线段的垂直平分线

1、 第十三章第十三章 轴对称轴对称13.1.213.1.2线段的垂直平分线线段的垂直平分线AB13.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点点和和这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC动手操作动手操作：直线MN垂直平分线段AB；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？证明：证明：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。ABPMNCPA=

2、PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB. 已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：MNAB PCA= PCB 在 PAC和 PBC中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 线段垂直平分线上的点与这条线段线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线性质：ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 反过来，如果反过来，如果PA=PB，那么

3、点那么点P是否在线段是否在线段AB的垂的垂直平分线上呢？直平分线上呢？ （线段的垂直平分线性质线段的垂直平分线性质逆命题）逆命题）ABPC 反过来，如果反过来，如果PA=PB，那么点，那么点P是否在线段是否在线段AB的垂的垂直平分线上呢？直平分线上呢？PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上? 与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线在这条线 段的垂直平分线上。段的垂直平分线上。二、逆定理：二、逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。你能证明这个命题吗？你能证

4、明这个命题吗？ 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 你能根据上述定理和逆定理，说出你能根据上述定理和逆定理，说出线段的垂直平分线的集合定义吗？线段的垂直平分线的集合定义吗？三、三、 线段的垂直平分线的集合定

5、义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合例1：课本P62尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。AB.CDEK已知：直线AB和AB外一点C，如图：求作：AB的垂线，使它经过点C。作法： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E。（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.21F(4)作直线。直线CF就是所求作的垂线。想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？练习：课本P62 练习1 练习2

6、小结： 一，线段的垂直平分线性质：一，线段的垂直平分线性质：线段垂直平线段垂直平 分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 二、逆定理：二、逆定理：与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。作业： 习题13.1 课本P65 6题 课本P66 9题 12题（选做）例例2 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直

7、平分线上分析：结论：结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。你能依据例1得到什么结论？例例2 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分的垂直平分 线交于线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNPBAC13.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线1、求作一点、求作一点P，使，使它和已它和已ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问

8、题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实际问题实际问题114.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线2、如图，在直线、如图，在直线L上求上求作一点作一点P，使，使PA=PB.LAB实际问题实际问题数学化数学化实际问题实际问题2pPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务 问题探讨问题探讨：1、如图，在、如图，在ABC中，中，ADBC于于D， AB+BD=DC。试问：试问：B与与C是什么关系？是什么关系？OAB. C. D2、在、在V型公路（型公路（AOB）内部，）内部，有两个村庄有两个村庄C、D。你能选择一个。你能选择一个纺织厂的

9、厂址纺织厂的厂址P，使，使P到到V型公路的型公路的距离相等，且使距离相等，且使C、D两村的工人两村的工人上下班的路程一样吗？上下班的路程一样吗？ 12.3 角的平分线角的平分线ODEABPC 在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的两边的距离相等距离相等。 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的的点，在这个角的平分线上。点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 13.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点和这条线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的线段两个端点的距离相等距离相等。 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相等距离