(完整版)相似三角形模型分析大全(精)

1、第一部分相似三角形知识要点大全知识点1. .相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2.下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80。的两个等腰三角形；两个正五边形；有

2、一个内角是100。的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是 (填序号).解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三 角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即刍勺(或b da:b=c:d )那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.解读：(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作a £ (或a:b=c:d ),不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.(2)在比

3、例式a c(或a:b=c:d )中，比例的项为a,b,c,d ,其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d b d是第四比例项.(3)如果比例内项是相同的线段，即 -b或a:b=b:c ,那么线段b叫做线段和的比例中项。b c(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.例3.已知线段a=2cm, b=6mm,求a.b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比. b例4.已知a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= 3dm,求c的长度.2分析：由a,b,c,d 成比例

4、，写出比例式 a:b=c:d ,再把所给各线段 a,b,d 统一单位后代入求 c. 知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.1 ,-,再根据相似3例5.若四边形 ABC前四边长分别是 4, 6, 8, 10,与四边形ABC刖似的四边形 ABCD的最大边长为 30,则四边形 ABCD的最小边长是多少？分析：四边形 ABC屯四边形A1BQD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边

5、的长.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；(4)相似用“s”表示，读作“相似于”；(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：相似比是有顺序的，比如ABSAiBiCi,相似比为 k,若AiBCis4ABC则相似比为1。若两个三角形的相似比为i ,则这两个三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等.例6.如图，已知 AD曰 ABC；

6、DE=2, BC=4则和的相似比是多少？点D, E注意：解决此类问题应注意两方面：解：因为 AD曰 ABC所以-DEBC(i)相似比的顺序性，(2)图形的识另LADABAE DE，因为AC BC分别是AB, AC的中点吗？一.AD AE i所以，所以D, E分别是AB, AC的中点.AB AC 2知识点5.相似三角的判定方法(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果一个三角的两条边与另一个三

7、角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.例7.如图，点D在4ABC的边AB上，满足怎样的条件时， ACD与 ABC相似？试分别加以列举.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACDI ABC已有公共角/ A,要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，AC/AABC. AD AC2条件一： /i = /B;条件二：/ 2=/ACB条件三：，即AC2=A

8、D- AB.AC AB知识点6.相似三角形的性质(1) 对应角相等，对应边的比相等；(2) 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；(3) 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.例 8.如图，已知 ADAABC； AD=& BD=4, BC=i§ EC=7(1) 求DE AE的长；(2) 你还能发现哪些线段成比例.20分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即.DE AD AEBC AB AC2 AB例 9.已知ABSAiBG, =- , 4ABC的周长为 20cm,面积为 40cm.求（1） ABC的周长；（2） ABC的面积

9、.分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解. 2易求出 AiBG的周长为30cm; A1B1G的面积90cm第二部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜 A字型）（二）8字型、反8字型（三）母子型（四）一线三等角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第三部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形BD交于点O, BE / CD交CA延长线于 E.例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、2求证：OC2 OA OE 例2:已知：如图

10、， ABC中，点E在中线AD上，DEB ABC.求证：(1) DB2 DE DA;(2) DCE DAC .例 3:已知：如图，等腰 ABC 中，AB = AC, ADBC 于 D, CG/AB, BG 分别交 AD、AC 于 E、F.求证：BE2 EF EG .相关练习：1、如图，已知 AD为4ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证： FD 2 FB FC .2、已知：AD是RtABC中/ A的平分线，/ C=90° , EF是AD的垂直平分线交 AD于M EF、BC的延长线 交于一点此求证：(1) AAMEENMD; (2)ND 2 =NC- NB3、已知：如图，在 AB

11、C中，/ ACB=90 , CDL AB于 D, E是 AC上一点，CH BE于 F。求证：EB- DF=AE- DB且/ EPD=/A 设 A5. 已知：如图，在RtABC,/C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PDLAR交边 AC于点D (点D与点A C都不重合)，E是射线DC上一点,P两点的距离为x, 4BEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当 BEP与ABC!似时，求 BEP勺面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60° , BD CE分另1J是AG AB上的高求证：(1) AB

12、tD ACE (2) ADE ABQ (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别是 27和3,DE=6 <2 ,求：点B到直线AC的距离。BDC共享型相似三角形,求等边三角形的边1、 ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上，/DAE=120 ,已知bd=1, CE=3 长.2、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC, / DAE =45°.求证：(1) ABEsacd；(2) BC2 2BE CD .一线三等角型相似三角形例1 :如图，等边 ABC中，边长为(1)求证： BDEscfd(2)当

13、BD=1, FC=3 时，求 BE6, D 是 BC 上动点,/ EDF =60例2：(1)在 ABC中，AB AC 5, BC 8,点P、Q分别在射线 CB、AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持 APQ ABC.若点P在线段CB上(如图)，且BP 6,求线段CQ的长；若BP x, CQ y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直缱CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持 APQ 90 .当CQ 1时，求出线段 BP的长.例 3：已知在梯形 ABCD 中，AD/BC, ADvBC,且 AD= 5, AB=DC=2.

14、(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=/A.求证； ABPA DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE=/A, PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP=x, CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域；当CE= 1时，写出AP的长.例4：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB CD BC 6 , AD 3 .点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B ,射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F ,联结EF .(1)求证： MEF BEM ;(2)若 BEM是

15、以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD ,求BE的长.相关练习:E在AC边上，且1、如图，在 ABC中，AB AC 8, BC 10, D是BC边上的一个动点，点(2)求证： ABDA DCE;如果BD x, AE y ,求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE ,并作 DEF B ,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEsecf；(2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3)联结DF,如果

16、DEF与 DBE相似，求FC的长.B E C3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADvBC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.(2)如果点P在BC边上移动(点 P与点 同时交直线 AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 定义域；9 一，当SdMF S BEP时，求BP的长.求证： BEPA CPD;B、C不重合)，且满足/ EPF = /C, PF交直线CD于点F,BP=X, DF=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的(第25题图)(备用图)4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF

17、1 ,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N ,(1)写出图中与 BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE X，MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量(4)若AE 1 ,试求GMN的面积.x的取值范围;备用图一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3 ,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP , 交边AB于点E,设PD x, AE y ,求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。BCcAO 2例2、在 ABC中， C 90o,AC 4,BC 3,0是AB上的一点，且 二°