2020版高考数学一轮复习圆锥曲线的综合问题习题理含解析

1、第 7 节圆锥曲线的综合问题应用能力提升应用能力提升7777；【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系2,3,4,8弦长和中点弦问题1,5,7定点、定值问题11,12最值、范围、存在性问题6,9,10,13基础巩固(时间:30 分钟)1.设 AB 为过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(C)P(A)2(B)p(C)2p(D)无法确定P解析：当弦 AB 垂直于对称轴时|AB|最短，这时 x=2,所以 y=p,|AB|min=2p.选 C.2.(2018兰州一中模拟)已知过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点(点 A 在第TT一

2、象限)，若力目=*凡则直线 l 的斜率为(A)F1(A).(B)(C)(D)2解析：设过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l:x=ty+1 交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，I因为点 A 在第一象限且=3田，所以 y1=-3y20,/=联立口=ly+】得 y2-4ty-4=0,即直线 l 的斜率为工故选 A.3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是(D)71+12y 小 4G则 I当为=-3%=-4 解得(A)(-空遮(C)(-|310)(D)(-,-1)y=AM+z.解析：由限？-=G 得(1-k2)x2-4kx-1

3、0=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(xi,yi),B(x2,y2),解得-3kb0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(D)选 D.5y2x 于 A,B 两点(异于坐标原点解析:设 A(X1,y1),B(x2,y2),直府yz+7=Iffl2b2一21弓 mI_1线 AB 的斜率 k=1-3 岳,口“/(勺+巧)&-惠2)0+1为)两式相减得+=0,x2y2解得 a2=18,b2=9,方程是 1+9=1，故选 D.6.(2018昆明一中模拟)设。为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线是线段PF 上的点

4、，且|PM|二 2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为(A)U22(A)2(B)3(C)3(D)17.(2018山西省六校第四次联考)已知抛物线 C:x2=8y,直线 l:y=x+2 与 C 交于 M,N 两点，则|MN|=.必=映解析：ly=x+2,所以(y-2)2=8y,所以 y2-12y+4=0,所以 y1+y2=12,y1y2=4.(A#W+=1工 y(B)+=1x2y2(C)27+18=1(D)18+9=11+力乂%一力)即+： 0-，-2=0?11+/-2x(2)x2=0，即 a2=2b2,又 c2=9,a2=b2+c2,y2=2px(p0)上任意一点,M解析：由题意可得设 P

5、(二 4,y0),(y00),可得因为直线 l:y=x+2,过抛物线的焦点 F(0,2),所以|MN|=(yi+2)+(y2+2)=yi+y2+4=16.答案：168.(2018大庆一模)已知抛物线 C:y2=4x,过其焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 l,l 与抛物线交于 M,N 两点，且|MF|二 3|NF|,则直线 l 的斜率为.解析：抛物线 C:y2=4x,焦点 F(1,0),准线为 x=-1,分别过 M 和 N 作准线的垂线，垂足分别为 C 和 D,作 NHLCM,垂足为 H,设|NF|=x,则|MF|=3x,由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x,

6、所以|HM|=2x,由|MN|=4x,所以/HMF=60,则直线 MN 的倾斜角为 60,则直线 l 的斜率 k=tan604A答案：卜斗能力提升(时间：15 分钟)9.(2018云南玉溪模拟)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点那么|S+2，的最小值是(C)(A)0(B)1(C)2(D)2解析：因为 O 为 F1F2 的中点，所以叫+P&=2可得|叫+|=2|而，当点 P 到原点的距离最小时,|OP|达到最小值|叫+5 同时达到最小值.X2因为椭圆 x2+2y2=2 化成标准形式，得 2+y2=1,所以 a2=2 且 b2=1,可得 a=?,

7、b=1,因此点 P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|口|最小值为 b=1,所以|1+PF2|=2|OP的最小值为 2,故选 C.10.(2015江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为.解析：双曲线 x2-y2=1 的一条渐近线为直线 y=x,显然直线 y=x 与直线 x-y+1=0 平行，且两直线之 l-JJ_也|a_2-1间的距离为1+O1)=2.因为点 P 为双曲线 x2-y2=1 的右支上一点，所以点 P 到直线 y=x的距离恒大于 0,结合图形可知

8、点 P 到直线 x-y+1=0 的距离恒大于 2，即 g2，可得 c 的最大x2y211.(2018海淀区校级三模)如图，已知椭圆 C：d#*=1(ab0)的上顶点为 A(0,1),离心率为(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 A作圆 M:(x+1)2+y2=r2(圆 M在椭圆 C内)的两条切线分别与椭圆 C相交于 B,D两点(B,D不同于点 A),当 r 变化时，试问直线 BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.口昌卫解：(1)因为 e=fl=v=2,x2故所求椭圆 C 的方程是 2+y2=1.(2)设切线方程为 y=kx+1,则得&+M=r,即(1-r2)k2-2k+

9、1-r2=0,设两条切线的斜率分别为 k1,k2,于是 k1,k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0 的两实根，故 k1-k2=1.设直线 BD 的方程为 y=mx+t,ry=rnx+lr由仅+犷=2,得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0,-4mt2t2-2所以 XI+X2=1%m 一，x1x2=112，,值为又 k 永2：即(mxi+t-1)(mx2+t-1)=x1x2?(m2-1)xix2+m(t-1)(xi+x2)+(t-1)2=0?(m2-1)1+2m*+m(t-1)1+2m*+(t-1)2=0?t=-3.所以直线 BD 过定点(0,-3).jr2y212.(2018

10、广东省海珠区一模)已知椭圆 C：d+B=1(ab0)的焦距为胸，且过点 A(2,1).(1)求椭圆 C 的方程；(2)若不经过点 A 的直线 l:y=kx+m 与 C 交于 P,Q 两点，且直线 AP 与直线 AQ 的斜率之和为 0,证明：直线 PQ 的斜率为定值.解：因为椭圆 C 的焦距为 2 洞,且过点 A(2,1),41所以+=1,2c=2 卜空.因为 a2=b2+c2,解得 a2=8,b2=2,(2)证明：设点 P(x1,yI),Q(X2,y2),y1=kx1+m,y2=kx2+m,消去 y 得(4k2+1)x2+8kmx+4m_8=0,(*)Hkm贝Ux1+x2=-卜二,x 仅2=丑

11、:卜,因为 kpA+kAQ=0,%-1 力-1即=-,化简得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即 2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0(*).2 仪 4m2-8)skm(m-1-2k)代入得 42+1-4/+1-4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,1所以 k=E 或 m=1-2k.若 m=1-2k,可得方程(*)的一个根为 2,不合题意，所以直线 PQ 的斜率为定1 为一 1=1,2(t2-1)-4nt所以椭圆 C 的方程为8：+=1.匕成13.(2018西城区一模)已知椭圆 C：u*+b=1(ab0)的离心率为 2,以椭圆 C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A 是椭圆 C 的右顶点，点 B 在 x 轴上，若椭圆 C 上存在点 P,使得/APB=90，求点 B 横坐标的取彳 1范围.解：(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.依题意，得。=2,ab=2 且 a2=b2+c2.解得 a=2,b=-.22xy所以椭圆 C 的方程为 4+2=1.(2)“椭圆 C 上存在点 P,使得/APB=90”等价于“存在不是椭圆左、