弯曲应力的推导 1

1、弯曲应力的推导弯曲应力的推导纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力纯弯曲纯弯曲横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时的切应力横力弯曲时的切应力LaaFFFFF图sF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（ ）。）。0, 0sFM0, 0sFM横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲纯弯曲时，横截面上有正纯弯曲时，横截面上有正应力而无切应力应力而无切应力纯弯曲纯弯曲等直梁纯弯曲梁正应力分析等直梁纯弯曲

2、梁正应力分析前提前提: :(a)(a)小变形小变形, ,在弹性变形范围内在弹性变形范围内(b)(b)满足对称弯曲条件满足对称弯曲条件(c)(c)纯弯曲纯弯曲实验观察实验观察: :2.凹边缩短，凸边伸长凹边缩短，凸边伸长(d)(d)纵向纤维间无挤压纵向纤维间无挤压1.横向线保持为直线；纵横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。向线与横向线依然垂直。横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。由现象由现象1梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线

3、，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。由现象由现象2中性层中性层中性轴中性轴凹边缩短，凸边伸长凹边缩短，凸边伸长中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的层面。又不缩短的层面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。理论分析理论分析（1 1）变形几何关系）变形几何关系变形后变形后P曲率中心曲率中心y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层的曲率半径中性层的曲率半径mmnndxooabyabaabbonmPod纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力纵向纤维纵向纤维bb:变形

4、前变形前 oobbd变形后变形后 bb dy)( 所以纵向纤维所以纵向纤维bb的应变为的应变为:bbbbdddy)(dydy横截面上距中性横截面上距中性轴为轴为y y处的轴向变处的轴向变形规律。形规律。y.,1yCmmnndxooabyabPaabbonmod（2 2）物理关系）物理关系-应力分布规律应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律EyE对一定材料，对一定材料，E=常数常数；对一定截面，对一定截面，.常数y横截面上某点处的应横截面上某点处的应力与此点距中性轴的力与此点距中性轴的距离距离y y成比例。成比例。；时当0,0y.,maxmax时当yyyz中性轴中性

5、轴M（3 3）静力平衡关系）静力平衡关系z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMM由由 得得0 xFdAA=0将将( (* *) )式代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z轴通过截面形心，即轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。dAdA(*)yEzS 截面对z轴的静矩考虑平衡条件考虑平衡条件0yM0)(zdAMAyAdAyzE0AyzdAE0yzIz(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdAyzI截面对y、z轴的惯性积Y轴是截面的对称轴轴是截面的对称轴所以所以0yzI(*)yE考虑平衡条件考虑平衡条件MMz

6、ydAMAz)(AdAyE2MdAyEA2MIEzz(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdAzI 截面对截面对z轴轴(中性轴中性轴) 的惯性矩的惯性矩(*)yE可得可得挠曲线的曲率方程挠曲线的曲率方程：zEIM1zEI抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为zIMy横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为zIMymaxmaxmax/ yIMzzWMMIEzyE抗弯截面模量抗弯截面模量maxyIWzz截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形

7、截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：竖放：竖放：,1213bhIz261bhWzzbhz hb,1213hbIz261hbWz平放：平放：zd,644dIz,323dWz)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWzdzD纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁。的梁。前提：前提： 细长梁，即梁的跨高比细长梁，即梁的跨高比L/ /h55时，其误差时，其误差 不大；不大；zIMy横力横力弯曲时的正应力弯曲时的正应力 有一模量为有一模量为E 1 的矩形截面悬臂梁的矩形截面悬臂梁AB ， A 端固定，端固定， B 端自端自由。梁长为由。梁长为

8、L ，截面高度为，截面高度为h1 ，宽度为，宽度为b 。梁上表面粘着模量。梁上表面粘着模量为为E2 = 2E1 的增强材料层，该层高度的增强材料层，该层高度h2 = 0.1h1 ，长度和宽，长度和宽度与梁度与梁AB相同。工作台面相同。工作台面D距离距离B端下表面高度为端下表面高度为。在在B端作端作用垂直向下的载荷用垂直向下的载荷 FP 。不考虑各部分的自重。不考虑各部分的自重。（1）求组合截面中性轴的位置。）求组合截面中性轴的位置。（2）求使梁）求使梁B 端下表面刚好接触端下表面刚好接触D 台面所需的力台面所需的力 FP 。（3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。）求此时粘接面无相对滑动情况

9、下的剪力。（4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁( /)sF1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz弯曲切应力弯曲切应力dxm1n1nmMM+dMypp1m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1AyIMAy

10、IMApnAzzAAdddF:111N111AyIMMnpAzddF:1N2111xbFppdd:s1讨论部分梁的平衡讨论部分梁的平衡0dddd , 01111xbAyIMAyIMMXAzAzAybIxMAzd)1(dd11*szzF SI bd,dsMFx,d*11zASAym1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1b矩型截面的宽度矩型截面的宽度bISFzzS* yA*z整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩zI距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩Sz*切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与y之间的关系确定之间的关系确定Sz* *d1*AzAyS)4(2d