微分方程应用

1、第第六六节节 微分方程应用微分方程应用 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；定初始条件； (2) (2) 求出微分方程的通解；求出微分方程的通解； (3) (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解方程相应的特解 本节将通过一些实例说明微分方程的应用本节将通过一些实例说明微分方程的应用 例例1 1 一曲线通过点一曲线通过点( 2 , 3 ) ，该曲线上任意一点，该

2、曲线上任意一点(x,y)处的处的法线与法线与x轴的焦点为，且线段轴的焦点为，且线段P恰被恰被y轴平分，求此曲线轴平分，求此曲线的方程的方程 解解 ）列方程：）列方程：设所求曲线方程为设所求曲线方程为yy(x)，则它在则它在(x,y)处的法线方程为：处的法线方程为：)(1xXyyYP(x,y)y=y(x)y0 x图1即得曲线应满足微分方程即得曲线应满足微分方程:20(1)yyx令令=，得法线在，得法线在x轴上的截距为轴上的截距为 ：Xyyx由题设条件得由题设条件得: 02xyyx由于曲线由于曲线过点过点( 2 , 3 ) ，故得初值条件:23(2)xy）求通解，将方程（）分离变量，得：）求通解，

3、将方程（）分离变量，得：将初值条件（）代入通解，得：将初值条件（）代入通解，得：17c 将上式两端积分将上式两端积分，得通解：得通解：222yxc）求特解）求特解 20ydyxdx则所求曲线方程为：则所求曲线方程为：22172yx例例2 2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为零。求降落伞下落速速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。度与时间的函数关系。 解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为 v = v( t ) ,降落伞在空中下落时，降落伞在空中下

4、落时， 同时受到重力同时受到重力 P 与阻力与阻力 R 的作用的作用(图图2)， 重力大小为重力大小为 mg ，方向与方向与 v 一致；一致； 阻力大小为阻力大小为 kv ( k 为比例系数为比例系数)，方向与相反，方向与相反， 图2根据牛顿第二运动定律根据牛顿第二运动定律 F = ma (其中其中 a 为加速度为加速度)， 得函数得函数v = v(t)的微分方程为的微分方程为 从而降落伞所受外力为从而降落伞所受外力为 ,kvmgF (3) kvmgdtdvm 由题意，初始条件为由题意，初始条件为 . 00 tv 因为方程因为方程(3)是可分离变量的是可分离变量的 这就是方程这就是方程(3)的

5、通解的通解于是降落伞下落速度与时间的函数关系为于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动以后逐渐接近于等速运动 分离变量后得分离变量后得 mdtkvmgdv 两边积分两边积分 mdtkvmgdv得得 1)ln(1Cmtkvmgk 即即 1kCtmkekvmg 或或 (4) )(1keCCekmgvkCtmk 将初始条件将初始条件 代入代入(4)式，式， 00 tv得得 kmgC (5) )1(tmkekmgv 由由(5)式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐

6、接近于常数 , kmg且不会超过且不会超过 ,kmg例例3 3一曲线一曲线 过点过点(, ,),在该曲线上任意点处的切线在y轴上的截距恰等于原点(0,0)到该点的距离.解解1)1)列方程列方程设所求曲线为设所求曲线为 y y = = y y( (x x) ,) ,则它在任意一点则它在任意一点(x,y)(x,y)处的切线方程为处的切线方程为: :()Yyy XxYyy x 2222(6)yxyyxyxyyx即令令X=0,X=0,得切线在得切线在y y轴上的截距轴上的截距为为由题设条件得由题设条件得34(7)xy于是于是21duuxuudx两端积分两端积分21ln(1)lnuuxc 由于曲线过点由

7、于曲线过点(3,4),(3,4),故得初值条故得初值条件件2)2)求通解求通解方程方程(6)(6)是齐次方程是齐次方程, ,另另y=u(x)x,y=u(x)x,则则dyduuxdxdx即即211dudxxu 22yxyc得通解：得通解：(3)(3)求特解求特解将初值条件将初值条件( () )代入通解代入通解, ,解得解得c=9,c=9,则曲则曲线方程为线方程为229yxy例例4 4 已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气，空气的温度是的温度是20，经过，经过

8、20小时以后，瓶内水温降到小时以后，瓶内水温降到60，求，求瓶内水温的变化规律瓶内水温的变化规律 解解 可以认为在水的冷却过程中，空气可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的的温度是不变的 由题意，得由题意，得 其中其中 k 是比例系数是比例系数( k 0 ) 由于是单调减少的，即由于是单调减少的，即 0ddt 设瓶内水的温度设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为与时间之间的函数关系为 ， )(t 则水的冷却速率为则水的冷却速率为 , dtd (1) )20( kdtd所以所以(1)式右边前面应加式右边前面应加“负号负号”初始条件为初始条件为1000 t 对对(1)式分离变量，得式分离变量

9、，得kdtd 20 两边积分两边积分 dtkd20 得得 Cktln)20ln( t kt kCCt kCeeee lnln20 即即20 t kCe 于是方程于是方程(1)的特解为的特解为 8020k te把初始条件把初始条件 代入上式，求得代入上式，求得 C = 80 ， 1000 t 其中比例系数其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件可用问题所给的另一条件 来确定，来确定， 6020 t 即即 20806020 te解得解得 0347. 05 . 0ln201 k因此瓶内水温因此瓶内水温 与时间与时间 的函数关系为的函数关系为t20800347. 0 te 例例5 5设质量为设质量为

10、m 的物体的物体 在冲击力的作用下得到在冲击力的作用下得到初速度初速度v0在一水面上滑动在一水面上滑动,作用于物体的摩擦力为作用于物体的摩擦力为-km(k为为常数常数 ) , 求该物体的运动方程求该物体的运动方程,并问物体能滑多远并问物体能滑多远?解解设所求物体的运动方程为设所求物体的运动方程为s=s(t),由牛顿第由牛顿第二定律及题意得二阶微分方程二定律及题意得二阶微分方程2222d sd smkmkdtdt 或初始条件初始条件:0(0)0 , (0)ssv2122221kttccskdtsd通解两边同时逐次积分，得方程将初始条件将初始条件0210(0)0 , (0)0,ssvccv代入通解

11、，得从而所求运动方程为从而所求运动方程为2012sv tkt20000220001()0,0,2()22vsv tktvkttkvtkvvkkvkk令即得即经过后物体停止运动，在这段时间内物体滑动的路程为s=微分方程的通解为微分方程的通解为:12xxyc ec e例例6 6试求由微分方程试求由微分方程 所确定的一条积分所确定的一条积分曲线曲线y=y(x),使它在点使它在点(0,1)处与直线处与直线y-3x=1相切相切.0 yy解解由题意知由题意知,所求积分曲线所求积分曲线y = y(x)满足二阶常系数齐次线满足二阶常系数齐次线性微分方程性微分方程 ,初值条初值条件为件为 .0 yy(0)1,(

12、0)3yy将初值条件将初值条件:(0)1,(0)3yy 代入通解得121213cccc12 c1,2c 故所求积分曲线方程为故所求积分曲线方程为2xxyee例例7 7解解 设在时刻设在时刻t时链条垂下时链条垂下s(单位单位:m),链条的线密度链条的线密度(单位长单位长度的质量度的质量)为为,则链条所受的外力大小等于垂下部分链条所则链条所受的外力大小等于垂下部分链条所受的重力受的重力sg(g为重力加速度为重力加速度).根据牛顿第二定律F=ma,可得微分方程为 长为长为6m的链条自高的链条自高6m的桌上无摩擦地向下滑动的桌上无摩擦地向下滑动,假定在运动开始时假定在运动开始时,链条自桌上垂下部分已有

13、链条自桌上垂下部分已有1m长长,试问需试问需经多长时间链条才全部滑过桌子经多长时间链条才全部滑过桌子?22226,0(1)6d sd sgsgsdtdt即按题意，在运动开始时，链条自桌上垂下的部分按题意，在运动开始时，链条自桌上垂下的部分已有已有m长，且无初速度，所以有初值条件：长，且无初速度，所以有初值条件：方程（）是二阶常系数齐次线性方程，其特征方方程（）是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为程为206gr 1,26gr 解得特征根001,0(2)ttdssdt故得通解为故得通解为 )3(6261tgtgececs将（）式对将（）式对t求导，得：求导，得：把初值条件（）代入（）及（）式，得

14、把初值条件（）代入（）及（）式，得121210cccc于是所求满足初值条件的特解为于是所求满足初值条件的特解为 1212c解得c6612()(4)6ggttdsgc ec edt661()(5)2ggttsee求链条全部滑过桌子所需的时间求链条全部滑过桌子所需的时间t当链条全部滑过桌子时，当链条全部滑过桌子时，s，代入（）式得：，代入（）式得：由此可解得由此可解得661216()2ggttc ec e6ln(635)( )tsg这就是链条全部滑过桌子所用的时间，这就是链条全部滑过桌子所用的时间，其中其中gm/s例例 8 8 在如图在如图5.3所示的电路中，先将开关所示的电路中，先将开关K 拨向

15、拨向 A，使电容，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B 设开关设开关K拨向拨向A的时间的时间 t =0 ,求求 时回路中的电流时回路中的电流 i ( t ).0t 已知已知E=20伏，伏，C=0.5法拉，法拉， L=1.6亨利，亨利，R=4.8欧姆；且欧姆；且 图5.3解解 在电路在电路R-L-C中各元件的电压降中各元件的电压降分别为分别为 根据回路电压定律，得根据回路电压定律，得 , 00 ti2250 tdtdi .,1,dtdiLEUQCURiULLCR.EUUUCRL 将上述各式代入，得将上述各式代入，得在上式两边对在上式两边对 t 求导，求导，

16、 将将R=4.8，L=1.6 ， C=0.5代入，得代入，得 .1EQCRidtdiL , idtdQ 因为因为因此得因此得 , 0122 iCdtdiRdtidL即即 0122 iLCdtdiLRdtid (8) 045322 idtdidtid方程方程(8)的特征方程为的特征方程为04532 rr特征根为特征根为 .212 r15,2r 为求得满足初始条件的特解，求导数得为求得满足初始条件的特解，求导数得 图5.4 图图5.4为电流为电流 i 的图象当开关的图象当开关K拨向拨向B后，这回路中的反向后，这回路中的反向电流电流 i ，先由，先由0开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零所以方程所以方程(8)的通解为的通解为.212251tteCeCi .2125212251tteCeCi 将初始条件将初始条件 代入，代入，, 00 ti2250 tdtdi得得12120,5125.222CCCC 解得解得 125,4C 225.4C 因此得回路电流为因此得回路电流为 51222