数学分析中的典型问题和方法第二章课后练习题答案裴礼文

1、裴礼文第二章习题解答2.1.1 研究函数2.1.2 设试研究2.1.3 设试证:当且仅当 在 上单增时, 是连续的.(吉林工业大学)2.1.4 设函数 在 上连续且恒大于零,按 :在2.1.5 设 则对任意一个实数,必有实数 ,使(上海交通大学)2.1.6 函数 在 内连续 ,证明:在内存在点 ,使(华中理工大学,长春理工大学)2.1.7 设 在 上连续,证明:存在 ,使得(北京大学)2.1.8 设 上连续,若 ,且 在处达最小值,若 ,证明: 至少在两点达到最小值. (哈尔滨工业大学)2.1.9 若函数 在 上连续, ,则对任何 ,存在 ,使得(湖北大学)2.1.10 设证明:1) 方程 在

2、 上有唯一的实根 ;2) 数列2.1.11 讨论函数的连续性与可微性. (内蒙古大学)2.1.12 用 语言证明 : 如果 , 连续,且2.1.13 设 , (湖南大学)2.1.14 证明 :若函数 处处连续且为一一映射 ,则 在上必为严格单调.2.1.15 如果 上连续 ,且 ( 为有限数),则 在 上有界. (复旦大学)2.1.16 设函数试证: 在 上有最大值. (西北大学)2.1.17 若函数 在 上有界,令证明:1)当 时 的极限存在 ;2)函数 在 处连续的充要条件是2.1.18 设函数 在区间 上有界,试证函数在 上左连续,并举例说明它们可以不右连续.2.1.19 已知其中求函数

3、 在 时的具体表达式 ,并指出 在各点处的左右连续性.(北京航空航天大学)2.1.20 设 在 上定义,并且有界, 为二常数, 时,有 试证 在 处右连续.2.1.21 设 试 证为 .2.1.22 函数 在2.1.23 使得2.1.24 试证:至少存在 组不同的解 使得2.1.25 用确界存在原理 (非空有上 (下)界数集必有上 (下)确界 )证明 :若(西北大学)2.1.26 设 在 至少存在一点2.1.27 用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理:若 上连续.2.1.28 用闭区间套定理证明连续函数有界性定理,即若 在闭区间上连续,则存在 .(华中师范大学)2.2.1 设 是区间2.2.2

4、 今设计如下的实验:取一根内孔直径为 的圆形直管 ,截取长度为 的一段( ),将直管中轴与 轴平行放好.然后让 的曲线平移从管内穿过.若不论 曲线就能平移穿过此管,整个穿越过程, 无需改变,那么 就在 上一致连续.否则就是非一致连续.问这种理解正确吗?2.2.3 函数 定义证明:2.2.4 设 在2.2.5 证明:2.2.6 用不等式叙述 不一致连续.(内蒙古大学)2.2.7 证明:2.2.8 证明:函数内一致连续.但在 非一致连续.(北京航空航天大学)2.2.9 证明:周期函数只要连续必定一致连续.2.2.10 证明:在区间 一致连续.2.2.11 证明:若 有极限则2.2.12 设单调有界

5、函数 上连续,求证2.2.13 证明:在有限开区间上一致连续的二函数之和仍一致连续.问商的情况怎么样?无穷区间上关于积的结论是否还成立?证明之.2.2.14 求证:2.2.15 设实函数 在 上连续,在.证明:当且仅当 为有限时, 在上一致连续.(清华大学)2.2.16 函数2.2.17 若为什么？2.2.18 讨论下列函数在所给区间里的一致连续性.1).2).2.2.19试证2.2.20 设函数求证2.2.21 证明 上一致连续.2.2.22 设函数 具有下述性质:2.3 一节习题从略.2.4.1 设函数2.4.2 试用推归法,重新证明例 2.4.3 与例 2.4.42.4.3 证明:在的唯一单调函数是2.4.4 证明: ,则如下三条件等价:2.4.5 证明:若 则2.4.6 证明:当的唯一不