20172018学年高中数学人教a版（浙江专版）必修2讲学案：第二章 2．3　直线、平面垂直的判定及其性质

1、直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定预习课本预习课本 P6466， 思考并完成以下问题思考并完成以下问题1直线与平面垂直的定义是怎样的？直线与平面垂直的定义是怎样的？2直线与平面垂直的判定定理是什么？直线与平面垂直的判定定理是什么？3直线与平面所成的角是怎样定义的？直线与平面所成的角是怎样定义的？4直线与平面所成的角的范围是什么？直线与平面所成的角的范围是什么？新知初探新知初探1直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义(1)自然语言自然语言： 如果直线如果直线 l 与平面与平面内的内的任意一条任意一条直线都直线都垂直垂直， 就

2、说直线就说直线 l 与平面与平面互相垂直互相垂直，记作记作 l.直线直线 l 叫做平面叫做平面的的垂线垂线，平面，平面叫做直线叫做直线 l 的的垂面垂面直线与平面垂直时，它们惟一直线与平面垂直时，它们惟一的公共点的公共点 P 叫做叫做垂足垂足(2)图形语言：如图图形语言：如图画直线画直线 l 与平面与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意符号语言：任意 a，都有，都有 lal.点睛点睛(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形(2)注意定义中注意定义中“任意

3、一条直线任意一条直线”与与“所有直线所有直线”等同但不可说成等同但不可说成“无数条直线无数条直线”2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示图形语言：如图所示(3)符号语言：符号语言：a，b，abP，la，lbl.点睛点睛判定定理条件中的判定定理条件中的“两条相交直线两条相交直线”是关键性词语是关键性词语，此处强调此处强调“相交相交”，若两条若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直直线平行，则直线与平面不一定垂直3直

4、线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影射影所成的所成的锐角锐角，叫做这条，叫做这条直线和这个平面所成的角直线和这个平面所成的角如图，如图，PAO 就是斜线就是斜线 AP 与平面与平面所成的角所成的角(2)当直线当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角是与平面垂直时，它们所成的角是 90.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0.(4)线面角线面角的范围：的范围：090.点睛点睛把握定义应注意两点把握定义应注意两点： 斜线上不同于斜足的点斜线上不同于斜足的点 P 的

5、选取是任意的的选取是任意的； 斜线在平斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)若直线若直线 l 垂直于平面垂直于平面，则则 l 与平面与平面内的直线可能相交内的直线可能相交，可能异面可能异面，也可能平行也可能平行()(2)若若 ab，a，l，则，则 lb()(3)若若 ab，b，则，则 a()答案答案：(1)(2)(3)2直线直线 l 与平面与平面内的两条直线都垂直，则直线内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面与平面的位

6、置关系是的位置关系是()A平行平行B垂直垂直C在平面在平面内内D无法确定无法确定解析解析：选选 D当平面当平面内的两条直线相交时内的两条直线相交时，直线直线 l平面平面，即即 l 与与相交相交，当平面当平面内的内的两直线平行时，两直线平行时，l或或 l或或 l 与与垂直或垂直或 l 与与斜交斜交3.如图，如图，BCA90，PC平面平面 ABC，则在，则在ABC，PAC 的边所的边所在的直线中：在的直线中：(1)与与PC垂直的直线有垂直的直线有_；(2)与与AP垂直的直线有垂直的直线有_解析：解析：(1)PC平面平面 ABC，AB，AC，BC平面平面 ABC.PCAB，PCAC，PCBC.(2)

7、BCA90，即，即 BCAC，又，又 BCPC，ACPCC，BC平面平面 PAC，BCAP.答案：答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解对直线与平面垂直的判定定理的理解 典例典例 下列说法正确的有下列说法正确的有_(填序号填序号)垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个

8、平面垂直；若若 l 与平面与平面不垂直，则平面不垂直，则平面内一定没有直线与内一定没有直线与 l 垂直垂直解析解析因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故故不正确不正确由线面垂直的定义可得，故由线面垂直的定义可得，故正确正确因为这两条直线可能是平行直线，故因为这两条直线可能是平行直线，故不正确不正确如图，如图，l 与与不垂直，但不垂直，但 a，la，故，故不正确不正确答案答案(1)对于线面垂直的定义要注意对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线直线垂直于平面内的所有直线”说法与说法与

9、“直线垂直于平面直线垂直于平面内无数条直线内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线判定定理中要注意必须是平面内两相交直线 活学活用活学活用 1若三条直线若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线两两垂直，则直线 OA 垂直于垂直于()A平面平面 OABB平面平面 OACC平面平面 OBCD平面平面 ABC解析解析：选选 COAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面平面 OBC，OA平平面面OBC.2如果一条直线垂直于一个平面内的如果一条直线垂直于一个平面内的：三

10、角形的两边三角形的两边；梯形的两边梯形的两边；圆的两条直圆的两条直径；径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号填序号)解析：解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填相平行，不满足定理条件故填.答案答案：线面垂直的判定线面垂直的判定 典例典例 如图如图，在三棱锥在三棱锥 SA

11、BC 中中，ABC90，D 是是 AC 的中的中点，且点，且 SASBSC.(1)求证：求证：SD平面平面 ABC；(2)若若 ABBC，求证：，求证：BD平面平面 SAC.证明证明(1)因为因为 SASC，D 是是 AC 的中点，的中点，所以所以 SDAC.在在 RtABC 中，中，ADBD，由已知由已知 SASB，所以所以ADSBDS，所以所以 SDBD.又又 ACBDD，所以所以 SD平面平面 ABC.(2)因为因为 ABBC，D 为为 AC 的中点，的中点，所以所以 BDAC.由由(1)知知 SDBD.又因为又因为 SDACD，所以，所以 BD平面平面 SAC.利用线面垂直的判定定理证

12、明线面垂直的步骤利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论根据判定定理得出结论 活学活用活学活用 如图，如图，AB 为为O 的直径，的直径，PA 垂直于垂直于O 所在的平面，所在的平面，M 为圆周为圆周上任意一点，上任意一点，ANPM，N 为垂足为垂足(1)求证：求证：AN平面平面 PBM.(2)若若 AQPB，垂足为，垂足为 Q，求证：，求证：NQPB.证明：证明：(1)AB 为为O 的直径，的

13、直径，AMBM.又又 PA平面平面 ABM，PABM.又又PAAMA，BM平面平面 PAM.又又 AN平面平面 PAM，BMAN.又又 ANPM，且，且 BMPMM，AN平面平面 PBM.(2)由由(1)知知 AN平面平面 PBM，PB平面平面 PBM，ANPB.又又AQPB，ANAQA，PB平面平面 ANQ.又又 NQ平面平面 ANQ，PBNQ.直线与平面所成角直线与平面所成角 典例典例 三棱锥三棱锥 SABC 的所有棱长都相等且为的所有棱长都相等且为 a，求，求 SA 与底面与底面 ABC 所成角的余弦值所成角的余弦值解解如图如图，过过 S 作作 SO平面平面 ABC 于点于点 O，连接连

14、接 AO，BO，CO.则则 SOAO，SOBO，SOCO.SASBSCa，SOASOBSOC，AOBOCO，O 为为ABC 的外心的外心ABC 为正三角形，为正三角形，O 为为ABC 的中心的中心SO平面平面 ABC，SAO 即为即为 SA 与平面与平面 ABC 所成的角所成的角在在 RtSAO 中，中，SAa，AO2332a33a，cosSAOAOSA33，SA 与底面与底面 ABC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角作角：作作(或找或找)出斜线在平面上的射影出斜线在平面上的射影，将空间角将空间角(斜线与平面所成的角斜线与平面

15、所成的角)转化为平面角转化为平面角(两条相交直线所成的锐角两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可有时可以是两垂足以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算活学活用活学活用在正方体在正方体

16、ABCDA1B1C1D1中，中，(1)直线直线 A1B 与平面与平面 ABCD 所成的角的大小为所成的角的大小为_；(2)直线直线 A1B 与平面与平面 ABC1D1所成的角的大小为所成的角的大小为_；(3)直线直线 A1B 与平面与平面 AB1C1D 所成的角的大小为所成的角的大小为_解析：解析：(1)由线面角定义知，由线面角定义知，A1BA 为为 A1B 与平面与平面 ABCD 所成的角，所成的角，A1BA45.(2)如图，连接如图，连接 A1D，设，设 A1DAD1O，连接，连接 BO，则易证，则易证 A1D平平面面ABC1D1，A1B 在平面在平面 ABC1D1内的射影为内的射影为 O

17、B，A1B 与平面与平面 ABC1D1所所成的角为成的角为A1BO.A1O12A1B，A1BO30.(3)A1BAB1，A1BB1C1，A1B平面平面 AB1C1D，即即 A1B 与平面与平面 AB1C1D 所成的角的大小为所成的角的大小为 90.答案：答案：(1)45(2)30(3)90层级一层级一学业水平达标学业水平达标1已知已知 m 和和 n 是两条不同的直线是两条不同的直线，和和是两个不重合的平面是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中那么下面给出的条件中，一定能推出一定能推出 m的是的是()A，且，且 mBmn，且，且 nCmn，且，且 nDmn，且，且 n解析：解析：选选 BA 中

18、，由中，由，且，且 m，知，知 m；B 中，由中，由 n，知，知 n 垂直于平面垂直于平面内内的任意直线，再由的任意直线，再由 mn，知，知 m 也垂直于也垂直于内的任意直线，所以内的任意直线，所以 m，符合题意；，符合题意；C、D 中中，m或或 m或或 m 与与相交，不符合题意，故选相交，不符合题意，故选 B.2若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行平行B相交相交C异面异面D以上皆有可能以上皆有可能解析：解析：选选 D在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，A1A，B1B 与底面与底面 ABCD 所成的角相

19、等，此所成的角相等，此时两直线平行；时两直线平行；A1B1，B1C1与底面与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直线相交；所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC 与底与底面面 ABCD 所成的角相等，此时两直线异面故选所成的角相等，此时两直线异面故选 D.3下列四个命题中，正确的是下列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个

20、平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直ABCD解析：解析：选选 D不正确不正确4.如图如图，l，点点 A，C，点点 B，且且 BA，BC，那么直那么直线线l 与直线与直线 AC 的关系是的关系是()A异面异面B平行平行C垂直垂直D不确定不确定解析解析：选选 CBA，l，l，BAl.同理同理 BCl.又又 BABCB，l平平面面ABC.AC平面平面 ABC，lAC.5.如图所示如图所示

21、， 若斜线段若斜线段 AB 是它在平面是它在平面上的射影上的射影 BO 的的 2 倍倍， 则则 AB 与与平面平面所成的角是所成的角是()A60B45C30D120解析：解析：选选 AABO 即是斜线即是斜线 AB 与平面与平面所成的角，所成的角，在在 RtAOB 中，中，AB2BO，所以，所以 cosABO12，即即ABO60.6已知直线已知直线 l，a，b，平面，平面，若要得到结论，若要得到结论 l，则需要在条件，则需要在条件 a，b，la，lb 中另外添加的一个条件是中另外添加的一个条件是_答案：答案：a，b 相交相交7.如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥 PABC 中，中，PA平面平面

22、ABC，PAAB，则直，则直线线PB 与平面与平面 ABC 所成的角等于所成的角等于_解析：解析：因为因为 PA平面平面 ABC，所以斜线，所以斜线 PB 在平面在平面 ABC 上的射影上的射影为为AB，所以所以PBA 即为直线即为直线 PB 与平面与平面 ABC 所成的角所成的角在在PAB 中中，BAP90，PAAB，所以所以PBA45，即直线，即直线 PB 与平面与平面 ABC 所成的角等于所成的角等于 45.答案：答案：458已知已知 PA 垂直于平行四边形垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面所在的平面，若若 PCBD，则平行四边形则平行四边形 ABCD 一一定是定是_解析：解析：如图

23、，如图，PA平面平面 ABCD，BD平面平面 ABCD，BDPA.又又 BDPC，PAPCP，BD平面平面 PAC.又又 AC平面平面 PAC，BDAC.平行四边形平行四边形 ABCD 为菱形为菱形答案：答案：菱形菱形9.如图，在四面体如图，在四面体 ABCD 中，中，BDC90，ACBD2，E，F分别为分别为 AD，BC 的中点，且的中点，且 EF 2.求证：求证：BD平面平面 ACD.证明：证明：取取 CD 的中点为的中点为 G，连接，连接 EG，FG.又又E，F 分别为分别为 AD，BC 的中点，的中点，FGBD，EGAC.ACBD2，则，则 EGFG1.EF 2，EF2EG2FG2，E

24、GFG，BDEG.BDC90，BDCD.又又 EGCDG，BD平面平面 ACD.10.在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E 是是 A1B1的中点的中点，求求直线直线 AE 与平面与平面 ABC1D1所成的角的正弦值所成的角的正弦值解：解：如图，取如图，取 CD 的中点的中点 F，连接，连接 EF 交平面交平面 ABC1D1于于 O，连，连接接AO，B1C.由由 ABCDA1B1C1D1为正方体，易得为正方体，易得 B1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，BC1平面平面 ABC1D1，D1C1平面平面 ABC1D1，B1C平面平面 ABC1D1.E，

25、 F 分别为分别为 A1B1， CD 的中点的中点， EFB1C， EF平面平面 AC1，即即EAO 为直线为直线 AE 与平面与平面 ABC1D1所成的角所成的角在在 RtEOA 中，中，EO12EF12B1C22，AE A1E2AA211221252，sinEAOEOAE105.直线直线 AE 与平面与平面 ABC1D1所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为105.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，与中，与 AD1垂直的平面是垂直的平面是()A平面平面 DD1C1CB平面平面 A1DB1C平面平面 A1B1C1D1D平面平面 A1DB答案答案

26、：B2下面四个命题：下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个其中正确的是其中正确的是()ABCD解析：解析：选选 B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故不正确；过一点和一个平面不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故垂直的平面有无数个，故不正确；易知不正确；易知均

27、正确故选均正确故选 B.3设设 l，m 是两条不同的直线，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是是一个平面，则下列命题正确的是()A若若 lm，m，则，则 lB若若 l，lm，则，则 mC若若 l，m，则，则 lmD若若 l，m，则，则 lm解析：解析：选选 B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项个平面，知选项 B 正确正确4.如图，四棱锥如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，的底面为正方形，SD底面底面 ABCD，则下列结论中不正确的是，则下列结论中不正确的是()AACSB

28、BAB平面平面 SCDCSA 与平面与平面 SBD 所成的角等于所成的角等于 SC 与平面与平面 SBD 所成的角所成的角DAB 与与 SC 所成的角等于所成的角等于 DC 与与 SA 所成的角所成的角解析解析：选选 D选项选项 A 正确正确，因为因为 SD 垂直于平面垂直于平面 ABCD，而而 AC 在平在平面面 ABCD 内内，所以所以 AC 垂直于垂直于 SD；再由再由 ABCD 为正方形为正方形，所以所以 AC 垂直于垂直于 BD，而而 BD 与与 SD相交，所以相交，所以 AC 垂直于平面垂直于平面 SBD，进而垂直于，进而垂直于 SB.选项选项 B 正确，因为正确，因为 AB 平行

29、于平行于 CD，而，而 CD 在平面在平面 SCD 内，内，AB 不在平面不在平面 SCD 内，所内，所以以AB 平行于平面平行于平面 SCD.选选项项 C 正确正确， 设设 AC 与与 BD 的交点的交点为为 O， 连连接接 SO， 则则 SA 与平与平面面 SBD 所成的角就是所成的角就是ASO，SC 与平面与平面 SBD 所成的角就是所成的角就是CSO，易知这两个角相等，易知这两个角相等选项选项 D 错误，错误，AB 与与 SC 所成的角等于所成的角等于SCD，而，而 DC 与与 SA 所成的角是所成的角是SAB，这两个，这两个角不相等角不相等5.如图，在棱长为如图，在棱长为 2 的正方

30、体的正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，E 是是 AD 的中点的中点，F 是是 BB1的中点，则直线的中点，则直线 EF 与平面与平面 ABCD 所成角的正切值为所成角的正切值为_解析：解析：连接连接 EB，由，由 BB1平面平面 ABCD，知，知FEB 即即直线直线 EF 与平面与平面 ABCD 所成的角所成的角在在 RtFBE 中中，BF1，BE 5，则则 tanFEB55.答案：答案：556.如图所示如图所示，将平面四边形将平面四边形 ABCD 沿对角线沿对角线 AC 折成空间四边形折成空间四边形，当平面当平面四边形四边形 ABCD 满足满足_时，空间四边形中的两条对角线互相垂直时，

31、空间四边形中的两条对角线互相垂直(填上填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：解析：在平面四边形中，设在平面四边形中，设 AC 与与 BD 交于交于 E，假设，假设 ACBD，则，则 ACDE，ACBE.折叠后，折叠后，AC 与与 DE，AC 与与 BE 依然垂直，所以依然垂直，所以 AC平面平面 BDE，所，所以以 ACBD.若四边形若四边形 ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证直，同上可证 ACBD.答案：答案：ACBD(或四边形或四边形 ABCD 为菱形、正方形等

32、为菱形、正方形等)7如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：求证：AB1平面平面 A1BC1.(2)若若 D 为为 B1C1的中点，求的中点，求 AD 与平面与平面 A1B1C1所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：(1)证明：由题意知四边形证明：由题意知四边形 AA1B1B 是正方形，是正方形，AB1BA1.由由 AA1平面平面 A1B1C1得得 AA1A1C1.又又A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面平面 AA1B1B，又又AB1平面平面 AA1B1B，A1C1AB1.又又BA1A1C1A1，AB1平面平面 A1BC1

33、.(2)连接连接 A1D.设设 ABACAA11，AA1平面平面 A1B1C1，A1DA 是是 AD 与平面与平面 A1B1C1所成的角所成的角在等腰直角三角形在等腰直角三角形 A1B1C1中，中，D 为斜边的中点，为斜边的中点，A1D12B1C122.在在 RtA1DA 中，中，AD A1D2A1A262.sinA1DAA1AAD63，即即 AD 与平面与平面 A1B1C1所成角的正弦值为所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACBC1，ACB90，AA1 2，D 是是 A1B1的中点的中点(1)求证求证 C1D平面平面 AA1B1B；(2)当点当

34、点 F 在在 BB1上的什么位置时，会使得上的什么位置时，会使得 AB1平面平面 C1DF？并证明？并证明你的结论你的结论证明：证明：(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，是直三棱柱，A1C1B1C11，且，且A1C1B190.又又 D 是是 A1B1的中点，的中点，C1DA1B1.AA1平面平面 A1B1C1，C1D平面平面 A1B1C1，AA1C1D，又，又 A1B1C1DD，C1D平面平面 AA1B1B.(2)作作 DEAB1交交 AB1于于 E，延长延长 DE 交交 BB1于于 F，连接连接 C1F，则则 AB1平面平面 C1DF，点点 F为所求为所求C1D平面平面 AA1B1B，AB1

35、平面平面 AA1B1B，C1DAB1.又又 AB1DF，DFC1DD，AB1平面平面 C1DF.AA1A1B1 2，四边形四边形 AA1B1B 为正方形为正方形又又 D 为为 A1B1的中点，的中点，DFAB1，F 为为 BB1的中点，的中点，当点当点 F 为为 BB1的中点时，的中点时，AB1平面平面 C1DF.23.2平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定预习课本预习课本 P6769，思考并完成以下问题思考并完成以下问题1二面角的定义、表示分别是怎样的？二面角的定义、表示分别是怎样的？2二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？3面面垂直是怎样定义的

36、？面面垂直是怎样定义的？4面面垂直的判定定理的内容是什么？面面垂直的判定定理的内容是什么？新知初探新知初探1二面角二面角(1)定义定义： 从一条直线出发的从一条直线出发的两个半平面两个半平面所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角(如图如图)直线直线 AB 叫做二面角的棱，叫做二面角的棱，半平面半平面和和叫做二面角的面叫做二面角的面记法：记法：AB，在，在，内，分别取点内，分别取点 P，Q 时，可记作时，可记作 PABQ；当棱记为；当棱记为 l 时，可记作时，可记作l或或 PlQ.(2)二面角的平面角：二面角的平面角：定义定义：在二面角在二面角l的棱的棱 l 上任取一点上任取一点 O，如图

37、所示如图所示，以点以点 O 为垂足为垂足，在在半平面半平面和和内内分别作垂直于棱分别作垂直于棱 l 的射线的射线 OA 和和 OB，则射线，则射线 OA 和和 OB 构成构成的的AOB 叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角直二面角：平面角是直二面角：平面角是直角直角的二面角的二面角点睛点睛二面角的平面角的定义是两条二面角的平面角的定义是两条“射线射线”的夹角的夹角，不是两条直线的夹角不是两条直线的夹角，因此因此，二二面角面角的取值范围是的取值范围是 0180.2平面与平面垂直平面与平面垂直(1)面面垂直的定义面面垂直的定义定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是定义：如果两个平面相交，且它

38、们所成的二面角是直二面角直二面角，就说这两个平面互相垂，就说这两个平面互相垂直直画法：画法：记作：记作：.(2)两平面垂直的判定定理：两平面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的文字语言：一个平面过另一个平面的垂线垂线，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直图形语言：如图图形语言：如图符号语言：符号语言：AB，ABB，AB.点睛点睛定理的关键词是定理的关键词是“过另一面的垂线过另一面的垂线”， 所以应用的关键是在平面内寻找另一个面所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线的垂线小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”

39、)(1)若若 l，则过，则过 l 有无数个平面与有无数个平面与垂直垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为两垂直的平面的二面角的平面角大小为 90()答案：答案：(1)(2)2在二面角在二面角l的棱的棱 l 上任选一点上任选一点 O，若若AOB 是二面角是二面角l的平面角的平面角，则必须具有的则必须具有的条件是条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且，且 AO，BO答案：答案：D3对于直线对于直线 m，n 和平面和平面，能得出，能得出的一组条件是的一组条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n解析：解析：选选 CA

40、 与与 D 中中也可与也可与平行，平行，B 中不一定中不一定，故选，故选 C.面面垂直的判定面面垂直的判定 典例典例 如图，四边形如图，四边形 ABCD 为菱形，为菱形，ABC120，E，F 是是平面平面 ABCD 同一侧的两点，同一侧的两点，BE平面平面 ABCD，DF平面平面 ABCD，BE2DF，AEEC.证明：平面证明：平面 AEC平面平面 AFC.证明证明如图，连接如图，连接 BD，设，设 BDAC 于点于点 G，连接，连接 EG，FG，EF.在菱形在菱形 ABCD 中，不中，不妨设妨设 GB1.由由ABC120，可得，可得 AGGC 3.由由 BE平面平面 ABCD，ABBC，可知

41、，可知 AEEC.又又 AEEC，所以，所以 EG 3，且，且 EGAC.在在 RtEBG 中，可得中，可得 BE 2，故，故 DF22.在在 RtFDG 中，可得中，可得 FG62.在直角梯形在直角梯形 BDFE 中，由中，由 BD2，BE 2，DF22，可得可得 EF3 22.从而从而 EG2FG2EF2，所以，所以 EGFG.又又 ACFGG，所以，所以 EG平面平面 AFC.因为因为 EG平面平面 AEC，所以平面，所以平面 AEC平面平面 AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法：证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面

42、垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻

43、找一直线与另一平面垂直 活学活用活学活用 1.如图如图，已知已知 PA矩形矩形 ABCD 所在的平面所在的平面，则图中互相垂直的平则图中互相垂直的平面有面有()A1 对对B2 对对C3 对对D5 对对解析解析：选选 DDAAB，DAPA，DA平面平面 PAB.同理同理 BC平面平面 PAB，又又 AB平平面面 PAD，DC平面平面 PAD，平面平面 PAD平面平面 AC，平面平面 PAB平面平面 AC，平面平面 PBC平平面面PAB，平面，平面 PAB平面平面 PAD，平面，平面 PDC平面平面 PAD，共，共 5 对对2.如图，四边形如图，四边形 ABCD 是边长为是边长为 a 的菱形，的菱

44、形，PC平面平面 ABCD，E是是 PA 的中点，求证：平面的中点，求证：平面 BDE平面平面 ABCD.证明：证明：连接连接 AC，设，设 ACBDO，连接，连接 OE.因为因为 O 为为 AC 中点，中点，E 为为 PA 的中点，的中点，所以所以 EO 是是PAC 的中位线，的中位线，所以所以 EOPC.因为因为 PC平面平面 ABCD，所以所以 EO平面平面 ABCD.又因为又因为 EO平面平面 BDE，所以平面所以平面 BDE平面平面 ABCD.二面角的求法二面角的求法 典例典例 (1)如图，在正方体如图，在正方体 ABCDABCD中：中：二面角二面角 DABD 的大小为的大小为_二面

45、角二面角 AABD 的大小为的大小为_(2)如图，已知如图，已知 RtABC，斜边，斜边 BC，点点 A ，AO，O 为垂足，为垂足，ABO30，ACO45，求，求二二面角面角 ABCO 的大小的大小 解析解析 (1)在正方体在正方体 ABCDABCD中，中，AB平面平面 AD，所以，所以 ABAD，ABAD，因此因此DAD 为二面角为二面角 DABD 的平面角在的平面角在 RtDDA 中，中，DAD45，所以二面，所以二面角角DABD 的大小为的大小为 45.因为因为 AB平面平面 AD，所以，所以 ABAD，ABAA，因此，因此AAD 为二面角为二面角 AABD 的平的平面角，又面角，又A

46、AD90，所以二面角，所以二面角 AABD 的大小为的大小为 90.答案答案4590(2)解：解：如图，在平面如图，在平面内，过内，过 O 作作 ODBC，垂足为点，垂足为点 D，连接，连接 AD，设，设 COa.AO，BC，AOBC.又又 AOODO，BC平面平面 AOD.而而 AD平面平面 AOD，ADBC，ADO 是二面角是二面角 ABCO 的平面角的平面角由由 AO，OB，OC，知，知 AOOB，AOOC.ABO30，ACO45，COa，AOa，AC 2a，AB2a.在在 RtABC 中，中，BAC90，BC AC2AB2 6a，ADABACBC2a 2a6a2 33a.在在 RtAO

47、D 中，中，sinADOAOADa2 33a32.ADO60，即二面角，即二面角 ABCO 的大小是的大小是 60.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线两条射线(交线交线)所成的角，即为二面角的平面角所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种垂线法：利用线面垂直

48、的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法方法 活学活用活学活用 如图，把等腰直角三角形如图，把等腰直角三角形 ABC 沿斜边沿斜边 AB 旋转至旋转至ABD 的位置的位置，使使 CDAC.(1)求证：平面求证：平面 ABD平面平面 ABC.(2)求二面角求二面角 CBDA 的余弦值的余弦值解：解：(1)证明：证明：取取 AB 的中点的中点 O，连接，连接 OD，ABD 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DOAB，且，且 DO22AD.连接连接 OC，同理得，同理得 COAB，且且 CO22AC，ADAC，DOCO22AC.CDAC，DO2CO2CD2，CDO 为等腰直角三角

49、形，为等腰直角三角形，DOCO，又又 ABCOO，DO平面平面 ABC.又又DO平面平面 ABD，平面平面 ABD平面平面 ABC.(2)取取 BD 的中点的中点 E，连接，连接 CE，OE.BCD 为等边三角形，为等边三角形，CEBD.又又BOD 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，OEBD.OEC 为二面角为二面角 CBDA 的平面角的平面角由由(1)可证得可证得 OC平面平面 ABD，OCOE.COE 为直角三角形为直角三角形设设 BC1，则，则 CE32，OE12，cosOECOECE33，即二面角即二面角 CBDA 的余弦值为的余弦值为33.折叠问题折叠问题 典例典例 如图如图， 在

50、矩形在矩形 ABCD 中中， AB 2， BC2， E 为为 BC 的中点的中点， 把把ABE 和和CDE分别沿分别沿 AE，DE 折起，使点折起，使点 B 与点与点 C 重合于点重合于点 P.(1)求证：平面求证：平面 PDE平面平面 PAD；(2)求二面角求二面角 PADE 的大小的大小解解(1)证明：由证明：由 ABBE，得得 APPE，同理，同理，DPPE.又又APDPP，PE平面平面 PAD.又又 PE平面平面 PDE，平面平面 PDE平面平面 PAD.(2)如图所示如图所示，取取 AD 的中点的中点 F，连接连接 PF，EF，则则 PFAD，EFAD，PFE 就是二面角就是二面角

51、PADE 的平面角的平面角又又 PE平面平面 PAD，PEPF.EFAB 2，PF 2 211，cosPFEPFEF22.二面角二面角 PADE 的大小为的大小为 45.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量 活学活用活学活用 如图所示如图所示，在矩形在矩形 ABCD 中中，已知已知 AB12AD，E 是是 AD 的中点的中点，沿沿 BE 将将ABE 折起折起至至ABE 的位置，使的位置，使 ACAD，求证：平

52、面，求证：平面 ABE平面平面 BCDE.证明：证明：如图所示，取如图所示，取 CD 的中点的中点 M，BE 的中点的中点 N，连接连接 AM，AN，MN，则则 MNBC.AB12AD，E 是是 AD 的中点，的中点，ABAE，即，即 ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形在四边形 BCDE 中，中，CDMN，又又MNAMM，CD平面平面 AMN，CDAN.DEBC 且且 DE12BC，BE 必与必与 CD 相交相交又又ANBE，ANCD，AN平面平面 BCDE.又又AN平面平面 ABE，平面平面 ABE平面平面 BCDE.层级一层级一学业水平达标学业水平达标1从空间一点从空间一点

53、P 向二面角向二面角l的两个面的两个面，分别作垂线分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若为垂足，若EPF60，则二面角，则二面角l的平面角的大小是的平面角的大小是()A60B120C60或或 120D不确定不确定解析：解析：选选 C若点若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为在二面角内，则二面角的平面角为 120；若点；若点 P 在二面角外，则在二面角外，则二面角的平面角为二面角的平面角为 60.2如果直线如果直线 l，m 与平面与平面，满足：满足：l，l，m和和 m，那么必有，那么必有()A且且 lmB且且 mCm且且 lmD且且解析解析：选选 AB 错错，有可能有可能 m 与与相交相交

54、；C 错错，有可能有可能 m 与与相交相交；D 错错，有可能有可能与与相相交交3已知直线已知直线 a，b 与平面与平面，下列能使，下列能使成立的条件是成立的条件是()A，Ba，ba，bCa，aDa，a解析：解析：选选 D由由 a，知，知内必有直线内必有直线 l 与与 a 平行而平行而 a，l，.4如图，四边形如图，四边形 ABCD 中，中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将，将ABD 沿沿 BD 折起折起，使平面使平面 ABD平面平面 BCD，构成几何体构成几何体 ABCD，则在几何体则在几何体 ABCD 中中，下下列结论正确的是列结论正确的是()A平面平面 ABD平面平面 ABC

55、B平面平面 ADC平面平面 BDCC平面平面 ABC平面平面 BDCD平面平面 ADC平面平面 ABC解析：解析：选选 D由已知得由已知得 BAAD，CDBD，又平面又平面 ABD平面平面 BCD，CD平面平面 ABD，从而从而 CDAB，故，故 AB平面平面 ADC.又又 AB平面平面 ABC，平面平面 ABC平面平面 ADC.5在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面 A1BD 与底面与底面 ABCD 所成二面角所成二面角 A1BDA 的正切的正切值为值为()A.32B.22C. 2D. 3解析：解析：选选 C如图所示，连接如图所示，连接 AC 交交 BD 于点于点 O，

56、连接，连接 A1O，O 为为 BD 中点，中点，A1DA1B，在在A1BD 中，中，A1OBD.又又在正方形在正方形 ABCD 中，中，ACBD，A1OA 为二面角为二面角 A1BDA 的平面角的平面角设设 AA11，则，则 AO22.tanA1OA122 2.6如果规定：如果规定：xy，yz，则，则 xz，叫作，叫作 x，y，z 关于相等关系具有传递性，那么空间关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面三个平面，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是_解析：解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行由平面与

57、平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性具有传递性，相交、垂直都不具有传递性答案：答案：平行平行7在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，E 是是 CC1的中点，则平面的中点，则平面 EBD 与平面与平面 AA1C1C 的位置的位置关系是关系是_(填填“垂直垂直”“”“不垂直不垂直”其中的一个其中的一个)解：解：如图，在正方体中，如图，在正方体中，CC1平面平面 ABCD，CC1BD.又又 ACBD，CC1ACC，BD平面平面 AA1C1C.又又 BD平面平面 EBD，平面平面 EBD平面平面 AA1C1C.答案：答案：垂直垂

58、直8若若 P 是是ABC 所在平面外一点所在平面外一点，而而PBC 和和ABC 都是边长为都是边长为 2 的正三角形的正三角形，PA6，那么二面角，那么二面角 PBCA 的大小为的大小为_解析：解析：如图，取如图，取 BC 的中点的中点 O，连接，连接 OA，OP，则，则POA 为二面为二面角角PBCA 的平面角，的平面角，OPOA 3，PA 6，所以，所以POA 为直角三角形为直角三角形，POA90.答案：答案：909如图如图，在圆锥在圆锥 PO 中中，AB 是是O 的直径的直径，C 是是 AB上的点上的点，D 为为 AC 的中点的中点证明证明：平面平面 POD平面平面 PAC.证明：证明：

59、如图，连接如图，连接 OC，因为，因为 OAOC，D 是是 AC 的中点，所以的中点，所以 ACOD.又又 PO底面底面 ABC，AC底面底面 ABC，所以所以 ACPO.因为因为 OD，PO 是是平面平面 POD 内的两条相交直线，所以内的两条相交直线，所以 AC平面平面 POD.又又 AC平面平面 PAC，所以平面所以平面 POD平面平面 PAC.10.如图所示如图所示，在在ABC 中中，ABBC，SA平面平面 ABC，DE 垂直垂直平分平分 SC，且分别交，且分别交 AC，SC 于点于点 D，E，又，又 SAAB，SBBC，求，求二面角二面角 EBDC 的大小的大小解：解：E 为为 SC

60、 中点，且中点，且 SBBC，BESC.又又 DESC，BEDEE，SC平面平面 BDE，BDSC.又又 SA平面平面 ABC，可得，可得 SABD.又又 SCSAS，BD平面平面 SAC，从而，从而 BDAC，BDDE，EDC 为二面角为二面角 EBDC 的平面角的平面角设设 SAAB1.在在ABC 中，中，ABBC，SBBC 2，AC 3，SC2.在在 RtSAC 中，中，DCS30，EDC60，即二面角，即二面角 EBDC 为为 60.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1(浙江高考浙江高考)设设，是两个不同的平面是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线是两条不同的直线，且且 l，m.