2018_2019学年高中数学坐标系复习课学案

1、第一章坐标系复习课整合网络构建警示易错提醒1 .关于伸缩变换的定义的易错点.X0）对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式要区分（x,y）与（x,|y=y（科。），y）的意义.在应用时必须注意：点（x,y）在原曲线上，点（x,y）在变换后的曲线上，因此点（x,y）的坐标满足原来的曲线方程，点（x,y）的坐标满足变换后的曲线方程.2 .关注直角坐标与极坐标互化的疑难点.由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定 0 的大小.3 .处理极坐标系问题中的两个易错点.（1）当极坐标方程中仅含 0（不含 p）时，常常忽略 p 的正负导致判断错误.（2）平面直角坐标系中两点A（xi,yi）,B（x2

2、,y2）之间的距离|AE|=7（xix2）（yiy2）,极坐标系中两点R（Pi,9i）,P2（P2,02）之间的距离|P1P2I=7p1+p22pip2cos（0102）.在应用时往往因记忆不清而导致计算错误.专题一平面上的伸缩变换1 .点 Rx,y）变为点 Qx,y）的伸缩变换为：x=入 x（入0）,|y=y（科。）.2 .变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个.但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，Rx,y)是变换前的坐标，Qx,y)是变换后的坐标.2x,例 1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换,后，曲线C变成曲线(x|y=

3、2y5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程，并判断其形状.xIK0)点拨：考查伸缩变换 r,将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲iy=y(科0),线方程.解：将；2x代入(x5)2+(y+6)2=1 中得：iy=2y(2x5)2+(2y+6)2=1,5221化简得曲线C的方程为 2J+(y+3)2=z，则该曲线是以I-3 的圆心，1为半径的圆.22A 归纳升华函数y=f(cox)(xCR)(其中 30,且 aw1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当 31 时)或伸长(当 030,且 AW1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A1 时)或缩短(当 0A

4、0),，一我们可记作,在使用时，需分清新旧坐标.Iy=y(科0),、，、,，,，一.,.A,一一，、，_x=3x,，一八、2,变式训练在平面直角坐标系中，已知伸缩变换 4：”,求曲线 y=2x经y=-2y,过。变换后所得的曲线方程.解：设P(x,y)是直线l上任意一点.一,2，Jx=Y由伸缩变换 4：i,得0)及 pcos0=a,psin0=a,0=a,p=2acos(0a)(aW2kTt,kCZ).例？在极坐标系中，已知直线 p 的极坐标方程为 psin,卷=1,圆C的圆心的极坐标是 C1,4:,圆的半径为 1.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 被圆C所截得的弦长.、一一 1

5、1 一.一.一-TTTT解：(1)设O为极点，OM圆C的直径，A(p,。)为圆C上的一个动点，则/AO4.一_兀-0 或/AOD0-,4OAODcosf4-0 或OAODcos10-十)所以圆C的极坐标方程为 p=2cos-4(2)由 psin+。=1,乎得 p(sin0+cos0)=1.所以直线l的直角坐标方程为x+y-X2=0,又圆心 C 的直角坐标为(考，号,满足直线l的方程，所以直线l过圆C的圆心.因此直线l被圆C所截得的弦长为 2.A 归纳升华此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法.变式训练在极坐标系中，P 是曲线 p=12si

6、n0 上的动点，Q 是曲线 p=12cos,6 的动点，试求|PQ的最大值.解：因为 p=12sin0,所以 p2=12psin0,所以x2+y212y=0,即x2+(y6)2=36.LL.xf2I儿儿所以 p=12pcos0cos-6-+sin0sinp所以x2+y263x6y=0,所以(x3%)2+(y-3)2=36,所以|PQx=6+6+(313)2+32=18.专题三极坐标与直角坐标互化如图所示，互化公式为:对于 tan0=弓中 0 值的确定，还要根据点(x,y)所在的象限，确定一个适合的角度.x例 3GO 和。Q 的极坐标方程分别为 p=4cos0,p=4sin0.(1)把。O和。Q

7、 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过。O和。Q 交点的直线的直角坐标方程.解：(1)x=pcos0,y=psin0,由 p=4cos0 得 p2=4pcos0,所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为。O的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0 为。Q的直角坐标方程.即。O,。交于点,0)和(2,2).过交点的直线的直角坐标方程为y=x.A 归纳升华极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度.变式训练(2016北京卷)在极坐标中，直线 pcos9J3psin。一 1=0 与圆 p又因为 p=12cos106(2)由。x

8、2+y24x=0,x2+y2+4y=0,XI=0,解得卜1=0，x2=2,y2=-2.=2cos。交于 A,B两点，则|AEf=.解析：因为 x=ccos0,y=psin0,所以直线的直角坐标方程为 x93y1=0.因为 p=2cos0,所以 p2(sin20+cos20)=2pcos0,所以x2+y2=2x.所以圆的直角坐标方程为(x1)2+y2=1.因为圆心(1,0)在直线 x-,3y-1=0,所以AB为圆的直径，所以|AB=2.答案：2专题四数形结合思想运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现.坐标系的建立，使直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决.例 4在极坐标系中

9、，和极轴垂直且相交的直线l与圆 p=4 相交于 A,B两点，若|AB=4,求直线l的极坐标方程.解：设直线i与极轴相交于点C如图所示，在 RtaoACh|OC=|OA2|AC2=42-22=23.设直线l上的任意一点为M(p,0),则直线 l 的极坐标方程为 pcos0=2、J3.A 归纳升华求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同，就是找出动点M的坐标 P 与 0之间的关系，然后列出方程 f(p,。)=0,再化简并检验特殊点.，f兀、变式训练求圆心为 C,6 半彳空为3 的圆的极坐标方程.一、一一.一.一一.一兀一一解：如图，设圆上任一点为P(P,。)，则|OP=P,/POA=0不，|

10、OA=2X3=6.在 RtOP仲,|OP=|OAcos/POA则P=6cos”彳：,由x2+y2=1 得x2+=1,2即曲线C的方程为x2+4=1.x2+y-=1,4解得、2x+y2=0,ix=1,或。=0ly=0,ly=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段 RP2 的中点坐标为 g,1,；所求直线斜率为 k=2,于是所求直线方程为y-1=2”1-21,化为极坐标方程，并整理得 2pcos0-4psin0-3,即P=4sin-2cos9A 归纳升华将极坐标化为直角坐标，确定圆的直角坐标方程，再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐标方程.可验证，点 O,0,I|-A6,A 满足上式.3.6

11、专题五转化与化归思想“化归”是转化与归结的简称，是对数学知识的迁移与数学解题方法的形象概括,为化此为彼，化难为易，化隐为显，具体地说，就是化抽象为具体，化未知为已知，化一般化也属于等价转化，同时要注意以下两点:例？将圆x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线(1)写出C的方程;(2)设直线 l：2x+y2=0 与C的交点为R,P2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.一_,x=xi,解：(1)设(x1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x,y)，依题息，得ly=2y1.即圆的极坐标方程为 pCi 八兀i=6cos0-g-.表现为特殊转化有等价转化与非等价转化两种,非等价转化常用于证明题或不等式，等价转化常用于解方程或不等式.在 p0,0W2 兀时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转(1)互化条件：极点与原点重合,极轴与x=pcos0,(2)互化公式：1|y=psin0 x轴正半轴重合，单位长度相同.=x2+y2,tan9-(x*0)0由点(x，y)所在的象限确定.x变式训练在极坐标系中，求圆p=8sin。