场论与数理方程

1、数学物理方程微分方程微分方程v常微分方程常微分方程v偏微分方程偏微分方程 ( )u x( )uf xx( , )u x t（其中（其中x表示位置，表示位置，t表示时间）表示时间）( , )v x n（其中（其中x表示大小，表示大小，n表示方向）表示方向）2222( , )uuf x txt数学物理方程数学物理方程v数学物理方程数学物理方程：用数学方法研究物理现象的偏微分 方程。v经典方程波动方程 热传导方程 调和方程数学物理方程的发展数学物理方程的发展v对流扩散方程v奇异摄动方程v弹性力学22( , )uuuabf x txxt2122( , )uuf x txx数学物理方程的解法数学物理方程

2、的解法v分析解法分析解法 分离变量法 积分变换法 古典解 行波法v数值解法数值解法 差分方法 有限元 数值解 多尺度第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导1.1 基本方程的建立基本方程的建立一、弦振动方程一、弦振动方程例1：设一长为l的均匀柔软的细弦，导出弦的微小的横振动方程横振动：1.在同一平面内振动 2.振向与弦向垂直( , )u x t 作用于小段作用于小段ABC的横向合力应该为零：的横向合力应该为零： 2211coscos0TT（1）仅考虑仅考虑微小微小的横振动，的横振动， 21,2221,夹角夹角为很小的量，忽略为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根

3、据级数展开式有及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 2112cos11, cos12! 12TT311111222sintan , sintan3!222d(d )(d )1 ( ) ddxsxuuxx根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mFau方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 2211sinsind( d )ttTTg ss u（2）注意到注意到: : tansinxuux故由上图得故由上图得1122dtansin, tansinxxxxxuu这样，这样，(1)(1)和和(2)(2)简化为简化为21d21dd (9.1.3) 0 (9.1.4) xxttxxxT uT ug x

4、uxTT （3） （4） 12TT ，弦中张力不随，弦中张力不随x而变，而变， 可记为可记为 21TTT故有 d()ddxxttxxxT uug xux (5) 变化量变化量dx可以取得很小，根据微分知识有下式成立可以取得很小，根据微分知识有下式成立 dddxxxxxxxxuuuxuxx 0 ttxxuTug (6)因此2ttxxua ug （7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程 其中其中2/aT讨论：讨论：（1 1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7)(7)右端的重力右端的重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程：加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程： 2ttxxua u （8） 称式（称式（8 8）为一维弦振动方程（一维波动方程）为一维弦振动方程（一维波动方程）(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 ( , )F x t作用，则式(2)应该改写为 2( , )ttxxua uf x t (9) 式中式中( , )( , )F x tf x t称为力密度称为