立体几何中的向量方法1

1、第一课时第一课时课题引入课题引入 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，们组成的空间图形，研究的研究的主要问题有共点，共线，共面，主要问题有共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题. . 上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题向量解决了一些立体几何问题.你是否已经体会到

2、空间向你是否已经体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法学习立体几何中的向量方法. 为了用向量方法解决立体几何问题，首先必须把点、为了用向量方法解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来直线、平面的位置用向量表示出来.探求新知探求新知思考思考1 1？如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在空间的位置？OP基点基点 在空间中，我们取一定点在空间中，我们取一定点O O作为基点，那么空间中作为基点，那么空间中任意一点任意一点P P的位置就可以用向量的位置就可以用向量 来表示来表示. .

3、OP 我们把向量我们把向量 称为点称为点P P的的位置向量位置向量. .OP 探求新知探求新知空间中任意一条直线空间中任意一条直线l l的位置可的位置可以由以由l l上一个定点上一个定点A A以及一个定方以及一个定方向确定向确定. .思考思考2 2？过空间一点过空间一点A A可以作无数条直线，其中以某非零向可以作无数条直线，其中以某非零向量量 为方向向量的直线有几条？如何用为方向向量的直线有几条？如何用向量式向量式表示？表示？aA AP PAPta a思考思考3 3？过空间不同两点过空间不同两点A A、B B的的直线如何用直线如何用向量式向量式表示？表示？ APtAB A AB BP P点点A

4、 A和和 不仅可以确定直线不仅可以确定直线l l的位置，还可以具体表示出的位置，还可以具体表示出l l上的任意一点上的任意一点P P。a探求新知探求新知思考思考4 4？设过点设过点O O的两条相交直线确定的平面为的两条相交直线确定的平面为，如何，如何用用向量形式向量形式表示平面表示平面内的点内的点P P的位置？的位置？ OabP )(RyxbyaxOP 、点点O O和和 、不仅可以确定平面、不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表的位置，还可以具体表示出示出 内的任意一点内的任意一点P P。ab 思考思考5 5？给这一个定点和一个方向给这一个定点和一个方向( (向量向量),),能确定一个平能确定

5、一个平面在空间的位置吗？面在空间的位置吗？ 探求新知探求新知 若直线若直线l l平面平面，为直线，为直线l l的方向向量，则向量的方向向量，则向量叫做平面叫做平面的的法向量法向量. .aaA a过点过点A A，以，以 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的. .a思考思考6 6？如果另有一条直线如果另有一条直线mm ，在直线，在直线m m上任取向量上任取向量 ， 与与 有什么关系？有什么关系？探求新知探求新知A aab b1.1.平面的法向量是平面的法向量是非零向量非零向量; ;2.2.一个平面的法向量一个平面的法向量不是唯一的不是唯一的，其所有法向量都，其所有法向量都互相平行互

6、相平行; ; 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系. .探求新知探求新知探究探究2 2？你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二向量表示空间两平面平行、垂直的位置关

7、系以及它们二面角的大小吗？面角的大小吗？设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面的法向量为，平面的法向量为 ,uv探究探究1 1？若直线若直线l l和平面所成的角为和平面所成的角为，你能用，你能用 , , 表示表示吗？吗？u v探求新知探求新知设直线设直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，, ,平面平面 ， 的法向量分的法向量分别为别为 ， abuv探究探究1 1：平行关系平行关系lmabml /baba /线线平行线线平行探究探究1 1：平行关系平行关系探求新知探求新知线面平行线面平行 lua /l0 uaua探究探究1 1：平行关系平行关系探求新知探求新知面面平行面面

8、平行 u v /vuvu /探究探究2 2：垂直关系垂直关系探求新知探求新知设直线设直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，, ,平面平面 ， 的法向量分的法向量分别为别为 ， abuvamb ml0 baba线线垂直线线垂直 l uuaua /la线面垂直线面垂直探究探究2 2：垂直关系垂直关系探求新知探求新知 u v 0 vuvu面面垂直面面垂直探究探究2 2：垂直关系垂直关系探求新知探求新知lamb，的夹角为ml,|cosbaba lamb 探究探究3 3：夹角夹角探求新知探求新知线线夹角线线夹角 ula，的夹角, l|,cossinuauaua ula 探究探究3 3：夹

9、角夹角探求新知探求新知线面夹角线面夹角 u v，的夹角为,|,coscosvuvuvu 面面夹角面面夹角探究探究3 3：夹角夹角探求新知探求新知 u v，的的夹夹角角为为 ,|cosvuvu 探究探究3 3：夹角夹角探求新知探求新知面面夹角面面夹角，的夹角为的夹角为 ml,线线夹角线线夹角线面夹角线面夹角面面夹角面面夹角，的的夹夹角角为为 , l，的夹角为的夹角为 ,|,coscosvuvuvu|,cossinuauaua|,coscosbababa合作探究合作探究例例 求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行行，则这两个

10、平面平行. . abpuv已知：直线已知：直线l,ml,m和平面和平面 ， 其中其中l,ml,m ,l,l与与m m相交，相交，ll ,m,m 求证：求证： 证：设相交直线证：设相交直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，ab平面平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， uv因为因为ll ,m,m ，所以，所以, va vb 所以所以, 0va, 0vb因为因为l,ml,m , ,且且l l与与m m相交，相交，所以所以 内任一直线的方向向量内任一直线的方向向量 可以表示为如下形式可以表示为如下形式pRyxbyaxp,因为因为0)(vbyvaxvbyaxvp即平面即平面 的法线

11、与平面的法线与平面 内任一直线垂直内任一直线垂直. .所以平面所以平面 的法向量也是平面的法向量也是平面 的法向量，即的法向量，即 uv因此因此 合作探究合作探究3.3.若若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),(1,1/2,2),且且 ，则，则m=m= . .ll2.2.已知已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)(2,m,1)，平面，平面 的法向的法向量为量为(1,1/2,2),(1,1/2,2),则则m=m= . ./ll1.1.设平面设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),(1,2,-2),平面平

12、面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),(-2,-4,k),若若 ，则，则k=k= ；若；若 , ,则则 k=k= 。/4-5-8深化提高深化提高42.2.直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数向有两种可能，其模可以为任意正数. . 4. 4.用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算的法向量进行运算. .课堂小结课堂小结3.3.设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为 ，对平面，对平面内的任一向量内的任一向量 ，若若 ，则，则l l.

13、. ap0 pa1.1.本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念量的概念, ,这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问题必要的条件夹角等立体几何问题必要的条件. . 1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,当堂检测当堂检测课本第课本第104104页练习第页练习第1 1、2 2题题)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直