历年文科高考椭圆题-带解析

1、第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 又 所以. 所以.所以. 2.已知椭圆0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:对于椭圆,则, a=2c. 3.已知椭圆0)的左、右焦点分别为、若椭圆上存在一点P使则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案: 解析:因为在中,由正弦定理得 则由已知,得即a|=c|. 由椭圆的定义知|+|=2a, 则|+|=2

2、a,即| 由椭圆的几何性质知|<a+c,则a+c,即 所以解得或. 又故椭圆的离心率. 4.椭圆的左、右焦点分别为、点P在椭圆上,若|=4,则|= ;的大小为 . 答案:2 120 解析: . |. 又|=4,|+|=2a=6, |=2. 又由余弦定理,得cos ,故应填2,120. 5.已知椭圆0)的离心率连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0). 若|AB|求直线l的倾斜角; 若点在线段AB的垂直平分线上,且=4.求的值. 解:(1)由得.再由解得a=2b. 由题意可知即ab=2. 解方程

3、组 得a=2,b=1. 所以椭圆的方程为. (2)由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2). 于是A,B两点的坐标满足方程组 消去y并整理,得 . 由得.从而. 所以|AB|. 由|AB|得. 整理得即解得. 所以直线l的倾斜角为或. 设线段AB的中点为M,由得M的坐标为. 以下分两种情况: ()当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是.由=4,得. ()当时,线段AB的垂直平分线方程为. 令x=0,解得. 由 整理得.故 所以. 综上或.课后作业巩固提升见课后作业A 题组一 椭圆的离心率问题 1.椭圆0

4、)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:|AF|而|PF| 所以 即解得. 2.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A.B. C.D. 答案:C 解析:根据题意:1=0,又. 3.设椭圆n>0)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为则此椭圆的方程为( ) A.B. C.D. 答案:B 解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由可得m=4,.故选B. 题组二 椭圆的定义 4.设P是椭圆上的点.若是

5、椭圆的两个焦点,则|+|等于( ) A.4B.5 C.8D.10 答案:D 解析:因为a=5,所以|+|=2a=10. 5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使PAB面积为的点P的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案:D 解析:联立方程组 消去y整理解得: 或 |AB| 结合图象知P的个数为4. 题组三 椭圆的综合应用 6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 . 答案: 解析:6,b=3,则所求椭圆方程为. 7.已知、是椭圆C:0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若的面积为9

6、,则b= . 答案:3 解析:依题意,有 可得即b=3. 8.在平面直角坐标系xOy中为椭圆0)的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为 . 答案: 解析:直线的方程为:; 直线的方程为:;二者联立解得点 则OT中点在椭圆0)上, 10e-3=0, 解得. 9.已知椭圆C:的两焦点为点满足则|+|的取值范围为,直线与椭圆C的公共点个数为 . 答案: 0 解析:延长交椭圆C于点M,故|+|<|+|=2a, 即|+|; 当时直线为x=与椭圆C无交点; 当时,直线为代入中有. 直线与椭圆无交点. 10.已知F是椭圆C的一个焦点

7、,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且则椭圆C的离心率为 . 答案: 解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y), 即 解得 . 由可得| 又由椭圆第二定义知,|. 由解得即. 11.如图,椭圆C:的顶点为焦点为|. (1)求椭圆C的方程; (2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,|=1.是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由|知 由知a=2c, 又 由,解得故椭圆C的方程为. (2)设A,B两点的坐标分别为假设使成立的直

8、线l存在, 当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且|=1得 即. 由得. 将y=kx+m代入椭圆方程,得 由求根公式可得 . 将代入上式并化简得 . 将代入并化简得矛盾. 即此时直线l不存在. 当l垂直于x轴时,满足|=1的直线l的方程为x=1或x=-1, 则A,B两点的坐标为或(-1 当x=1时; 当x=-1时 此时直线l也不存在. 综上可知,使成立的直线l不存在. 12.如图,已知椭圆（a>b>0)过点离心率为左 、右焦点分别为F 、F.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线,PF的斜率分别为,k. ()证明:. ()问直线l上是否存在点P,使得直线OA k,k,k,k满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由. 解:(1)因为椭圆过点 所以. 又 所以1. 故所求椭圆的标准方程为. (2)()证明:方法一:由于,F,PF的斜率分别为,k且点P不在x轴上, 所以. 又直线的方程分别为 联立方程解得 所以. 由于点P在直线x+y=2上, 所以. 因此 即结论成立. 方法二:设则. 因为点P不在x轴上,所以. 又 所以. 因此结论成立. ()设. 联立直线与椭圆的方程得 化简得 因此 由于OA,OB的斜率存在,