线性算子实用学习教案

1、线性算子线性算子(sun z)实用实用第一页，共22页。第1页/共22页第二页，共22页。第2页/共22页第三页，共22页。第3页/共22页第四页，共22页。第4页/共22页第五页，共22页。122222222|;:(, ) |( , ),|( , ):| ( , )|2|2| ,1(|4xyxyaxaxxxxx xxyxyxyxyxyxyixyiixy 赋范线性空间都是距离空间： ( ， )=反之，要求距离满足条件范数定义。 内积空间都是赋范线性空间；反之，范数满足中线公式：内积定义( ， )=2| )i第5页/共22页第六页，共22页。121212112,K:( )( ), ,K:,RRB

2、anannX XT XXXXTxyT xT yx yXTTTXXnA 设是数域 上的线性空间，映射称为到的一个线性映射,如果（）=。显然：。当 是双射时，称 是一个线性同构，称是线性同构的。例子： 阶方阵 是的线性映射，可逆矩阵都是线性同构。有限阶矩阵的研究，线性代数、高等代数和矩阵论中都有涉及；我们泛函分析中主要研究是无穷维线性空间（ch空间）上的线性映射。第三节 线性映射(yngsh)与线性算子第6页/共22页第七页，共22页。第7页/共22页第八页，共22页。第8页/共22页第九页，共22页。0XYYKker ,:()().nnnnnTTTTxxxxTxTxTXTXX YT XYTXTX

3、xxXTxYX当时，称 是线性变换，当时，称 是线性泛函。相关概念：核空间、线性同构。称 在 点连续，是指对任意点列若则；若 在 的每一点都连续，则称 在 上连续。定理1.设是赋范线性空间,是线性算子，则（a） 在 上连续当且仅当 在 中的某点 处连续;特别的等价于若中零元 ，则中零元(b)当 的维数有TX限时， 在 上是连续的。第9页/共22页第十页，共22页。: ( )1( )( ),( )( ), , , , tbaaXaT T xaxaITx txdf xxdxC a bTC a bf 设 是赋范线性空间， 是一常数。映射称为相似算子，时，称为恒定算子或单位算子，记为 。例1.定义:则

4、 是上的一个线性算子， 是一个线性泛函。1sin|sin| 1,|(sin)|cos|():0,10,1n tn tdn tnn tnndtdCCdt 取函数列，显然但因此，微分算子是无界算子。第10页/共22页第十一页，共22页。| | 1| | 1| | 01112:|( )|( )| sup| sup| sup| , :()( )( ), , (1.) : , , ,|xxxxaTTTTT xMxxD TMTxTTxTxxL a bTTfxf t dtfL a bT L a bC a bT 定理线性算子 是连续的充要条件是 是有界的。算子 的范数:式，中的下确界。可以证明:例：上算子时1

5、1| 1(2.) : , , ,| T L a bL a bTba时一般来说，求一个具体算子的范数并不容易，很多场合中只能对其范数做出估计第11页/共22页第十二页，共22页。第12页/共22页第十三页，共22页。第13页/共22页第十四页，共22页。| | 1| | 1| | 0| | 1| | 1| | 1|(, )| sup| sup| sup| |(1)| sup| 0,| 00( (, )(2)| sup| |sup| | |xxxxxxTxTB X YTTxTxxTTxTTB X YTTxTxT算子的范数验证算子算子范数满足以下条件：中零元121212| | 1| | 11212|

6、 | 1| | 1|;(3)|sup|() | sup|sup|sup| |xxxxTTTT xT xT xT xT xTT第14页/共22页第十五页，共22页。| | 1* *(, )(,R)| sup|( )|Banacha,b(,3.(, ),( ,),xB X YXB Xff xXXXXXXXXTB X YSB Y Z注：1.一般说来，赋范线性空间未必是完备的；2.赋范线性空间 上的有界线性泛函的全体，按前面引入的运算与范数构成一个空间,我们称之为 的共轭空间，记为；( )如果赋范线性空间 等距同构于则称 是自共轭的；( )如果赋范线性空间 等距同构于）则称 是自反的。(,),| |

7、|(, )STB X ZSTSTYB X Y则复合算子且。定理3：设 是完备的赋范线性空间，则是完备的。第15页/共22页第十六页，共22页。3 (, )Cauchy |0( ,),| |()( )| | |0( ,).( )Cauchy( ),( )( ),().|nnnmnmnmnmnnnTB X YTTTn mxXT xT xTTxTTxn mT xYYYT xT xT xnT 定理 的证明：设为一列，往证收敛。因为则对必有这说明是 为一列，由 的完备性，在 中存在唯一的一个元素，记为使得注意到000| |0( ,), |(, )0,| 1,| |()( )| | |.,|,| 1.|

8、mnmnnnmnmnmnnnTTTn mTTTB X Yn mxT xT xTTxTTxxmT xTxxXxnTTT 故由的线性和的收敛性可得。对，存在自然数N ，使得当N 时，对固定令，可得，从而对N ，。故(, )(, )B X YB X Y在收敛，完备。第16页/共22页第十七页，共22页。nnn2fS( )S0| 1,1.nnTTB lSn 一致收敛强于强收敛; 的强收敛强于弱*收敛；例如：单边移位算子，强收敛于 ，而第17页/共22页第十八页，共22页。4Banach (, )|G,( ) (, ),| lim|.nnnnnXYTB X YTXx T xTTB X YTT我们知道收敛

9、的序列都是有界集合，类似于定理3的证明，我们可以得到一下结论。定理 ：设 是赋范线性空间， 是空间，满足条件：(1)是有界数列；(2)在 中的某一稠密子集 中的每个元素都收敛.则强收敛于某一个算子且第18页/共22页第十九页，共22页。* *,( )( ),.:|( )| |( )| | |,.| |.:, ( )XXXXXxXXxxff xfXxff xfxfXxXxxxXXxx 设 是赋范线性空间，则 的共轭空间二次共轭空间=()都是赋范线性空间。下面考虑它们之间关系对每个定义上泛函：注意到显然，是上有界线性泛函，且称此泛函是由 生成的，算子为嵌入算子。第19页/共22页第二十页，共22页。*5.| |,()6.7.,*(7.1)(),(7.nnnnnnnnXXXxxxyxyXXXfXfffXffxx nxx 定理 设 是赋范线性空间，嵌入算子 是 到的等距线性算子,即：。推论 设 是赋范线性空间，则