函数的单调性的研究报告解析版

1、.专题12 函数的单调性的研究一，题型选讲题型一求函数的单调区间利用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求出的导函数(3)令(或)，求出的解集，即为的单调增(或减)区间(4)列出表格例1，求函数的单调区间解：令，即解不等式，解得的增单调区间为，减区间为，例2，(2019XX学情调研)函数f(x)lnx，g(x)x2.(1) 求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程；(2) 假设a>0，求函数(x)|g(x)2a2f(x)|在区间规X解答 (1)因为f(x)lnx，所以f (x)(x0)设直线l与函数f(x)的图像相切于点(x0，y0)，那么直线l的方

2、程为 yy0(xx0)，即 ylnx0(xx0). (3分)因为直线l经过点(0，0)，所以0lnx0(0x0)，即lnx01，解得x0e.因此直线l的方程为 yx，即xey0. (6分)(2)考察函数H(x)g(x)2a2f(x)x22a2lnx.H(x)2x(x1)因为a0，故由H(x)0，解得xa.(8分)当0a1时，H(x)0在(11分)当a1时，H(x)在区间(01)上递减，在区间为递增区间(16分)题型二给定区间的单调性在某区间的单调性求参数X围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意函数单调递增(减)时，其导函数()，勿忘等号.例3，(

3、2018XX期末)假设函数f(x)(x1)2|xa|在区间1，2上单调递增，那么实数a的取值X围是_【答案】 (，1【解析】由于条件中函数的解析式比拟复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进展求解函数f(x)(x1)2|xa|(x1)2(xa)|x3(2a)x2(12a)xa|.令g(x)x3(2a)x2(12a)xa，那么g(x)3x2(42a)x12a(x1)(3x12a)令g(x)0得x11，x2.当<1，即a<1时，令g(x)>0，即(x1)(3x12a)>0，解得x<或x

4、>1；令g(x)<0，解得<x<1.所以g(x)的单调增区间是，(1，)，单调减区间是.又因为g(a)g(1)0，所以f(x)的单调增区间是，(1，)，单调减区间是(，a)，满足条件，故a<1(此种情况函数f(x)图像如图1),图1)当1，即a1时，f(x)|(x1)3|，函数f(x)图像如图2，那么f(x)的单调增区间是(1，)，单调减区间是(，1)，满足条件，故a1.,图2)当>1，即a>1时，令g(x)>0，即(x1)(3x12a)>0，解得x<1或x>；令g(x)<0，解得1<x<.所以g(x)的单调增

5、区间是(，1)，单调减区间是.又因为g(a)g(1)0，所以f(x)的单调增区间是，(a，)，单调减区间是(，1)，要使f(x)在1，2上单调递增，必须满足2，即a，又因为a>1，故a(此种情况函数f(x)图像如图3)综上，实数a的取值X围是(，1.,图3)例4，(2018XX暑假测试)函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1) 假设f(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f(x)>ex；(2) 假设f(x)在1，1上是单调递增函数，求a的取值X围；第(2)问，因为f(x)在1，1上是单调增函数，所以导函数f(x)ax2(2a1)x

6、1·ex0在1，1上恒成立，而二次三项式“ax2(2a1)x1不可因式分解，故需从a0(a>0，a<0)，和>0(0，<0)入手分类讨论，幸运的是此题的(2a1)24a4a21>0，故仅需对a进展分类讨论规X解答(1) f(x)ax2(2a1)x1·ex.不等式f(x)>ex可化为ax2(2a1)x·ex>0，(2分)因为ex>0，故有ax2(2a1)x>0.当a>0时，不等式f(x)>ex的解集是(，)(0，)(4分)(2) 由(1)得f(x)ax2(2a1)x1·ex，当a0时，f(x

7、)(x1)ex，f(x)0在1，1上恒成立，当且仅当x1时取等号，故a0符合要求；(6分)当a0时，令g(x)ax2(2a1)x1，因为(2a1)24a4a21>0，所以g(x)0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，因此f(x)有极大值又有极小值假设a>0，因为g(1)·g(0)a<0，所以f(x)在(1，1)内有极值点，故f(x)在1，1上不单调(8分)假设a<0，可知x1>0>x2，因为g(x)的图像开口向下，要使f(x)在1，1上单调，因为g(0)1>0，必须满足即所以a<0.综上可知，a的取值X围是.(10分

8、)题型三含参区间的讨论求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解.当参数的不同取值对下一步的影响不一样时，就是分类讨论开场的时机.当参数扮演多个角色时，那么以其中一个为目标进展分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进展进一步的分类.例5，(2019XX期末)己知函数f(x)alnxbx(a，bR)(1) 假设a1，b1，求函数f(x)的图像在x1处的切线方程；(2) 假设a1，求函数yf(x)的单调区间；解： (1)当a1，b1时，f(x)ln·xx，(1分)那么有f(x)1，即f(1)10.(3分)又f(1)1，那么所求切线方程为y1

9、.(4分)(2)当a1时，f(x)lnxbx，那么有f(x)b.(5分)函数的定义域为(0，)假设b0，那么f(x)>0恒成立，那么f(x)的单调增区间为(0，)(6分)假设b>0，那么由f(x)0，得x.当x时，f(x)>0，那么f(x)的单调增区间为；(7分)当x时，f(x)<0，那么f(x)的单调减区间为.(8分)例6，(2017XX期末)函数f(x)lnxx，aR.(1) 当a0时，求函数f(x)的极大值；(2) 求函数f(x)的单调区间；规X解答函数f(x)的定义域为(0，)(1) 当a0时，f(x)lnxx，f(x)1.令f(x)0，得x1.(1分)列表：x

10、(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)的极大值为f(1)1.(3分)(2) f(x)1.令f(x)0，得x2xa0，记14a.当a时，f(x)0，所以f(x)单调减区间为(0，)；(5分)当a>时，由f(x)0，得x1，x2.a. 假设<a<0，那么x1>x2>0.由f(x)<0，得0<x<x2或x>x1；由f(x)>0，得x2<x<x1.所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为，.(7分)b. 假设a0，由(1)知f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)c. 假设a>0，那么x1&g

11、t;0>x2.由f(x)<0，得x>x1；由f(x)>0，得0<x<x1.所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(9分)综上所述，当a时，f(x)的单调减区间为(0，)；当<a<0时，f(x)的单调减区间为0，单调增区间为，；当a0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(10分)二，达标训练1，(2019苏锡常镇调研)偶函数的定义域为R，且在0，)上为增函数，那么不等式的解集为【答案】.【解析】根据条件可得函数在上为减函数，那么不等式可化为，那么或，解得或，所以不等式的解集为2，(2018XX期末)函数的单调区间【答案】【解析】先确定定义

12、域，定义域为，,令,即处理恒正恒负的因式，可得：求解,列出表格3，(2018年XX期中)，假设在上存在单调递增区间，那么的取值X围是_【答案】【解析】：，有条件可得：，使得，即，只需，而，所以4，(2018苏锡常镇调研)函数f(x)x3ax2bxc，g(x)lnx.(1) 假设a0，b2，且f(x)g(x)恒成立，XX数c的取值X围；(2) 假设b3，且函数yf(x)在区间(1，1)上是单调递减函数XX数a的值； (1) 转化为clnxx32x恒成立；(2) f(x)0对x(1，1)恒成立；先考察yf(x)在(0，)上的单调性，画出yf(x)和yg(x)的示意图，注意到f(1)g(1)0.规X

13、解答 (1) 由x32xclnx恒成立，得clnxx32x对x>0恒成立(2分)记F(x)lnxx32x，x>0，那么F(x)3x22.当0<x<1时，F(x)>0；当x>1时，F(x)<0.(4分)所以F(x)在(0，1上单调递增，在1，)上单调递减，F(x)maxF(1)1.所以c1，即实数c的取值X围是1，)(6分)(2) 因为f(x)x3ax23xc在区间(1，1)上单调递减，所以f(x)3x22ax30对x(1，1)恒成立(8分)因为二次函数y3x22ax3的图像是开口向上的抛物线，所以等价于解得a0.(10分)5，(2018XX期末)函数f

14、(x)，其中a为常数(1) 假设a0，求函数f(x)的极值；(2) 假设函数f(x)在(0，a)上单调递增，XX数a的取值X围；第一小问，利用导函数求单调性，极值，值域的一般步骤，必须掌握！也是解决后面问题的根底；第二小问，由函数在(0，a)上的单调性得出导函数在特定区间的符号，转化为含参数的恒成立问题；规X解答(1) 当a0时，f(x)，定义域为(0，)f(x)，令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以当x时，f(x)的极大值为，无极小值(4分)(2) f(x)，由题意f(x)0对x(0，a)恒成立因为x(0，a)，所以

15、(xa)3<0，所以12lnx0对x(0，a)恒成立所以a2xlnxx对x(0，a)恒成立(6分)令g(x)2xlnxx，x(0，a)，那么g(x)2lnx1.假设0<ae，即0>ae，那么g(x)2lnx1<0对x(0，a)恒成立，所以g(x)2xlnxx在(0，a)上单调递减，那么a2(a)ln(a)(a)，所以ln(a)0，所以a1与ae矛盾，舍去；假设a>e，即a<e，令g(x)2lnx10，得xe，当0<x<e时，g(x)2lnx1<0，所以g(x)2xlnxx单调递减，当e<x<a时，g(x)2lnx1>0，所

16、以g(x)2xlnxx单调递增，所以当xe时，g(x)ming(e)2e·lnee2e，所以a2e.综上，实数a的取值X围是(，2e(10分)6，(2019苏锡常镇调研)函数f(x)(x1)lnxax(aR)(1) 假设yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xyb0，XX数a，b的值；(2) 设函数g(x)，x(其中e为自然对数的底数)当a1时，求g(x)的最大值；假设h(x)是单调递减函数，XX数a的取值X围 (1)利用导数的几何意义解决曲线的切线问题(2)利用导数讨论函数，导函数的单调性及值域此题的难点在于确定不同的分类标准，通过分类讨论，代数变形，将问题不断转化为熟悉的函数，

17、不等式问题，再利用导数进展求解，在变形过程中利用了常用不等式lnxx1.规X解答 (1) f(x)lnxa，f(1)a21，a3，(1分)f(1)a3，把(1，3)代入xyb0解得b2.(2分)(2)因为g(x)lnx1，那么g(x).(3分)令(x)xlnx1，那么(x)10，(x)在上单调递增，(5分)(x)(1)>0，(6分)所以g(x)>0，g(x)在上单调递增，所以g(x)的最大值为g(e) .(8分)同理，单调递增函数g(x)，(9分)那么h(x)·.1°假设a0，g(x)0，h(x)，h(x)0，令u(x)(1xx2)lnxax2x1，那么u(x)(12x)lnx(2a1)x<0.即u(x)在上单调递减，所以umax(x)u(1)a20，所以a2.(11分)2°假设a，g(x)0，h(x).由1°知，h(x)，又h(x)在区间上是单调减函数，所以u(x)(1xx2)lnxax2x10对x恒成