数列通项公式方法大全很经典.

1、1,数列通项公式的十种求法:(1)公式法(构造公式法)例1已知数列an满足an书=2an+3父2、a, =2 ,求数列an的通项公式。解：an.=2an +3M2n两边除以2n。得需 = an+3,则需牛=S故数列半是 2222222以斗=2=1为首项 以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得3 = i+(n_1)0,21 222n231 n所以数列&的通项公式为an=( n - )2 o22评注：本题解题的关键是把递推关系式an4 =2an + 3M 2n转化为 第2=口，说明数列222an是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an =1+(n-1)1 ,进而求出数列 a

2、n的通项公式。(2)累加法例2已知数列an满足an书=an +2n +1,a=1 ,求数列an的通项公式。解：由 an噌 =an+2n+1 得an+an =2n+1 则an =(an -an)(an-an- 山(a3 -a2) (a2 -a) a,= 2(n-1) 1 2(n-2) 1(2 2 1) (2 1 1) 1-2(n -1) (n -2)用 2 1 (n -1) 1= 27T(n.1).1=(n -1)(n 1)12二 n所以数列斗的通项公式为an =n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an41 = an +2n+1转化为an书-an =2n + 1 ,进而求出(anan)+(a

3、n4-ani)+HI + (a3a2)+(a2-a)+a,，即得数列an的通项公式。变式：已知数列an满足an噌 =an +2父3n +1, a1 = 3 ,求数列an的通项公式。例3已知数列an满足an邛=2(n+1)5nM an,a=3,求数列an的通项公式。a解：因为 an+=2(n+1)5nxan, a1 =3,所以 an =0,则上=2(n+1)5n,故 anan ama3 a2 均analanan2a2 ai_n 1n 2_21_二2(n-1 1)5 2( n-2 1)5 III 2(2 1) 5 2(1 1) 5 3-2nln(n -1) JI 3 2 5(nJ) (n),2 1

4、 3n(n J)=3 2nl 5 n!n(n_1)所以数列4的通项公式为an=3M2nlM5 2 Mn!.评注：本题解题的关键是把递推关系44=2何+1)51父小转化为 亘f=2(n+1)5n，进而求an出包，曳二川,a3 ,a2诩，即得数列&的通项公式。On J an _2a2 a1变式:已知数列an满足 a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3 +| + (n -1)an_1(n > 2),求an的通项公式。(4)待定系数法例4已知数列an满足an书= 2an +3父5 a1 = 6 ,求数列an的通项公式。解：设 an书十xm5n41 =2(an +x5n)将an+=

5、2an +3M5n代入式，得2%+ 3M5n+ xm5n+=2+2cM5等式两边消去2an ,得3 G + x - 5141 =余- 51,两边除以5n ,得3 + 5x = 2x则x = -1代入式得an+ 5n +=2(an 5n)1na 5 1由 a151 =65=1 #0 及式得 an5n #0,则上一 = 2,则数列an5n是以 an- 5n-1n n 1n 1 nai -5 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 an 5 =2,，故an =2+5。评注：本题解题的关键是把递推关系式an书=2an +3x5n转化为an45.=2(an 5n),从而可知数列an-5n是等比数列，进而求

6、出数列 an-5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。变式：已知数列an满足an+ =3an+5M 2n+4, a1 =1,求数列an的通项公式。已知数列an满足an+ =2an +3n2 +4n +5,a=1,求数列an的通项公式。(5)对数变换法例5已知数列an满足an书=2 M3n父a5, a1 = 7 ,求数列an的通项公式。解：因为an书=2M3nMa5,a=7,所以an >0, an书>0。在an+=2父3”父a5式两边取常用对数得lgan由=5lg an+nlg3+lg2 设 lgan+x(n+1) + y =5(lgan +xn + y)将式代入 式，得5lg

7、an +n lg 3 lg 2x n« 1)y= 5Qg+xn + y ,两边消去5lgan 并整理，得(lg3 +x)n + x +y + lg 2 =5xn +5y ,则x;蛆lg3 x =5x ,44，故，4x y lg2 =5y _ lg 3 Ig 2y- 164代入式，得lgan+稔6+1)+/+叱= 5(lgan+空门+触+庭)的41644164m 1g 3 lg 3 lg 21g 3 lg 3 lg 20由 1ga1+” 父1+” +” =1g7+ 父1+¥0 及41644164lg3n1g31g2信lg an+ n十十丰0,lg an 1lg344164/

8、彳 1g3 1g2(n 1)164,1g31g3 1g2lg an n 4164所以数列幻2口+93门+93+92是以幻7 +93+93+92为首项，以5为公比的等 41644164比数列，则lgan +幽n+股+92 =(耳7+蛆+史+旦2)5n，因此41644164lgan=(lg7幽蛇幽)5n-鲂n-4164464111n11Klg7 lg34 1g36 lg2')5n，lg3, lg3行-lg24111n 11二lg(7 34 316 24)5nd -lg(34 316 24)111n 11= lg(7 34 3词 24)5nd lg(34 3否 2%)5n 1-n5n T5n

9、 7= lg(75n,3k 3b 2丁)5n .4n J5n - 1= lg(75n,3 162k)5n 4n 15n -4Cn 1则 an =75 一父3 16 父2 4 。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an书=2父3n父a：转化为lg 3 lg 3 lg 2lg 3 lg 3 lg 2lg an书 + (n +1)+-g-+-g-=5(lg an +g n +-g- +-g-),从而可知数列41644164lg 3 1g 3 1g 2 八lg 3 lg 3 lg 2lg an + n +是等比数列，进而求出数列 lg an+" n + -g+-g的通项 41644

10、164公式，最后再求出数列an的通项公式。(6)数学归纳法例6已知数列an满足an+=an +迎n2, a1=,求数列an的通项公式。(2n 1)2(2n 3)29解：由 an1二an .8(n 1)22(2n 1) (2n 3)8(1 1)8 8 224a2二 a1122= 一1二(2 1 1)2(21 3)29 9 25 25a3 T _8(2.1_2 0 .三，(2 2 1)2(2 2 3)225 25 49 49a4 = a3.8(3 1)(2 3 1)2(2 3 3)2488 480_+49 49 81 81由此可猜测an = 1)2 1,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2

11、2(1)当n=1时，&=(2父1 1) 1 =8,所以等式成立。(2 1 1)29(2)假设当n=k时等式成立，即ak =(2k 1)2 -12(2k 1)2,则当n = k +1时,8(k 1)ak 1 = ak -22(2k 1)2(2 k 3)22_ (2k 1)2 -18(k 1)一 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)22(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2222(2k1)2(2k3)2 -(2k1)2一(2k1)2(2k3)2_ (2

12、 k3)2-12(2 k 3)222(k 1) 12 -1一 2(k 1) 12由此可知，当n = k+1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 nw N都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。(7)换元法1 一 .例7已知数列an满足an邛=(1 + 4an + J1 +24an), a1 =1 ,求数列an的通项公式。1612斛：令 bn = J1 +24an ,则 an = (bn 1)2441 , 2 1 一、，一故 an 4=24(bn41),代入 an¥=16(1+4an +j1

13、+24an)得工 1 -1)二1 4492 -1) bn241624即 4b；1 =(bn 3)2因为bn =J1+24an父0,故04=51十24%.至013则 20书=0+3,即 bn+ = 2bn + 2,一，、，1可化为 bn+-3=-(bn -3), 2所以bn 3是以b, _3 = J1 +24a1 3 = J1+24M1 3 = 2为首项,以1为公比的等比数一 .一111 1n O列，因此 bn3=2()n'=(y/,则 bn=(_)n/+3,即 J1 +24an =(_) +3 ,得2222n+L3评注：本题解题的关键是通过将J1 + 24an的换元为bn ,使得所给递

14、推关系式转化1 3bn# =bn +形式，从而可知数列bn 3为等比数歹U,进而求出数列bn3的通项公式,2 2最后再求出数列an的通项公式。(8)不动点法21a -24例8已知数列an满足an由=,a1 = 4 ,求数列an的通项公式。4an 1即 221x -24 小 221x 24.解：令 x =，得 4x 20 x 池 0 ，则 x1 =2, x2 =3是函数 f (x)=的4x 14x 1两个不动点。因为21an -24 2所以数列an 1-2 _ 4an 1_ 21an -24 -2(4an1) _13an -26 _ 13an -2an 1-3 - 21an-24- 21an -

15、24 -3(4an1) - 9an -27 - 9an -3一 34an 1anana1 -2a1 - 34 -24-3=2为首项，以13为公比的等比数列，故9an - 2an -'313、n=2日)，9则an+ 3。评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21x -2421x - 24的不动点，即方程x二的两4x 14x 1个根x1 =2, x2 = 3,进而可推出an 1an 1-2-313 an -29 an -32,从而可知数列n卜为等比数 an - 3an，J， an -2 3、xh,一日，、列，再求出数列«/一 '的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。

16、an-37a -2例9已知数列an满足an书=,a1 = 2 ,求数列an的通项公式。2an 3. 7x -22.3x-1 解：令x =，得2x 4x + 2 = 0 ,则x = 1是函数f (x)=的不动点。2x 34x 7因为a 1 = 当二2 _1 = 5a二5 ,所以2an 32an 3an =2(1)n +(1)n +1。 3 423评注：本题解题的关键是通过将1 + 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化1 3bn噂 =bn+一形式，从而可知数列bn3为等比数歹U,进而求出数列bn3的通项公式,2 2最后再求出数列an的通项公式。课后习题：1 .数列 五,娓2衣,布III,

17、的一个通项公式是（）A、an= J3n -3B、an=J3n-1 C、an = J3n +1D、an =v3n+32 .已知等差数列an 的通项公式为an=3 2n ,则它的公差为(A、2B、3C、 -2D、33 .在等比数列an中，a1=16,a4=8,则 a7 =()A、-4B、±4C、-2D、士24,若等比数列an的前项和为Sn ,且Sio =10, S20 =30,则S30 =5 .已知数列an通项公式an =n2 -10n+3,则该数列的最小的一个数是 1na16 .在数列an中，阚=且an =(n w N1 则数列 卜的刖99项和等2n 1 - anan于.7 .已知an

18、是等差数列，其中a1 =31,公差d =-8。(1)求数列an的通项公式；(2)数列an从哪一项开始小于0?(3)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.8 .已知数列4 的前项和为Sn =n2 +3n+1,(1)求 a1、a2、a3 的值；(2)求通项公式an o9 .等差数列Qn1中，前三项分别为x,2x,5x - 4,前n项和为Sn ,且Sk=2550。(1)、求x和k的值;,、1111(2)、求 TnJ+'+'l +;SiS2S3Sn数列等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列等比数列递推关系* an 平-an = a2 -a( n 匚 N ) an4 -

19、an =d( nu N ) an.an =an an-(n 之2)土=%(nWN*)anaian! =q( q# 0,nw N*)an虹=亘(n"nwN*)anan通项* an = a1 + (n -1)d( n = N ) an = pn+q (p,q为吊数，n=N)n 1一一* an = a1 q( n 匚 N )nrr 、r, 、r1* an = p q ( p,q是吊数，q # 0, p# 0,nu N)求和公式 2Sn = n(a1+an)(n=N ) Sn = na1 + n(-1 d(n w N *)2 Sn =An2+Bn(A,B是常数，M N )n n Vn*求积公

20、式 口 ai | =(a1an) (n= N )nai,q=1 Sn = «a1(1-q )(n= N )I .,q#1l 1 -qna，q=1* Sn =«n(nW N , A#0)A-Aq ,q=1主*右 p+q=s+r, p、q、s、r=N 则ap +aq =as +a.对任意c>0,c=1,can 为等比数列. an+an4=2an,n= N ,n >2.若口、>分别为两等差数列，则Gn +如为等差数列.*右 p+q=s+r, p、q、s、e n，则 apaq = asar.对任意c>0,c=1,若an恒大于0,则logcan为等力列.an由

21、an=a；,nW N*,n 2 2.若Qn、bn为两等比数列，则anbn）为等比数列.要丁 若an恒大于0,则数列川口 ai卜为等比数列.月j若bn为正项等差自然数列，则 abn为等比数列.数列S_l为等差数列.In JSn,S2n - Sn,S3n - S2n，为等比数列.性若bn 为正项等差自然数列,则a* 为等差n, n_m ni'n ai =nNm'n ai ， n>2m , m、 T、i封书数列.*n w N Sn，S2n 一 Sn，S3n - S2n，为等差数列.一一*ap >0, pu N .质 S_ = Sn. -Sm ,门知， nn -2m-一*m

22、、 nu N . SmXSm+qmSn = Sn+qnSm.若 a1a2"，am = a1aan, m * n, 1 =Sm +Sn +mnd .若Sm=Sn，m#n,则Sm而=0.m4n则口 ai =1.i4重若 ap =q,& = p,p、qw N*，且 p#q,Smn =Sm(1 + qm+q2m +4"")要则ap七=0.二 Sn(1 + qn+q2n 十一 十q(m,)n).性若 Sp =q,Sq =p，且p=q，则若 lal<1 用1 lim S - q a1质一一*Sp+=(p+q), p、qu N|q|、i/、u iim On - S

23、 .+1-q求数列an通项公式的方法1. an邛= an + f (n)型累加法：an=(anan/)+ ( anan/)+ (a2a1)=f(n -1)+ f (n 2)+ f(1)+a1例1.已知数列 an满足& =1, an41 = an+2n(neN+),求an.解an =an - an+ an一 an/+ a2 a +a1n 1n _21=2+ 2+ 2 +11 _2nn /=2 一 11 -2n，一、.an = 2 -1 (ne n+)3. ai = g(n)型an累乘法：an=§ an 4ana2一 , a1ana1an 1例2.已知数列 an满足=n (ne

24、N+), 4 =1,求an.ani an解an = 一 an 4an 4ani曳a1a1=(n 1) (n 2) I - 1= ( n 1)!an = (n 1)!( nG N+)2. an卅=pan +q型（p q为常数）方法：（1）an书+= P（an +），P-1p-1列的相关知识求an.（2）an书-an =再用累加法求p(an -anj)an.ann：=ann+'PPP国,先用累加法求再根据等比例3.已知 an 的首项a1 =a (a为常数)，an =2an+1 (ne N + , n> 求an.解设an 入=2( an一人)，贝U入=1an+1=2 ( an+1)an

25、 +1为公比为2的等比数列.n 1an +1= (a+1) 2n 1, an = (a+1) 214. an+=pan + f(n)型(p为常数)方法：变形得"a震=-arP Pan 则17可用累加法求出，由此求f (n)n书'Pan .Pn 1 例 4.已知 an 满足 a =2, an 由=2 an+ 2.求 an.a an 1an解=27+1an2n an2n为等差数列.5. an2 = pan + + qan 型（p、q为常数）特征根法：x2 = px + q（1） Xi ¥X2时，an =Ci Xin +C2 - x2（2）x1 =x2 时，an = （

26、C1 +C2 n） x1n例 5.数列 an中，a=2, a2=3,且 2an = an+an书（nG N+, n>2）,求 an. 解an +=2 an - anx2 =2x -1x1 = x2 =1an= （C1 + C2 n） 1n = Ci + C2 - nC +c2 =2 fc1 =1G+2C2=3C2=1J_an = n 1（n N ）6.“已知Sn,求an ”型方法：an = Sn Sn(注意&是否符合)3例 6.设 Sn为 an的前 n项和，Sn = ( an 1),求 an (ne n2-3 ，、解Sn = （ an 1）（neN+）2:当 n=1 时，&

27、; =0 （ a1 1）2& =3当n>2时，an = Sn - Sn3 /3 ,=-（an-1）-（ an一1）22;an =3 anan = 3n（neN+）求数列an的前n项和的方法(1)倒序相加法(2)公式法此种方法主要针对类似等差数列中此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等an +a1 =an4 +a2 =111川，具有这样特点的数列.比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式.例：等差数列求和公式：Sn =& +a2 +lll+an等差数列：=a1+S+d)+用+a1+(n -1)d= n(a1±an)+d22把项的次序反过来，则：n(n1)

28、=nand2Sn =an 十(an -d)十| 十an(n1)dSm”Sm+Sn+mnd+得：=-n- (n > 2m, m,n w N )n2Sn =(a1 +an )+(a +an)+IH+(ai +an)n n -2m等比数列：= n(ai + &)Sn J(1-qn) J-anq； (q#1) 1-q1-qcn(ai+an)Sn2sm4n = Sn + smqn 1+2+3+n = () ;212 +22 +32 +HI +n21=n(n +1)(2n +1)613 + 23 + 33 +| + n3= (1 + 2 + 3+| + n)212,2=-n (n+1)4(3

29、)错位相减法(4)分组化归法此种方法主要用于数列 anbn的求和，其中此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综4为等差数列，bn是公比为q的等比数列，合求出所有项的和.只需用Sn -qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和qwi两种情况.例：试化简卜列和式： ,1,1,1例：求数列1, 1, 1 + +7,Sn =1 +2x+3x2 +| + nxn,(x#0)111 一1+ + 4+2 的和.解：右 x=1 ,贝U Sn=1+2+3+n = n)211 .1斛：- an =1 十一十一 十111 + I2 42n若 xw1,则

30、Sn =1+2x+3x2 +|H + nxn-xSn = x 2x2 3x3 | H nxn两式相减得:2 n 1 n(1 -x)Sn =1 x x + x- nx(J，11 12nJ12-111Sn =1 (1 n) (1 n - ) I22 411(1- ' III -2 411 -xn n nx1 - xc 1 -xnnxnSi2 一(1 -x) 1 -x=(2 -1) (2-2) (2 -22)1UI (2-台)111=2n -(1-|H- fj)2 42n1=2n-2 *(5)奇偶求和法(6)裂项相消法此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn,就必须分奇偶来讨论， 最后进行综合.例：求和Sn =1 -3 5 7 III (-1尸(2n-1)解：当 n = 2k (k WNk)时,Sn =S2k=(1-3)(5-7)III (4k-3)-(4k-1)-2k - -n当 n=2k-