos , sin) d dd( cos , sin) dDf rrr rf rrr r. (7) Ox图9-19特特别别地地，当当( cos , s

35、in )1f rr时时，二二重重积积分分的的值值等等于于区区域域 D 的的面面积积s，即即 d dDr rs21( )( )ddrrr r22211( )( ) d2rr. . 当当12( )0,( )( )rrr时时，21( )d2rs， 这这就就是是在在定定积积分分应应用用中中极极坐坐标标情情形形下下的的曲曲边边扇扇形形的的面面积积公公式式. . 通通常常当当积积分分区区域域的的边边界界由由圆圆弧弧、射射线线组组成成且且被被积积函函数数含含有有22,yxyx等等形形式式时时，用用极极坐坐标标计计算算较较为为简简单单. . 例例 7 7 求求222dDIaxys,其其中中 D 是是圆圆域域2

36、2xyax. 解解 因积分区域因积分区域 D 是圆域是圆域22xyax（图（图 9-20）.它的边它的边界曲线方程是界曲线方程是cosra.当当 固定时，固定时，r从从0到到cosa，而，而 的变化范围是区间的变化范围是区间 ,2 2 y x a O cosra r 图图 9-20 于于是是得得 22cos22202d dddDaIar r rar r r cos32222203320331()d32(1 sin)d322()(34)3239aaraaa 例例 8 8 计算计算22ed dxyDx y，其中，其中D是由圆是由圆222xya所围所围成的闭区域成的闭区域. 解解 因积分区域是圆域因

37、积分区域是圆域（图（图 9-21） ，它的边界曲线） ，它的边界曲线的极坐标方程为的极坐标方程为ra.由变由变换公式（换公式（4）及计算公式（）及计算公式（7）得得 2222200ed ded ddedaxyrrDDx yr rr r2222200011ed(1 e)d(1 e)22araayaxO图图9-21作业：作业： 习题习题9-2(2) 2，3(1,2)，4(2,3)，5(2)xO(b)xry1D22yrx图图9-22y(a)rxzrO一一 、体积、体积 我们在本章第一节中已经知道，若我们在本章第一节中已经知道，若( , )zf x y在有界闭区在有界闭区域域D上连续，且上连续，且(

38、, )0f x y ，则二重积分，则二重积分 ( , )dDf x ys 在几何上解释为以在几何上解释为以( , )zf x y为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积. 例例 1 1 求求两两个个底底圆圆半半径径相相等等的的直直交交圆圆柱柱所所围围立立体体的的体体积积. 2222222222100003222300dddd2()d33rxrrxrDrrVrxxrxyrxyxxrxxr xrs 故故 311683VVr 解解 设圆柱底圆半径为设圆柱底圆半径为 r，两个圆柱面方程分别为，两个圆柱面方程分别为222xyr及及222xzr.由立体对坐标面的对称性，所求体由立体对坐标面的对称性，所求体积是它位

39、于第一卦限那部分（图积是它位于第一卦限那部分（图 9-22（a） ）的体积） ）的体积 1V的的 8倍倍.立体在第一卦限部分的积分区域立体在第一卦限部分的积分区域 1D为为0 xr，220yrx（图（图 9-22（b） ） ）, 它的曲顶为它的曲顶为22zrx，于是于是 例例 2 2 求求 球球 体体2222xyza含含 在在 柱柱 面面22xyax (0)a 内内的的那那部部分分立立体体的的体体积积. azyxDO(a)图9-23 (b)2aOaxycosracos222222100dddaDVaxyar r rs333202(1 sin)d()3323aas31424()323aVV故故

40、在第六章讨论定积分的作用时，将许多求总量的问在第六章讨论定积分的作用时，将许多求总量的问题归结为用定积分的元素法来建立所求量题归结为用定积分的元素法来建立所求量U的定积分表的定积分表达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中.设所求设所求量量 U 对区域对区域 D 具有可加性，且在区域具有可加性，且在区域 D 中任取一个小中任取一个小区域区域ds时，相应的部分量时，相应的部分量U可以近似地表示为可以近似地表示为( , )df x ys，称，称d( , )dUf x ys为所求量为所求量 U 的的积分元素积分元素，以它作为被积表达式，在有界闭区域以它作为

41、被积表达式，在有界闭区域 D 上，积分上，积分 ( , )dDUf x ys 就是所求量的就是所求量的积分表达式积分表达式. 二、二、 曲面的面积曲面的面积 例例如如，设设有有界界曲曲面面 S 由由显显示示方方程程( , )zf x y给给出出，xyD是是曲曲面面 S 在在xOy面面上上的的投投影影区区域域，函函数数( , )f x y在在xyD上上有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.曲曲面面 S 的的面面积积 A. 由由元元素素法法，在在区区域域xyD内内任任取取一一个个小小区区域域 ds，同同时时 ds也也表表示示这这个个小小区区域域的的面面积积 .在在 ds内内任任取取一一点点( , )P

42、 x y，对对应应 地地在在曲曲面面 S 上上有有一一点点, ,( , )M x y f x y，设设点点 M 处处的的切切平平面面为为 （图图 9-24）.以以小小区区域域 ds的的边边界界曲曲线线为为准准线线， 平平行行于于 z 轴轴的的直直线线作作为为母母线线作作柱柱面面， 此此柱柱面面在在曲曲面面 S 上上截截下下一一小小块块曲曲面面，由由于于 ds很很小小，故故可可用用在在切切平平面面上上截截下下的的一一小小块块面面积积 dA作作为为 A的的近近似似值值，有有 ddcosAs 其中其中 r 为点为点 M 处的法线处的法线 z 轴的夹角（即切平面与轴的夹角（即切平面与xOy面的夹角）面

43、的夹角）.因为因为 221cos1( , )( , )xyrfx yfx y 故故 22d1( , )( , )dxyAfx yfx ys 图 9 -24 dd p dA M s O y z x 这就是曲面面积元素，于是有这就是曲面面积元素，于是有 221( , )( , )dxyDAfx yfx ys， （1） 故故 221d dxyDzzAx yxy. 若曲面的方程为若曲面的方程为( , )xy z或或( , )yz x，同理可得，同理可得 221d dyzDxxAy zyz， （2） 或或221d dzxDyyAyz xzx （3） 解解 由对称性，球面在第一卦限部分的面积的由对称性，球

44、面在第一卦限部分的面积的 8 倍即倍即为所求的表面积为所求的表面积 A. 在第一卦限内球面方程为在第一卦限内球面方程为222zRxy，投影区域，投影区域D：222,0,0 xyRxy， 又又222222,zxzyxyRxyRxy，于是所求的，于是所求的表面积表面积 2281dDzzAxys=222D8d dRx yRxy 2222220008dd44RRRr rRRrRRr 解解 由对称性知， 所求面积由对称性知， 所求面积 S 是它在第一卦限内是它在第一卦限内面积的面积的 4 倍（图倍（图 9-23） ，在第一卦限内球面方程为） ，在第一卦限内球面方程为 222zaxy 由由 222,zxx

45、axy 222zyyaxy， 故得故得 22222D41d d=4d dDzzSx yxyax yaxy 利利用用极极坐坐标标，得得 coscos2222220000d44daaar rS =dq= a- a -ra -r 2204cos2(2).a aaa 三三、质质量量与与重重心心 由由力力学学知知道道，n个个质质点点的的质质心心坐坐标标为为 1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm 其其中中im第第 i 个个质质点点的的质质量量， 1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm分分别别是是质质点点系系对对 x 轴轴和和 y 轴轴的的静静力力矩矩，1niimm是是质质点点系系的的总总质质量量. 设有一平面薄片，它位于设有一平面薄片，它位于xOy面内区域面内区域 D 上，在上，在点点( , )x y处的面密度为区域处的面密度为区域D上的连续函数上的连续函数xy（ ， ），现，现求它的质量和质心坐标求它