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文档简介
1、设函数f(x)(x1)ln(x1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围解析:解法1:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1.(1)当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,+)上是增函数.又g(0)=0,所以对x0,有g(x)g(0),即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax.(2)当a1时,对于0xea-1-1,g(x)0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数.又g(0)=0,所以对0xea-1-1,有g(x)g(0),即f(x)ax.所以当a1时,不是对
2、所有的x0,都有f(x)ax成立.综上a的取值范围是(-,1.解法2:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立.对g(x)求导数得g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1,当xea-1-1时,g(x)0,g(x)为增函数,当-1xea-1-1时,g(x)0,g(x)为减函数.要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea-1-10.由此得a1,即a的取值范围是(-,1.1.其中;2. 其中;3.其中;4. 其中;已知函数,曲线在点处的切线方程为.()求、的值;()如果当,且时,求的取值范围.()略解得,.()方
3、法一:分类讨论、假设反证法由()知,所以.考虑函数,则.(i)当时,由知,当时,.因为,所以当时,可得;当时,可得,从而当且时,即;(ii)当时,由于当时,故,而,故当时,可得,与题设矛盾.(iii)当时, ,而,故当时,可得,与题设矛盾.综上可得,的取值范围为.当,且时,即,也即,记,且则,记,则,从而在上单调递增,且,因此当时,当时,;当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增.由洛必达法则有 ,即当时,即当,且时,.因为恒成立,所以.综上所述,当,且时,成立,的取值范围为.设函数.()若,求的单调区间;()当时,求的取值范围.应用洛必达法则和导数()当时,即.当时,;当时,等价于.记 ,
4、则. 记 ,则,当时,所以在上单调递增,且,所以在上单调递增,且,因此当时,从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,所以当时,所以,因此.综上所述,当且时,成立.若不等式对于恒成立,求的取值范围.应用洛必达法则和导数当时,原不等式等价于.记,则.记,则.因为,所以在上单调递减,且,所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,且,故,因此在上单调递减.由洛必达法则有,即当时,即有.故时,不等式对于恒成立.通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 可以分离变量;用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; 现“”型式子.2010海南宁夏文(21)已知函数.()若在时有极值,求
5、函数的解析式;()当时,求的取值范围.解:()略()应用洛必达法则和导数当时,即.当时,;当时,等价于,也即.记,则.记,则,因此在上单调递增,且,所以,从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,所以,即有.综上所述,当,时,成立.2010全国大纲理(22)设函数.()证明:当时,;()设当时,求的取值范围.解:()略()应用洛必达法则和导数由题设,此时.当时,若,则,不成立;当时,当时,即;若,则;若,则等价于,即.记,则.记,则,.因此,在上单调递增,且,所以,即在上单调递增,且,所以.因此,所以在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,即有,所以.综上所述,的取值范围是.设函数()求的单调区间;()如果对任何,都有,求的取值范围解:() 当()时,即;当()时,即因此在每一个区间()是增函数
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