大学物理实验

1、2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系大学物理实验大学物理实验测量误差与实验数据处理测量误差与实验数据处理2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系测量与误差测量与误差就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验方法将待就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验方法将待测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数即为该待测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数即为该待测量的测量值测量的测量值。测量值测量值= =读数值读数值( (有效数字有效数字)+)+单位单位测量值测量值单位单位单位：采用国际单位制（单位：采用国际单位制（SISI制制-1971-1971）长度（米长度（米/m）、质量

2、（千克）、质量（千克/kg）、时间（秒）、时间（秒/s）电流强度（安培电流强度（安培/A）、温度（开尔文）、温度（开尔文/K）、物质的量（摩尔）、物质的量（摩尔/mol）、）、发光强度（坎德拉发光强度（坎德拉/cd） 平面角（弧度平面角（弧度/rad）、立体角（球面度）、立体角（球面度/sr）2008.12008.1锦州师范高等专科学校锦州师范高等专科学校锦州师范高等专锦州师范高等专科学校物理系科学校物理系 直接测量：直接测量： 直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较得到直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较得到测量值。比如用游标卡尺测量某一圆柱体的外径；用秒表测量时测

3、量值。比如用游标卡尺测量某一圆柱体的外径；用秒表测量时间等。间等。间接测量：间接测量： 利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的电压而求物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的电压而求得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测量量。得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测量量。直接测量和间接测量的关系直接测量和间接测量的关系 对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接测量对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接测量量，而采用另一种方法是由可

4、谓间接测量量。当时用万用表测量电量，而采用另一种方法是由可谓间接测量量。当时用万用表测量电阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值了。阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值了。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 在相同的条件下，对某一物理量在相同的条件下，对某一物理量 进行多次测量得到的一组进行多次测量得到的一组测量值测量值 称作等精度测量。称作等精度测量。XnXXXX、321指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和 测量环境等条件。测量环境等条件。在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的在不同测量的条件下，对某

5、一物理量进行多次测量，所得的测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系三、误差及其分类三、误差及其分类误差定义：测量值与真实值之差称为误差定义：测量值与真实值之差称为误差误差， 即即 误差误差 测量值真值测量值真值 0NN N测量误差又称测量误差又称绝对误差绝对误差。真实值无法知晓？1.根据误差的表示方式，误差分为：根据误差的表示方式，误差分为：（1 1）绝对误差：绝对误差：（2 2）相对误差：相对误差：把绝对误差与真实值之比叫把绝对误差与真实值之比叫相对误差相对误差，即，即%100

6、0NNEr2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系根据误差产生的原因及误差的性质分为：根据误差产生的原因及误差的性质分为：1.1.系统误差：系统误差：2.2.随机误差（偶然误差）随机误差（偶然误差）3.3.过失误差（粗差）过失误差（粗差） 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系(4)(4)系统误差服从的规律系统误差服从的规律不变的系统误差不变的系统误差: :误差的符号和大小都固定不变误差的符号和大小都固定不变 线性变化的系统误差线性变化的系统误差: :误差值随某些因素作线性变化的误差值随某些因素作线性变化的系统误差系统误差

7、周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差: :测量值随某些因素按周期性变测量值随某些因素按周期性变化的误差，称为周期性变化化的误差，称为周期性变化复杂规律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差: :误差是按确定的且复杂规律误差是按确定的且复杂规律变化变化 如电阻与温度的关系可用下式表述如电阻与温度的关系可用下式表述 式中，式中， 为温度为为温度为 时的电阻；时的电阻； 为温度为温度 为时的电阻；为时的电阻； 和和 分分别为电阻的一次和二次温度系数。别为电阻的一次和二次温度系数。220)20()20(ttRRRt20R020 C2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系(5)(5)系统误差

8、的发现系统误差的发现在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，才能最终确定有无系统误差。常用方法有：才能最终确定有无系统误差。常用方法有： 实验对比法：实验对比法： 主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生

9、系统误差的条件，进行不同条件的测量。进行不同条件的测量。 理论分析法：理论分析法： 主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果这些要求没有满足，则实验必有系统误差。这些要求没有满足，则实验必有系统误差。 数据分析法：数据分析法： 主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、残余误差校验法、不同公式

10、计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、秩和检验法等方法。秩和检验法等方法。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统误差的方法和途径误差的方法和途径。 这是消除系统误差最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行这是消除系统误差最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节

11、进行认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。从产生系统误差的从产生系统误差的根源根源上消除上消除 措施：措施： 采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。引入修正项消除系统误差引入修正项消除系统误差 采用能消除系统误差的方法进行测量采用能

12、消除系统误差的方法进行测量 对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系对称性。对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。有界性。有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的

13、限度。抵偿性。抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。单峰性。单峰性。测量值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大；测量值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大；测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图1 1所示，当误差所示，当误差呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 上面分别单独讨论了系统误差和随机误差，即在不考虑随机误差的情况下上面分别单独讨论了系统

14、误差和随机误差，即在不考虑随机误差的情况下研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随机误差为主。机误差为主。 系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性，系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性，就其

15、特点而言，似乎这两类误差是可绝然分开的，实际上并非完全如此。比如就其特点而言，似乎这两类误差是可绝然分开的，实际上并非完全如此。比如分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和方向都是不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人

16、员在读数方向都是不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人员在读数时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见第四节）就可以克服这种缺陷。第四节）就可以克服这种缺陷。 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 在测量

17、中还可能出现错误，如读数错误、记录错在测量中还可能出现错误，如读数错误、记录错误、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作误、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往较大地偏离正常测量值，称作坏值，应当在数据分析较大地偏离正常测量值，称作坏值，

18、应当在数据分析处理过程中给予剔除。处理过程中给予剔除。 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差越小；反之随机误差就越大。越小；反之随机误差就越大。 正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系统误差的大小。即正确度越高，测量值越接近真值，系统误差就越小；统误差的大小。即正确

19、度越高，测量值越接近真值，系统误差就越小；反之，系统误差就越大。反之，系统误差就越大。 准确度（又称精确度）是精密度准确度（又称精确度）是精密度和正确度的综合反映。当随机误差小和正确度的综合反映。当随机误差小到可以忽略不计时，准确度等于正确到可以忽略不计时，准确度等于正确度；当系统误差小到可以忽略或得到度；当系统误差小到可以忽略或得到修正消除时，准确度等于精密度。两修正消除时，准确度等于精密度。两者都高，准确度就高；两者之一低或者都高，准确度就高；两者之一低或都低，则准确度低。都低，则准确度低。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系：绝对误差和相对误差。绝对误差和相对误差。 表示测

20、量结果表示测量结果 与真值与真值 间的相差范围，正负号间的相差范围，正负号“”表示测量结果表示测量结果 可能比可能比 大或者比大或者比 小。由测量结果及其绝对误小。由测量结果及其绝对误差可以看出，真值所在的可能范围为差可以看出，真值所在的可能范围为 ，或简写为，或简写为 。：表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。 ( (单位单位) ) XXXXXXX 100%rXXEXXXXXXXXX()XXX 100%rXEX2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系一、单次直接测量的误差估计在一般情况下，可用仪器一、单次直接

21、测量的误差估计在一般情况下，可用仪器误差误差仪仪 ( (仪器出厂时的检定仪器出厂时的检定) )作为绝对误差。作为绝对误差。1.1.对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半；对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半；2.对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差仪仪取最小分度值；取最小分度值；3.对于某些仪器，其不确定度限值对于某些仪器，其不确定度限值仪仪需要计算需要计算：（a）指针式电表的）指针式电表的等于量程与等级的乘积等于量程与等级的乘积（b）电阻箱的）电阻箱的等于示值乘以等级再加上零值电阻等于示值乘以等级再加上零值电阻（c）用天平测量物体质量的）用天

22、平测量物体质量的等于各砝码不确定度之和等于各砝码不确定度之和2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 等精度测量：等精度测量： 是指测量条件完全相同的多次测量。相同的条件是是指测量条件完全相同的多次测量。相同的条件是指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。 12111()nniiXXXXXnnniXXXX，21nX假设对某一物理量进行了假设对某一物理量进行了次等精度测量，其测量次等精度测量，其测量 值分别为值分别为，则，则的算术平均值的算术平均值 因真值不可知，故将测量值的算术平均值作为测得值因真值不可知，故将测量值的算术平均值

23、作为测得值的最佳估计值。的最佳估计值。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系设每一次测量值与算术平均值的差值为设每一次测量值与算术平均值的差值为1122nnXX =XX =XX =， ，在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围121()nXnXXX它表示对物理量它表示对物理量 做任意一次测量，测量误差出现在做任意一次测量，测量误差出现在 到到之间的概率为之间的概率为5858 相对误差相对误差100%rXEX2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 当测量次数当测量次数 无限多时，各测量值无限多时，各测量值

24、 的误差的误差 平方平均值的平方根，称作平方平均值的平方根，称作，用用 表示，即表示，即 iiXX iXn222221211().nniiniiXXnnn X2222212111()111ninniXiiddddXXnnnXXdii2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系标准偏差的物理意义标准偏差的物理意义 多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量值误差落在值误差落在 到到 之间的可能性为之间的可能性为68.368.3，或者说，对某，或者说，对某一次测量结果，真值在区间一次测量结果，真值在区间 内到内到 的概率为的概

25、率为68.368.3。XXXXXXOx68.3%)(XfXXXXXXX295.4%XX2XX3XX399.7%399.7%极限极限误差误差2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系经理论推导测量值算术平均值的标准误差经理论推导测量值算术平均值的标准误差 为：为： X21()(1)niiXXXXnnnn1nXX平均值的标准误差是平均值的标准误差是 次测量中任一次测量值标准误差的次测量中任一次测量值标准误差的 倍。倍。其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多次测量结果，真值在区间次测量结果，真值在区间 内的概率

26、为内的概率为68.368.3。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系例例1 1用用 型电位差计测量某一电阻的端电压型电位差计测量某一电阻的端电压6 6次，测量次，测量数据列入下表，试表达测量结果。数据列入下表，试表达测量结果。 31UJ 次数次数 1 12 23 34 45 56 6( (电压电压) )15.52615.52615.52915.52915.53015.53015.52815.52815.52715.52715.52815.5286111(15.52615.52915.53015.528 15.52715.528)15.52866iiVV解：其算术平均值为解：其算术平

27、均值为12345615.526 15.5280.00215.529 15.5280.00115.530 15.5280.00215.528 15.5280.00015.527 15.5280.00115.528 15.5280.000dddddd；平均值的标准误差为：平均值的标准误差为：2222222641()(212010 ) 105.16 10(1)6(61)niiVVVn n15.5280.001VVV0.001100%100%0.006%15.528VrEV2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系直接测量所得的结果都是有误差的，显然由直接测量值直接测量所得的结果都是有误差的，

28、显然由直接测量值经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算间接测量误差的方法叫做误差传递。间接测量误差的方法叫做误差传递。 设：设：),(21nXXXfNnXXX,21NN 若各直接测量值的绝对误差分别为若各直接测量值的绝对误差分别为 ，则间接测量，则间接测量值值 的绝对误差为的绝对误差为 ，其计算方法如下：，其计算方法如下：将上式求全微分，得将上式求全微分，得nndXXfdXXfdXXfdXXfdN332211nnXXfXXfXXfXXfN332211),(321nXXXXfNNNE2008.12008.1锦州师范高等

29、专科学校物理系21XXN2221XXN21XXN2221XXN21XXN2221)()(21XXNXXN21XXN 2221)()(21XXNXXNnXN XnNXNnXN XnNXN1XNXcosXNXsinXlnN XXNsinXN XcosN 运算关系标准误差传递公式 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系1232222123()()()()nNXXXXnffffXXXX若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差 则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即),(321nNNrXXXXfNE20

30、08.12008.1锦州师范高等专科学校物理系例例2 2 某一长度，某一长度， ，其中，其中， ； ； 试计算其结果及误差。试计算其结果及误差。 4321XXXXLmm.X05000501mm.X0500542mm.X05063123mm.X005001314 解：解：mm.L3234)003163120540050(mmmmL09. 0005. 005. 005. 005. 02222mmLLL)09. 032.34(%3 . 0%10032.3409. 0LELr2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系例例3 3：用螺旋测微器分别测量某圆柱体不同部位的直径用螺旋测微器分别测量某圆

31、柱体不同部位的直径 和不同部位的高和不同部位的高 各各8 8次，得到下列数据，表示出结果。次，得到下列数据，表示出结果。dh/nd/cmcmh/( (次数次数) )1 12 23 34 45 56 67 78 8平均值平均值( (直直径径) )1.64991.64991.65911.65911.64761.64761.65861.65861.64791.64791.64821.64821.64921.64921.64891.64891.64871.6487( (高高) )2.00042.00041.99931.99932.00002.00002.00102.00102.00102.00102.

32、00152.00151.99951.99951.99901.99902.00022.0002cmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmd0002. 06487. 16489. 10005. 06487. 16492. 10005. 06487. 16482. 10008. 06487. 16479. 10001. 06487. 16486. 10011. 06487. 16476. 10004. 06487. 16491. 10012. 06487. 16499. 187654321，解：各测量值偏差的绝对值分别为解：各测量值偏差的绝对值分别为2008.12

33、008.1锦州师范高等专科学校物理系180002. 00005. 00005. 00008. 00001. 00011. 00004. 00012. 0222222221)(12nddniid同理可以求出同理可以求出cmh0009. 0圆柱体的体积圆柱体的体积hdV241cmcm0002. 2)6487. 1 (14159. 3412327024cm.VEVr%1 . 00002. 20009. 06487. 10008. 0222222hdhd33004. 0%1 . 02702. 4cmcmVErV3)004. 0270. 4(cmVVV测量结果为：测量结果为：2008.12008.1锦州

34、师范高等专科学校物理系 即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法来表征，这就是法来表征，这就是“不确定度不确定度”的评定，在测量方法正确的情况的评定，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。 不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的不确

35、定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。

36、不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为A A类类不确不确定度和定度和B B类类不确定度。不确定度。A A类类不确定度是被测量列能用统计不确定度是被测量列能用统计方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即为为 ；B B类类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不不确定度则是不能用统计方法估算的所有不确定度分量，用确定度分量，用 表示。表示。ABuA A类类不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标准误差公式来计算。即准误差公式来计算。即211()(1)nAiXi

37、XXn nn2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 B B类类不确定度分量的估算，最常用的方法是不确定度分量的估算，最常用的方法是采用近似标准差估算非统计不确定度。采用近似标准差估算非统计不确定度。 当非统计不确定度相应的估计误差为高斯当非统计不确定度相应的估计误差为高斯分布时有：分布时有： 当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分 布布( (方法、环境、数字仪表等误差分布方法、环境、数字仪表等误差分布) )时有：时有：3Bu3Bu仪仪器器为非统计不确定度相应的估计误差限，通常为非统计不确定度相应的估计误差限，通常2008.12008.1锦州师范

38、高等专科学校物理系合成不确定度，即合成不确定度，即A A类和类和B B类不确定度的总和，其合类不确定度的总和，其合成公式为：成公式为：kjjkjju1212式中，式中， 为合成不确定度；为合成不确定度； 为任一为任一A A类不确定度分量，类不确定度分量， 为任为任一一B B类类不确定度分量。不确定度分量。jju 上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结

39、果的合成影响。响。2008.1锦州师范高等专科学校物理系锦州师范高等专科学校物理系 是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成正比的置信区间。即正比的置信区间。即CU 式中，式中， 为总不确定度；为总不确定度； 为置信因子；为置信因子； 为合成不确定度。为合成不确定度。 UC 总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范围。总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范围。当置信概率为当置信概率为68.368.3时，置信因子时，置信因子 为为1 1；当置信概率为；当置信概率为95.495.4时，时，置信因子置信因子 为为2 2；当置信概率为；当置

40、信概率为99.799.7时，置信因子时，置信因子 为为3 3。一般物。一般物理实验中取与标准差相对应的置信概率理实验中取与标准差相对应的置信概率68.368.3，故总不确定度就，故总不确定度就等等于合成不确定度。于合成不确定度。CCC2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接测量量测量量N N的函数为的函数为 ，则，则,CBAf232221)()()(321XXXNXfXfXf232221)()()(1321X

41、XXNXfXfXfNN用总不确定度表示测量结果的形式为用总不确定度表示测量结果的形式为NNUP=( )(单位) (写出置信度 值) 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( ，可不写，可不写) )当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( )当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( )683. 0PU NN683. 0P2U954. 0P9970.P 954. 0P2 NN3U3 NN997. 0P2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系一、有效数字的概念一

42、、有效数字的概念 在测量数据的各数字中，既有没有误差的可靠数字，又有含有误差的可疑数字。 我们把可靠数字和数据最末的一位可疑数字统称为有效数字。 一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2位)可疑数字，统称为有效数字。测量结果用有效数字表示，可以反映测量的准确度。 (1)一个物理量的测量值和数字的一个数有着不同的意义； (2)对于十进制单位变换，只涉及小数点位置改变，而不允许改变有效位数； (3)实验结果的最后1位数字应与绝对误差对齐，绝对误差最多写2位，相对误差也是如此。 2008.1锦州师范高等专科学校物理系锦州师范高等专科学校物理系 （1 1）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不

43、是有效数字，）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不是有效数字，如如，e e等不是有效数字。等不是有效数字。 （2 2）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数字，但数据中间和末尾的零应算为有效数字。字，但数据中间和末尾的零应算为有效数字。 （3 3）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言，尽）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言，尽管它们在数字上相等，管它们在数字上相等， 8.605cm8.6050cm8.605cm8.6050cm。要特别强调的是：。要特别强调的是：记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测

44、量精度。记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。 （4 4）在换算单位时应保持有效数字位数不变。）在换算单位时应保持有效数字位数不变。 （5 5）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前只保）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前只保留一位整数，后面再乘以留一位整数，后面再乘以1010的方幂的形式的方幂的形式 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 （6 6）表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一定要取齐。同时，我们规定：普通物理实验中的最终测量量一定要取齐。同时，我们规定：普通物理实验中的最终测

45、量量（待测量）的不确定度取一位；相对误差取两位。（待测量）的不确定度取一位；相对误差取两位。xxx%?xE保留1位尾数对齐保留2位2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系CBAYcm.A)503302(cm.B)012064223(cm.C)00505641 (例例1 1已知已知 ， ，试问计算结果应保留几位数字?=302.3+23.6-1.4=324.5=302.3+23.6-1.4=324.5Y(cm)Ycm=(324.50.5) =0.15YY2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系？5208345.看一下具体的运算过程便一目了然。见运算式，因为一个数字与一个可疑数字

46、相乘，其结果必然是可疑数字，所以，由上面的运算过程可见，小数点前面第1位的“9”及其以后的数字都是可疑数字。按照保留1位可疑数字的原则，计算结果应写成110，为3位有效数字。2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系，如，如 31723331772133761.BBAANN2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系例题3. 用千分尺、游标卡尺、物理天平作为测量器件测量一小圆柱体的物质密度。D游标卡尺VmHrm2HDm24物理天平H2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系次数n12345D(mm)H(mm)mm004. 0千mm02. 0游g05. 0天m(g)2008

47、.1锦州师范高等专科学校物理系锦州师范高等专科学校物理系.5iDD.152DDSiD.22千DDS.152HHSiH.22游HHSmm gm05. 0天.42HDm%?)()()2(222mHDEmHD保留2位.E尾数对齐5iHH2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系3.3.乘方运算乘方运算乘方运算的有效数字位数与其底数的有效数字位数相同。乘方运算的有效数字位数与其底数的有效数字位数相同。4.4.对数、三角函数和次方运算对数、三角函数和次方运算它们的计算结果必须按照误差传递公式来决定有效数字它们的计算结果必须按照误差传递公式来决定有效数字位数，而不可以用前面所述的简算方法。位数，而不可以用前面所述的简算方法。yln A30008 0063676yln A=ln.120 00073000yA.A 0007. 00064. 8lnAy0 009y.%y例例4 4已知已知A A300030002 2，计算，计算解：由计算器算：解：由计算器算：按照误差传递公式可得按照误差传递公式可得结果为结果为 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 2008.12008.1锦州师范高等专科学校物理系 3104100 000345 1