风险管理4-2风险衡量

1、Chapter4-2 风险衡量的数量方法风险衡量的数量方法损失资料的收集与整理损失资料的收集与整理损失资料的描述损失资料的描述风险衡量指标风险衡量指标损失频率与损失幅度的估算损失频率与损失幅度的估算1获得损失分布的一般过程获得损失分布的一般过程年度总损失分布及随机模拟年度总损失分布及随机模拟四、损失频率与损失幅度的估测四、损失频率与损失幅度的估测l（一）每年损失事故发生的次数（一）每年损失事故发生的次数 损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。1 1、用二项分布估测损失次数、用二项分布估测损失次数 假设假设n n个风险单位个风险单位均遭到同一风险的威

2、胁。如果均遭到同一风险的威胁。如果n n 个风险个风险单位在一年中发生所述的风险事故的次数为单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X X，且满足下列，且满足下列条件：（条件：（1 1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设为设为p p；（；（2 2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样风险事故（独立性）；（风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3 3）同一个风险）同一个风险单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这一概率为零。则这一

3、概率为零。则X X为一服从二项分布的随机变量，且分布为一服从二项分布的随机变量，且分布律为律为 其中其中q=1-pq=1-p是标的一年中不发生事故的概率。是标的一年中不发生事故的概率。kn,0,1,2kn kP XkC p qkn 关于二项分布的两个极限分布：A.A.棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理设随机变量设随机变量 则对任意则对任意x x, ,有有),10)(,(), 2 , 1(ppnBnn221lim ( ).(1)2txnnnpPxedtxnpp意义:当n很大而p又不太小时,二项分布可用正态分布来近似.B.B.泊松定理泊松定理l运用二项分布估测风险事故发生次数的概率时，要求每个风

4、险单位每年仅发生一次事故年仅发生一次事故，而实际上每一风险单位每年都有可能发生多次多次致损事故，而且当发生风险事故的独立单位数n很大时，二项分布的计算会很繁杂，因此：ln大，p小，而乘积=np大小适中（0.1-10），二项分布可用泊松分布来近似计算l kkn-knC p q!kek关于二项分布的两个极限分布：2、用泊松分布估测损失次数、用泊松分布估测损失次数l设有众多风险单位众多风险单位，每一风险单位发生事故的概率相同，每年每年估计平均发生次次风险事故，则一年中发生致损事故数X为一服从参数为的泊松分布，分布律为 k=0,1,2 l该分布的期望与标准差分别为期望与标准差分别为 和和 。 e=2.

5、71828，k可无限取值，不限制事故次数。l关键问题是通过损失资料获得的估值的估值，例如一个车队在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约2/3次，则估值为2/3。! kekXPk63、负二项分布、负二项分布 在事件在事件A A发生的概率为发生的概率为p p的独立重复随机实验中，若的独立重复随机实验中，若以以X X记记A A第第k k次出现时的试验次数次出现时的试验次数，则，则X X为随机变量，它可为随机变量，它可能取的值为能取的值为k,k+1,k,k+1,，其，其X的的概率分布为帕斯卡分布概率分布为帕斯卡分布（负二项分布）。（负二项分布）。11,1,kkx kxP XxCp qxk k

6、k 1k 1x kx 1xx11p(k, )kAkCpqANbp事实上，在第 次出现A的第 次贝努利试验中，最后一次一定是 ，而前次中出现A的次数为次，由二项分布知其概率为，再乘以最后一次出现 的概率 ，即得1+1y,xy,0,1,2kkxx kxkP XxCp qx令再用 替换 ，可得：2kq()kq()E XpVar Xp7l负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风险属于非同质时赔款的发生概率。险属于非同质时赔款的发生概率。l教材教材p156p156l例：观察例：观察1010万份保单，按其在一年中的索赔次数万份保单，按其在一年中的索赔次数进行分组

7、，见表。已知平均索赔次数为进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.123180.12318，方差为方差为0.1257070.125707，分别用泊松分布和负二项分布，分别用泊松分布和负二项分布来拟合索赔频数，看哪一种更适合。来拟合索赔频数，看哪一种更适合。810万份保单的观察结果万份保单的观察结果索赔次数保单数拟合频数泊松分布负二项分布0885858841188597110577108901054427796718063542750441351总保单数100000（二）每次事故的损失金额（二）每次事故的损失金额l风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的次数与其相应的概率都可以一一列举出

8、来，但每次风险事故所致的损失金额一般来说不能全部列举，它是连续型随机变量，只可以在某一区间取值，只可以确定在某一区间的概率，而不是某一特定值的概率。l 估测每次事故的损失金额，我们主要利用正态分布、对数正态分布等，计算出一次事故中损失金额可能取值的范围及其概率。l正态分布：指变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。从理论上说，若随机变量x的概率密度函数为：222/)(21)(xexf1 1、用正态分布估测损失额、用正态分布估测损失额标准正态分布与正态分布的转换标准正态分布与正态分布的转换l标准正态分布：指均数为0，标准差为1的正态分布。常称z 分布或u分布。

9、l标准正态分布与正态分布的转换公式： Xz例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以一天计算，一个夏季（59月）共153天。表每次暴雨造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3）损失额大于100万的概率的多大？l（1）用损失资料的平均值去估计正态分布的数学期望 2nnn222111nnn111mmmxiiiiiiiiiiiiiiifffSfff，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。 （2）由于标准差故 根据正态分布的特点 ，损失额落在（81.1932.951.96，81.19+ 32.951.96 ）,即落在(16.61,1

10、45.78) 内的概率为95%。264490081.1932.9584S l（3）损失分布是N（81.19 ,32.95），损失值X大于100万的概率，即是标准正态分布的分布函数，已编制成表可供查阅，经查，7157. 057. 0即Px100=10.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。其中 x 81.1910081.1981.19X100= = 0.5732.9532.9532.95XXPPP附：列维附：列维林德伯格中心极限定理及应用林德伯格中心极限定理及应用 若X1, X2,Xn相互独立,服从同一分布同一分布,且具有相同的数学期望和方差：则随机变量2ii,(i

11、1,2,).EXDXii 1nXnYn的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x满足2ii12lim()lim1 ().2nnnntxXnFxPxnedtx 列维列维林德伯格中心极限定理的应用林德伯格中心极限定理的应用l某类赔款的平均规模为某类赔款的平均规模为400元，标准差为元，标准差为1000元，计算元，计算85笔相互独立的赔款之和大于笔相互独立的赔款之和大于49000元的概率。元的概率。正态变量的线性变换具有不变性正态变量的线性变换具有不变性 定理：设X1, X2,Xn是n个相互独立的随机变量,若 ，则2iiiX N，niii 1rkXnn22iiiii 1i 1rNkk（，）（

12、Ki不全为0）当随机变量独立同分布，K Ki i为1 1和 时：1n 若总体 ，X1, X2,Xn是取自总体X的样本, ，则2X N，nii 11XXn2X Nn，（1）（2）X- N 01/ n，区间估计的实质区间估计的实质l假设某个总体的均数为，需要找到两个量A和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)，区间(A,B)能包含。即P(A100），），t分布近似分布近似u分布，可以分布，可以 u 界值代替界值代替 t 界值，估计总体均数的可信区间。界值，估计总体均数的可信区间。22,XXXu sXu sP176例题例题l例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），例：某地为了估计七岁男童

13、的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取100100人，测得人，测得这这100100个男童的平均身高为个男童的平均身高为120.18cm120.18cm，标准差，标准差4.33cm4.33cm。求置信度为求置信度为95%95%的该地区的该地区7 7岁男童平均身高的可信区间。岁男童平均身高的可信区间。所需暴露单位的数量（样本容量）所需暴露单位的数量（样本容量）l置信区间的估计，区间越小越好，置信度较低，显著水平较高l人们常常对区间有所规定，损失必须控制在某一区间，或者说对实际损失与预期损失之间的差做出规定和限制（误差限误差限）p178a/2

14、xa/2maxa/22a/22a/2minmaxxZ=1-xZ=1-= x=ZZ=nEZ=EPPnnnEn（）（）， 令 E，必 须 小 于 给 定 值 ， E越 小 ，越 大故 ， 样 本 容 量l某保险公司在承保一宗瓷器运输险时，想要以95%的可靠性估算运输过程中的平均损失金额，从以往的资料中发现，损失标准差s=40元，现要求估计误差限不超过8元，需要抽取多少样本才能满足要求？lp178l样本容量较小，总体为正态分布，估计样本容量较小，总体为正态分布，估计总体方差总体方差l此时统计量为l则区间估计如下：) 1(2222nsn1)/()(22/12222/222/222/1nsnsPPl（2

15、 2）总体方差的估计）总体方差的估计l2 2、用对数正态分布估测损失值、用对数正态分布估测损失值 很多损失分布并不是正态分布，而常常是分布密度呈右偏状，很多损失分布并不是正态分布，而常常是分布密度呈右偏状，即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小，如对数正态分布。即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小，如对数正态分布。l对数正态分布是其对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如对数正态分布是其对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果果 Y Y 是对数正态分布，则是对数正态分布，则 log(log(Y Y) ) 为正态分布。为正态分布。 对于对于 x x 0 0，对数正态分布的概率分布函数

16、为，对数正态分布的概率分布函数为 其中其中 与与 分别是分别是变量取对数后的平均值与标准差变量取对数后的平均值与标准差。 l随机变量的期望值：随机变量的期望值： 标准差标准差l利用对数正态分布来估测损失值与正态分布相比要复杂得利用对数正态分布来估测损失值与正态分布相比要复杂得多，我们将用一个示意的例子来学习估测方法。多，我们将用一个示意的例子来学习估测方法。l假设企业过去火灾损失数据为：假设企业过去火灾损失数据为：2 2，2 2，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，4 4，4 4，4 4，4 4，5 5，5 5，5 5，5 5，6 6，6 6，6 6，7 7，7 7，8 8，9 9

17、，其频，其频率分布表如下：率分布表如下：l对每个数据取自然对数得到另一个序列：对每个数据取自然对数得到另一个序列：0.693,0.693,0.693,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.0.693,0.693,0.693,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.386,1.386,1.386,1.386,1.386,1.609,1.609,1.60099,1.386,1.386,1.386,1.386,1.386,1.609,1.609,1.609,1.609,1.792,1.792,1.792,1.946,1.946,2.079

18、,2.1979,1.609,1.792,1.792,1.792,1.946,1.946,2.079,2.197。新数据的分组及其他相关数据新数据的分组及其他相关数据l因其取对数的数据构成的经验分布与正态分布近似，故因其取对数的数据构成的经验分布与正态分布近似，故取对数后损失服从取对数后损失服从N N（1.39, 0.4621.39, 0.462），这样火灾损失服），这样火灾损失服从参数为从参数为1.391.39，0.4620.462的对数正态分布。对数正态分布的对数正态分布。对数正态分布的数学期望等于的数学期望等于 ，标准差等于，标准差等于l故损失的平均值为故损失的平均值为4.464.46（单

19、位），（单位）， 未来损失落在未来损失落在 的概率为的概率为68.2768.27落在落在 内的概率为内的概率为9595。l如果要计算未来损失额大于如果要计算未来损失额大于7 7的概率，根据对数正态分的概率，根据对数正态分布的分布函数布的分布函数F F（x x），可得），可得46. 4246. 05 . 039. 1e17. 212246. 046. 05 . 039. 1ee)36. 6 ,53. 2(),(46. 039. 146. 039. 1ee1.39 1.96 0.461.39 1.96 0.46(,)(1.00,10.07)ee46. 039. 17ln17ln17SxxP1131

20、. 08869. 0121. 11（一）经典统计方法（一）经典统计方法l基于总体信息和样本信息的统计推断被称为经典统计学。基于总体信息和样本信息的统计推断被称为经典统计学。l基本观点：将样本看做是来自具有一定概率分布的总体基本观点：将样本看做是来自具有一定概率分布的总体l研究对象：总体研究对象：总体（并不局限于数据本身）（并不局限于数据本身） l经典统计学派的假设检验思想经典统计学派的假设检验思想: :经典统计学派运用反证的思想进行推断，即：在认定一次实经典统计学派运用反证的思想进行推断，即：在认定一次实验中小概率事件不会出现的前提下，若观察到的事件是验中小概率事件不会出现的前提下，若观察到的

21、事件是H0H0为为真时不合理的小概率事件，则拒绝真时不合理的小概率事件，则拒绝H0H0。五、获得损失分布的一般过程五、获得损失分布的一般过程经典统计方法经典统计方法获得损失分布的大体轮廓获得损失分布的大体轮廓1选择分布类型选择分布类型2估计参数，确定概率分布估计参数，确定概率分布3对分布及参数进行检验对分布及参数进行检验4获得损失分布的大体轮廓获得损失分布的大体轮廓1将数据从小到大将数据从小到大排列，按照一定排列，按照一定的标准分组后做的标准分组后做成频率直方图。成频率直方图。3频率直方图和频频率直方图和频率折线都是密度率折线都是密度函数的近似，通函数的近似，通过光滑过程可以过光滑过程可以得到

22、概率密度曲得到概率密度曲线。线。2将每个直方柱的将每个直方柱的上端中点连接起上端中点连接起来，就做成了概来，就做成了概率折线。率折线。选择分布类型选择分布类型TEXTTEXTTEXTTEXTTEXT根据概率密度曲线非常直观地根据概率密度曲线非常直观地大致确定其分布族大致确定其分布族估计参数，确定概率分布估计参数，确定概率分布矩法估计矩法估计极大似然法极大似然法原点矩原点矩中心矩中心矩经典统计方法近似服从自由度为n-r-1的卡方分布，其中r为所选择的概率分布中参数的个数。 对分布及参数进行检验（对分布及参数进行检验（卡方检验卡方检验） 例题经典统计方法 设某保险人经营某种车辆险，对过去所发生的1

23、000次理赔情况，平均理赔额为2200元，将个体理赔额分为5档，各档的数值范围与次数如下表： 试用卡方检验判断是否能用指数分布模拟个体理赔额的分布？（二）贝叶斯方法（二）贝叶斯方法贝叶斯方法贝叶斯方法是利用总体信息、样本信息和先验信息进贝叶斯方法是利用总体信息、样本信息和先验信息进行统计推断的。其重要特点是在对概率密度函数行统计推断的。其重要特点是在对概率密度函数 的参数的参数 进行估计时，进行估计时， 将其看作是一个随机变量将其看作是一个随机变量，可以用一个概率分布去描述，这个分布就称为先验，可以用一个概率分布去描述，这个分布就称为先验分布。分布。先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一

24、些先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一些信息。一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。信息。一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。),(xf1 1、未知参数、未知参数 视为随机变量，视为随机变量，根据先验信息确定先验分布根据先验信息确定先验分布f(f( ) )，不依赖不依赖于样本于样本2 2、取样本、取样本x x1 1x xn n，可得联合条件概率函数，可得联合条件概率函数f(X|f(X| ) )， 是随机变量是随机变量4 4、样本、样本X X和参数和参数 的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为f f（X, X, ）5 5、利用、利用BayesianBayesian公式求后验分布密

25、度公式求后验分布密度f(f( |X|X) ) 6 6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）l基本思想：( | ) ( )( | )( | ) ( )f xffxf xfd*贝叶斯方法贝叶斯方法下面我们用贝叶斯方法来估计参数下面我们用贝叶斯方法来估计参数,从而获得损失分布从而获得损失分布.设损失变量设损失变量X的分布类型为的分布类型为 ，连续情形下相应，连续情形下相应的密度函数为的密度函数为1、选择先验分布、选择先验分布设设 的先验分布函数和密度函数分别为的先验分布函数和密度函数分别为 、 ， 它们是它们是建立在建立在 研究者关于该参数的知识和经验的

26、基础上，如果对其发研究者关于该参数的知识和经验的基础上，如果对其发生的概率没有任何信息，贝叶斯本人建议采用生的概率没有任何信息，贝叶斯本人建议采用“同等无知同等无知”的原的原则使用区间（则使用区间（0，1）上的均匀分布）上的均匀分布U（0，1）作为该参数的先验）作为该参数的先验分布。分布。*贝叶斯方法贝叶斯方法2、确定似然函数、确定似然函数似然函数是将样本的联合概率函数看成似然函数是将样本的联合概率函数看成 的函数。的函数。通过对似然函数求导，令其导数为零，可求得该概率通过对似然函数求导，令其导数为零，可求得该概率的最大值，从而求得的最大值，从而求得 的极大似然估计。的极大似然估计。*贝叶斯方

27、法贝叶斯方法3、确定参数的后验分布、确定参数的后验分布通过前面所温习的贝叶斯公式，我们可以得到参数通过前面所温习的贝叶斯公式，我们可以得到参数 的后验分布的后验分布为了便于计算分母的积分，我们通常在共轭分布族中选择为了便于计算分母的积分，我们通常在共轭分布族中选择参数的参数的分布分布。( | ) ( )( | )( | ) ( )f xffxf xfdl先验分布的共轭分布选取法后验分布和先验分布是同一个类型P161已知： ，选若f(x|)服从二项分布，选Beta分布若f(x|)服从泊松分布，选Gamma分布若f(x|)服从指数分布，选逆Gamma分布若f(x|)服从正态分布，选正态分布P161( )f( | )f x*贝叶斯方法贝叶斯方法4、选择损失函数并估计参数、选择损失函数并估计参数首先我们来定义首先我们来定义“损失损失”和和“损失函数损失函数”这里的损失是指参数真实值和估计值之间差