2020版高考数学大一轮复习-第4节数列求和及数列的综合应用讲义理含解析新人教A版

1、第4节数列求和及数列的综合应用考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.知识衍化II鸵胃2；知识梳理i.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：n(ai+an)n(n1)Sn=nai+_d.22 一(2)等比数列的前n项和公式：nai,q=1,S=a1-anqa1(1qn)-=.,qw1.1 -q1q2 .数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(2)裂项相消法把数列的通项

2、拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.3 .数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给

3、出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者&与&+1(或者相邻三项等)之间的递推关系.微点提醒2c22n(n+1)(2n+1)63.裂项求和常用的三种变形111(1)，-=i7n(n+1)nn+1小、1111(2)(2n1)(2n+1)=22n1.2n+1.F-1=Jn+1-5.:n+n+1基础自测疑误辨析1.判断下列结论正误(在括号内打或“x”)a1-an+1(1)若数列an为等比数列，且公比不等于 1,则其前n项和与=1_q.()一 1111当n2时，nrr=2(E-nr7).()求S=a+2a2+3a3+na

4、n时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列 d,aa,，anan1是首项为 1,公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公，一 3n1式是an=3-2.()解析(3)要分 a=0 或 a=1 或aw。且aw1讨论求解.答案(1)，(2)V(3)X(4)V教材近化.1一一,20192.(必修 5P47B4 改编)数列an中，an=n(n+1),若an的前n项和为 2020,则项数n为()A.2018B.20191.1+2+3+4+n=n(n+1)22.1C.2020D.2021an=-=-,n(n+1)nn+11a9=,q0,3 是其刖 n 项和，则243S6=一一

5、,1,18解析由a1=27,a9=U口，2=27-q,2432434.（2018东北三省四校二模）已知数列an满足an+1an=2,a1=-5,则|制十|a2|+1a61=()A.9B.15C.18D.30解析由题意知an是以 2 为公差的等差数列，又a1=5,所以|a1|十|a2|+|a6|=|5|+|3|+|1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18.答案 C5.(2019北京朝阳区质检)已知数列an,bn的前n项和分别为S,Tn,bn-an=2n+1,且&+丁=2 田+产一 2,则 2Tn=.解析由题意知TnSi=b1a1+b2a2+bnan=n+22,又 S+Tn=2n+1

6、+n22,所以 2Tn=Tn-S+S+Tn=22+n(n+1)4.答案 2+n(n+1)41n16.(2019 河北“五个一”名校质检)若f(x)+f(1-x)=4,an=f(0)+fn+f一丁一*+f(1)(nCN),则数列an的通项公式为.一.一,1n-1 一,解析由 f(x)+f(1x)=4,可得 f(0)+f(1)=4,，f-+f=4,所以 2an=f(0)+f(1)+fn+fnn+f(1)+f(0)=4(n+1),即 an=2(n+1).解析n2019Sn=1-2+2-3+nE=1-nr7=220,所以 n=2019.答案 B3.（必修 5P56 例 1 改编）等比数列an中，若 a

7、=27,又由“11-，一q0,解得 q=-,所以&=3627111311-3364答案364答案an=2(n+1)|考点聚焦突破丑和乐以愎求法考点一分组转化法求和【例 1】(2019济南质检)已知在等比数列an中，ai=i,且ai,a2,as-1 成等差数列.求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn=2n-1+an(nN*),数列bn的前n项和为试比较S与n2+2n的大小.解(1)设等比数列an的公比为 q,a1,a2,as1成等差数列,一，as_2a2=aH-(as-1)=as,q=2,a2 .an=a1qn1=2n1(nCN*).(2)由(1)知 bn=2n1+an=2n1+

8、2n;.S=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n1+2n1)=1+3+5+(2n1)+(1+2+22+2n1)-Sn(n+2)=10,S2 时，an=S1S11=-2ln12n,即an+1=3an+2,又a2=8=3a1+2,*an+1=3an+2,nN,an+1+1=3(an+1),.数列an+1是等比数列，且首项为a1+1=3,公比为 3,an+1=3x3=3,an=31.2X3n2X3n11(2).anan+1=(3n1)(3n+11)=3n-1-3n+1-1.n数列 2的前n项和anan+1_111111Tn=37-=+/-+3n-311=2-3n+1-1.规律方法 1.利用裂

9、项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练 2】设S为等差数列an的前n项和，已知S=a7,a8-2as=3.(1)求an；1(2)设bn=,求数列bn的刖n项和Tn.发解(1)设数列an的公差为 d,3ai+3d=ai+6d,(ai+7d)2(ai+2d)=3,解得 ai=3,d=2,an=ai+(n-i)d=2n+i._,.口-n(n-i),_(2)由(i)得$=nai+2d=n(n+2),iiiibn=；=.n(n+2)2nn+2Tn=bi+

10、b2+bni+bn+J_L+i.，2324n-in+inn+2iiii=2i+2_nzi-nZ23iii=7+T42n+in+2考点三错位相减法求和【例 3】已知an是各项均为正数的等比数列，且ai+a2=6,ai&=a3.求数列an的通项公式；bn，一(2)bn为各项非零的等差数列，其刖n项和为已知Sn+i=bnbn+i,求数列一的刖n项an和Tn.解设an的公比为 q,ai(i+q)=6,22aiq=aiq,又an0,又S2n+i=bnbn+i,bn+i。,所以bn=2n+i.人bn2n+i令Cn=,则Cn=_n,an2因此Tn=Ci+C2+Cn3572n-12n+1=+不+n-1

11、1Tn-,2222213572n-12n+1又丁=尹了+了+2n+2n+1,由题意得由题意知解得ai=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知：S2n+i=(2n+i)(bi+bzn+i)=(2n+i)bn+i,131112n+1两式相减得2T=2+万+了+22门+1，2n+5所以Tn=5_2n.规律方法 1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SqS”的表

12、达式.一、,、_.、一*.-、.,.一【训练 3】已知等差数列an满足:an+1an(nlN),a1=1,该数列的刖三项分别加上 1,1,3 后成等比数列，an+210g2bn=1.(1)分别求数列an,bn的通项公式；(2)求数歹Uan-bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为 d,则d0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上 1,1,3 后成等比数列，得(2+d)2=2(4+2d),解得 d=2(舍负)，所以an=1+(n1)X2=2n-1.1又因为an+210g2bn=1,所以 10g2bn=n,则 6=了.1(2)由(1)知 anbn=(2n1)富，1352n1

13、小则 Tn=+2n，1.135.2n-1_7=尹尹w+-n-,由一，得1111112n-12Tn=2+2X,+5+了+外2n+1.2n12n+1，22n-14+2n13+2nTn=1+2-2 门-12n-=32=32考点四数列的综合应用【例 4】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付 38 元；第二种，第一天付 4 元，第二天付 8 元，第三天付 12 元，依此类推；第三种，第一天付 0.4 元，以后每天比前一天翻一番(即增加 1 倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？解设该学生工作n天，每天领工资an元，共领工资S元，则第一种方案an=38,S6=

14、38n；第二种方案 an(2)=4n,S=4(1+2+3+n)=2n?+2n；第三种方案an(3)=0.4X2n1,Sn(3)=0.4(20-1).12令&、S，即 38n2n2+2n,解得 nS(3),即 38n0.4x(2n-1),利用计算器计算得小于或等于 9 天时，第一种方案报酬高，所以少于 10 天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，$0(2)=220,$0(3)=409.2,S0(3)S0(2),Sn(3)S(2).所以等于或多于 10 天时，选择第三种方案.规律方法数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数

15、列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题【训练 4】已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)=6x2,数列*an的刖n项和为S,点(n,Sn)(nCN)均在函数y=f(x)的图象上.求数列an的通项公式；3_(2)设bn=,试求数列bn的刖n项和Tn.anan+1解(1)设二次函数f(x)=ax2+bx(aw0),贝Uf(x)=2ax+b.由于 f(x)=6x2,彳 aa=3,b=2

16、,所以f(x)=3x22x.又因为点(n,S)(nCN)均在函数y=f(x)的图象上,所以 S=3n22n.当n2时，an=$i=3n22n3(n1)22(n1)=6n5;当 n=1 时，ai=S=3xi2-2xi=6xi-5,也适合上式，*_所以an=6n-5(nCN).33111()由()倚nanan+1(6n5)6(n+1)5-26n-56n+11.111故T=21-7+丁n+思维升华1 .非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相

17、消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2 .解答数列应用题的步骤(1)审题一一仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模一一将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.求解一一求出该问题的数学解.(4)还原一一将所求结果还原到实际问题中.易错防范1 .直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论.2 .在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3 .解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在6n-56n+1113n216n+1=6n+1.语言中的数学

18、关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解|分层限时询炼分二从出限力基础巩固题组（建议用时：40 分钟）一、选择题1 .（2017全国出卷）等差数列a的首项为 1,公差不为 0.若a2,33,a6成等比数列，则an前 6 项的和为（）A.-24B.-3C.3D.8解析设an的公差为 d,根据题意得32=32-36,即（ai+2d）2=（ai+d）（a+5d）,解得 d=2,所以数列an的前 6 项和为S6=6a+6d=1X6+6x（-2）=-24.答案 A2 .数列an的通项公式为an=（1）nT（4n3）,则它的前 100 项

19、之和 S等于（）A.200B.200C.400D.400解析SIQQ=(4X1-3)-(4X2-3)+(4X3-3)(4X100-3)=4X(1-2)+(3-4)+(99100)=4X(50)=200.答案 B所以Sn=a1+a2+an=(，n+13)+(5-巾1)+十(乖一也)+(也一小)=Vn+1-1,令,Jn+1-1=9,得 n=99.答案 B2n1 公4.（2019德州调研）已知Tn为数列一，的前n项和，若RT1Q+1013 恒成立，则整数m的最小值为（）3.数列an的通项公式是1n+n+1,前n项和为9,则n等于（A.9B.99C.10D.100解析因为an=2+1,1_1解析一2=

20、1+2，T1=n+1a，Ti0+1013=11%+1013=1024又mT10+1013 恒成立，整数m的最小值为 1024.答案 C5 .(2019厦门质检)已知数列曰满足an+1+(-1)n+1an=2,则其前 100 项和为()A.250B.200C.150D.100解析当 n=2k(kCN*)时，a2k+1a2k=2,当 n=2k1(keN*)时，a2k+a2k1=2,当 n=2k*+1(kCN)时，a2k+2+a20,所以an+1=3an,又 d=2,所以an是首项为 2,公比为 3 的等比数列，故 s=21，1.13答案 3n17 .(2019 武汉质检)设数列(n2+n)an是等

21、比数列，且&=1,a2=2，则数列3nan的前65415 项和为.解析等比数列(n2+n)an的首项为 2a1=；,第二项为 6a2=故公比为，所以(n2+n)an39311n11i1n11113=1，所以&=3n(n2+n)，则3a=石=n-nn，其刖n项和为1一 H，115n=15 时，为 1记=布.15答案行8 .某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的A.1026B.1025C.1024D.1023年平均产量最高，m的值为解析由于平均产量类似于图形过Pi(1,Si),R(n,SO两点直线的斜率，斜率大平均产量答案 9三、解答题22x+

22、-+X2+L+XX222sn=x+x+x?+q+一二n+=X?+2+2+X,+2+F+*2n+2+2Tixxxx2n(x21)当x=l时，S=4n.*10.设数列an的刖n项和为S,a1=2,an+1=2+Sn(nN).求数列an的通项公式；、211(2)设bn=1+log2(an),求证：数列 rv-的刖n项和Tn2),所以an+1an=Si-S-1=an,所以an+1=2an(nn2).又因为a2=2+a1=4,a1=2,所以a2=2a1,所以数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数歹U,就高，由图可知n=9 时割线PP9斜率最大，则m的值为 9.9.求和Sn=(x2+x4+x2n)+

23、2n+1.1.1-2+-4+Fxxxx2(1-x-2n)+d+2n1-x(x2n1)(x2n+2+1)x2(x2n1)x2-1+2n.则an=22n1=2n(nN).2(2)证明因bn=1+log2(an),则bn=2n+1.1111贝I=人bnbn+122n+12n+31111111所以Tn=235+57+21后 3111111=-TT=：2(nN),且&为an的前n项和,则()2A.an2n+1B.SnC.an2n1D.S2n1解析由题意得a2-a12,a3a22,a4-a32,，an-anI2,a2a+a3a+a4a3+ananI2(n1), ana12(n1),anR2n1,a

24、11,a23,a35,，an2n-1,2n-1,.(ST)=n；答案 B投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相12 月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资N的大小关系是（）A.3NB.32)且bi=a2,a1+a2+a3+an1+3+5+12.某厂 2019 年投资和利润逐月增加,同.已知 1 月份的投资额与利润值相等,则|bi|+|b2|+|b3|+|bn|=.解析由已知得bi=a2=3,q=-4,.bn=(3)X(4)1,bn|=3X4nT,即|bn|是以 3 为首项，4 为公比的等比数列，3(14n)n.|bi|+|b2|+|bn|=i4=4-1.答案 4nii4.(20i9潍坊调研)已知数歹Uan的前n项和为 S,ai=5