数学建模习题集及标准答案

1、第一部分 课后习题1. 学校共1000名学生，235人住在 A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在 C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：(1)按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。(2) 2.1节中的Q值方法。(3) d' Hond小法：将A, B, C各宿舍的人数用正整数 n=1, 2, 3,相除，其商数如 下表：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个(10为席位数)，在数字下标以横线，表中 A, B, C行有横线的数

2、分别为2, 3, 5,这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将 3种方法两次分配的结 果列表比较。(4) 你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2: 1。试用比例方法构造模型解释这个现象。(1)分析商品价格 C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与 w无关的因素。(2)给出单位重量价格

3、c与w的关系，画出它的简图，说明 w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池 中只有一种妒鱼，并且得到 8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长)：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4 .用宽w的布

4、条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大(如图)。若知道管道长度，需用多长布条(可考虑两端的影响)。如果管道是其他形状呢。L(L15 .用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工 出尽可能多的圆盘。6 .动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。组别最大体重(kg)抓举 (kg)挺举 (kg )总成绩(kg )15

5、4132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010108197.5260457.5第一部分 课后习题答案1.按照题目所给方法(1), (2), (3)的席位分配结果如下表:宿舍(1)(2)(3)(1)(2)(3)A322443B333555C455667总计1010101515152 .(1)生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成

6、正比的部分，上述三种成本中都含有与w, s均无关的成分。又2/32/3因为形状一7E时一般有S W ,故商品的价格可表为C W W为大于0的常数)。C(2)单位重量价格c C ww 1/3 w1,其简图如下:显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的 减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。3 .对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同， 所以重量w与身长l的立方成正比，即 w k1l3 , k1为比例系数。常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果 只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身

7、最大周长的平方成正比，于是2w k2d l , k2为比例系数。利用数据估计模型中的系数可得k1 =0.014, k2 =0.0322,将实际数据与模型结果比较如卜表:实际重量(g)76548211627374821389652454模型w k1l372746912267274831339675483模型1. 2.w k2d l73046511007304831471607483基本上满意。4 .将管道展开如图:可得w d cos ,若d一定，w趋于0, 趋于 /2； w趋于 d,趋于0。若管道长度为l,不考虑两端的影响时布条长度显然为dl/w,若考虑两端影响，则应加上 dw/sin 。对于其

8、它形状管道，只需将 d改为相应的周长即可。5 .设圆盘半径为单位 1,矩形板材长a,宽b;可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板 材之间均可相切。方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图 1,圆盘总数为N1 =a/2b/2方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图 2,行数 m满足2+ （m-1）屈 a,于是m=B888 8OOOO O图1图2列数（按图2第1行计数）n满足：若b为奇数，则各行圆盘数相同为（b卜1 ） /2;若b为偶数，则奇数行圆盘数为b/2,偶数行圆盘数为b/2-1 。圆盘总数为5m(b 1)/2 (1)m(b 1)/2 1/2 (2)其中（1）为：m为偶数。（2）为:m为奇数，b为偶数。

9、两个方案的比较见下表（表中数字为N1/N2）：35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105当a, b较大时，方案二优于方案一。其它方案，方案一、二混合，若 a=b=20, 3行正方形加8行六角形，圆盘总数为 106。6 .假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积

10、S与某特征尺寸l之间的关系是S l2,所以饲养食物量w l2。27 .假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积 s l （l是某特征尺寸），体重w 13,于是y w2/3。用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3;如果用举重总成绩拟合 y w ,可得图3图4第二部分课后习题1 . Malthus模型预测的优缺点。2 .阻滞增长模型预测的优缺点。3 .简述动态模型和微分方程建模。4 .按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。5 .叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。6 .试比较连续形式的阻滞增长模型（Logistic模型）和离散形式阻滞增长模型，并讨

11、论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二部分 课后习题答案1 .优点：短期预报比较准确；缺点：不适合中长期预报；原因：预报时假设人口增长率为 常数，没有考虑环境对人口增长的制约作用。2 .优点：中期预报比较准确；缺点：理论上很好，实用性不强；原因：预报时假设固有人口 增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情 况变化而变化。3 .动态模型：描述对象特征随时间（空间）的演变过程，分析对象特征的变化规律 ，预报对 象特征的未来性态，研究控制对象特征的手段；微分方程建模 ：模根据函数及其变化率 之间的关系确定函数，根据建模目的和问题分析作出简化假设，按照内在规律

12、或用类比法建立微分方程。4 .描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律 ，预报传染病高潮到来的时刻 ，预 防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。5 .不同年龄组的繁殖率和死亡率不同，以雌性个体数量为对象（假设性另肚匕为1:1）,是一种差分方程模型。6 .连续形式：y（t）表示某种群t时刻的数量（人口）dy dtry(1yNm离散形式：yn表示某种群第n代的数量（人口）yn 1ynryn(1 -yn-), n 1,2,LNm右ynNm ,则 yn 1, yn 2,L*Nm, yNm是平衡点；ynyn ryn(1-yn-)的Nmrr 1平衡点为 y Nm. yn

13、 1 (r 1)yn 1 yn的平衡点为 x 1 -,其中(r 1)Nmr 1 bb 1 r,Xn ryn/(1 r)Nm, f(x) bx(1 x),此时的差分方程变为Xn 1 bxn(1 xn) f(xn) n 1,2,L.1»_. .1* J »*I*由x f (x) bx(1 x)可得平衡点x 1 -, x 0. b*在平衡点x 0处，由于f (0) b 1，因此，x0不稳定.1 *在在平衡点x 1 一处，因f (x ) b(1 2x ) 2 b,所以 b_ _ * 、-._*- I(i) f (x ) 1 b 3 当b 3时，平衡点x 1 不稳定； b一*、，.-

14、，. 一*， I(ii) f (x )11 b 3 当1 b 3时，平衡点x 1 一不稳定.b第三部分课后习题1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）(1 max f 3x1+ 5x2 7x3x1 2x2 6x3 85x x2 8x3 20 s.t3x1 4x2 12x1, x2 0n(2) max fCj xjj inajxj b (i 1,2, ,m) st j ixj 0 (j 1,2, ,n)m 2 n 2(3 min fai xibj yj,i 1j 1s.t. xi2VCij(i 1,2, ,m; J 1,2, ,m)2.将下述线性规划问题化为标准

15、形式。(1 min Zx1 2x2 3x32x1 x2 x3 93 x x2 2 x3 44 Xi 2 x2 3 x36Xi0,2 X2 6,X3取值无约束 maxZ| x| | y |x y 2x 3x, y无约束(3)min f 2x1 x2 2x3 x1 x2 x34s.t. x1 x2 x36Xi0, x2 0,x3无约束（4）max f 2x1 x2 3x3 x4x1 x2 x3 x4 72x1 3x2 5x38s.t.x12x3 2x4 1x1, x30, x20, x4无约束3.用单纯形法求解线性规划问题。max f 2x1 5x2x142x2 12s.t.23x1 2x218x

16、1 ,x2 02、 22*T*.*4.检验函数 f (x) 100(x2 x1 )(1 x1)在 x (1,1)处有 g 0,G 正定，从而x*为极小点。证明G为奇异当且仅当 x2 x20.005 ,从而证明对所有满足f(x) 0.0025的x, G是正定的。5.求出函数f(x) 2x； x； 2x1x2 2x13 x：的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为全局极小点？6.应用梯度法于函数f (x) 10x12 x22，取x(1) (0.1,1)T.迭代求x(2).第三部分 课后习题答案1 . 答案：(1)是 (2)不是(3)是2 .答案：(1)令 X1'x1, x3 x3' x

17、3'', x2' x2 2.引入松弛变量x4,x6及剩余变量x5,可得到如下的标准形 式:min zx1' 2x2' 3x3' 3x3'' 42X1'3X1's.t 4X1'X2'X2' X3' x3'' X4 7X2' 2X3' 2x3'' X5 2x2' 3x3' 3x3'' 2x 4Xi',X2',X3',X3'',X4,X5,X6令XiX,X0,x0；0.X

18、20,xX,X00yiy,y 0；0,y 0.V20,y 0 y,y 0引入松弛变量s,t.可得到如下的标准形式:min z'xix2yiX1s.tX1X2X2yi V2t 3V2s 2Xi,X2,yi,y2,s,t(3)解：令X1'X1 , X3_ _ I _ _ IIX3X3引入松弛变量x4,可得到如下的标准形式：min z2X1'X22x32x3''X1'X2s.tX1'X2X3'X3''4X3X3X4X1 , X2 , X3 , X3, X40(4)解： 令x2'x2,x4x4' x4

19、9;'引入松弛变量X5,和剩余变量X6,可得到如下的标准形式min ff2xiX2 3X3Xi2X1 st.XiX2' X3 X43X2' 5X32X3X4“ X52X4 2X4”x4' x4''78X6iXi,X2',X3,X4',X4”，X5,X603.答案：在上述问题的约束条件中加入松弛变量X3,X4,X5,将原问题化成标准形式如下:min f f2x1 5x2XiX3 42x2x4 12st.243x1 2x2x5 18x1, X2, X50其现成可行基(3, 4, 5)对应的单纯形表如下:X1X2X3X4X5f25000

20、0X3101004X40201012X53200118换基迭代，得X1X2X3X4X5f200-5/20-30X3101004X20101/206X53 .00-116换基迭代，得X1X2X3X4X5f000-11/6-2/3-34X30011/3-1/32X20101/206X1100-1/31/32故最优解为x (2,6,2,0,0)T ,目标函数的最优值为f 34.4.证明：g(x)3400x1 X2 400x1 2x1 2200(X2 X12)G(x)2400x2 1200x12 2400x1400x1200I 人A*, *经检验，g(x ) 0,G(x )802400400200正定

21、,G(x)奇异当且仅当 G(x) 0,即X2 x2 0.005。2,400x2 1200x12 180000xi2 80000x22 0400x2 0.0050时，G(x)正定,所以若 f(x) 0.0025，贝U100(x2 x2)20.0025,即*22x10.005 ,故 G(x)正te。5.解：g(x)4x1 2x2 6x12 4x32x2 2x1)G(x)24 12x1 12x222,故平稳点为(0,0),( 0.5, 0.5),(21, 1),极小点为(0,0), ( 1, 1)，且是全局极小点。6.解：x(110*(a, b)第四部分课后习题1 .如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打

22、官司后的结果尚不能确定，即图中a、b的数值不确定。讨论本博弈可能有哪些可能的结果？如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信 的，a、b应满足什么条件？(0, 4)2 .静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？3 .有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的， 这种论述是否正确？4 .判断下列论述是否正确，并作简单讨论。(1)古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源于自己对古玩价值判断的失误，若预先对价值的判断是正确的，那么交易者肯定不会后悔。(2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是，经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。5 .若(1

23、) “自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的情况还是得益矩阵 2的情况，并让博弈方1知道而不让博弈方 2知道；(2)博弈方1在T和B中选择，同时博弈方 2 在L和R中进行选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。L艮.T口。B3甲得益矩阵1L4T。，山如口B062,加得益蛆降26 .请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略和不完全信息博弈关系的结论。第四部分课后习题答案1 .参考答案：括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，所以a表示乙的得益，而b表示甲的得益。在第三阶段，如果 a 0,则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择 不分，因为分的得益

24、2小于不分的得益 4。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择不借，因 为借的最终得益 0比不借的最终得益1小。在第三阶段，如果a 0,则乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是（a,b）。逆推回第二阶段，如果 b 2,则甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为（a,b）。在这种情况下再逆推回第一阶段，那么当a 1时乙会选择不借，双方得益（1,0）,当a 1时乙肯定会选择借，最后双方得益为（a,b）。在第二阶段如果b 2,则甲会选择分，此时双方得益为（2, 2）。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择借，因为借的得益2大于不借的得益1,最后双方的得益（2, 2）。根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以

25、预测的结果有这样几种情况：（1） a 0,此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方 得益（1, 0）,不管这时候b的值是多少；（2） 0 a 1且b 2,此时博弈的结果仍然 是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1, 0）； （3） a 1且b 2,此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结 果是双方得益（a,b）； （4） a 0且b 2,此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分， 双方得益（2,2）。要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是 a 0。要本博弈的“承诺”，即 “分”是可信的，条件是 a 0且b 2。

26、注意上面的讨论中没有考虑 a=0、a=1、b=2的几种情况，因为这些时候博弈方的选 择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。2 .参考答案：静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的 完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的 一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是 离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种类型的博 弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型

27、的函数，原因 是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有可能类 型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所 有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。3 .参考答案：正确。事实上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是相 同的，是一种博弈问题的两种不同理解方法，而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。4 .参考答案：（1）错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的，仍然有可能后悔。因为古玩 交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和愿 意接受的成交价格，因此仅仅

28、自己作出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。（2）错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。 此外，我们之所以认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参考价值，是因为教育除了 （很可能）对提高劳动力素质有作用以外，还具有重要的信号机制的作用。也就是说，即使教育并不能提高劳动力素质，往往也可以反映劳动力的素质。5 .参考答案：在这个静态的贝叶斯博弈中，博弈方1的策略是私人信息类型的函数：当“自然”选择得益矩阵1时选择T,当“自然”选择得益矩阵 2时选择Bo博弈方2的策略则根据期望利益最大化决定。博弈方2选才i L策略的期望得益为0.5 1 0.5 0 0.5,选择R策略的

29、期望得益为 0.5 0 0.5 2 1,因此博弈方2必 定选择Ro所以该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡只有：博弈方1在“自然”选择得益矩阵 1时选才IT,当“自然”选择得益矩阵2时选择B,博弈方2选才i Ro6 .参考答案：根据对完全信息静态博弈的分析方法，我们很容易发现上述两市场博弈中有两个纯策略纳什均衡（A,B）和（B,A）,以及一个对称的混合策略纳什均衡：每个厂商都以0.5的概率随机选择 A和B。现在我们把上述两市场博弈改成不完全信息的版本。设两个厂商的得益如下面的得益矩阵所示：其中t1和t2分别是两个厂商的私人信息，对方只知道它们都均匀分布在,上。这时候，我们不难证明厂商1采用策略“t1

30、0时选择A,否则选择B”，厂商2也采用策略“ t20时选择A,否则选择B"，构成这个不完全信息静态博弈的一个贝叶斯纳什均衡。根据t1和t2的上述分布，我们知道两个厂商选择A和B的概率都是0.5。当 趋向于0时，这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越接近，其纯策略贝叶斯均衡当然 与完全信息博弈的混合策略纳什均衡完全相同。第五部分课后习题1 .简述古典回归模型的基本假定。2 . 试述戈德菲尔彳匡特（ Goldfeld-Quandt ）检验的原理和目的。3 .简述虚拟变量的作用和设置原则。4 .简述多重共线性产生的原因和影响。5 .异方差的后果6 . D.W检验的优缺点第五部分 课后习题答

31、案1. .1)解释变量x为非随机变量，即在重复抽样过程中，x取值是可控的、固定的。2)零均值假定：E ( i) =0,即随机误差项的平均值为零。3)同方差假定：D ( AL K e ) = b2 (常数)，即各随机误差项的离散程度(或波动幅 度)是相同的。4)非自相关假定：Cov ( i , j) =0 (iwj),即随机误差项之间是互不相关、互不影响的。5)解释变量与随机误差项不相关假定，Cov(Xi,Q =0(或E(XiQ=0),即解释变量与随机误差项互不相关，彼此独立的对y产生影响。6)无多重共线性假定，即解释变量之间不存在完全的线性关系。2.目的：检验模型的异方差性。原理：为了检验异方

32、差性，将样本按解释变量后分成两部分，再利用样本1和样本2分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和 RSS1和RSS2。如果误差项的离散程度相同(即为同方差的)，则RSS1与RSS2的值应该大致相同；若两者之间存在显著差异，则 表明存在异方差性。检验过程中为了 “夸大”残差的差异性，一般先在样本中部去掉C个数据(通常取 C=n/4),再利用F统计量判断差异的显著性。评价：G-Q检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减的情况，而且检验 结果与数据剔除个数 C的选取有关。3.作用：反应无法度量的定性因素对经济变量的影响，使模型更加准确地反应实际。设置原则：对于一个因素多个类型的虚拟变量：对于

33、有 m个不同属性类型的定性因素， 应该设置m-1个虚拟变量来反映该因素的影响。对于多个因素各两种类型白虚拟变量：如果有m个定性因素，且每个因素各有两个不同的属性类型，则引入 m个虚拟变量。4.产生原因：(1)经济变量的内在联系是产生多重共线性的根本原因。(2)经济变量变化趋势的“共向性”。(3)解释变量中含有滞后变量。影响：(1)增大OLS估计的方差。、(2)难以区分每个解释变量的单独影响。(3) T检验的可靠性降低。(4)回归模型缺乏稳定性。5.(1) OLS估计失效(2) t估计失效(3)模型预测误差增大6.优点：适用范围广、检验方便缺点：(1)有两个盲区(2)模型中不能含有滞后变量(3)

34、只能检验一阶滞后自相关第六部分 课后习题1.试举出三个模糊集合的例子。2.模糊性和随机性有哪些异同?3.我们给定一个三角形， 测得三个内角的读数为 A=80°、B=55°、C=45° 。令L表示“近 似等腰三角形”，R表示“近似直角三角形” ，E表示“近似正三角形”，它们都是U上 的Fuzzy集，其隶属函数规定如下：一 1一I(A, B,C) 1 min A B,B C %60%(A,B,C)r(A,B,C) %60901-1 60(A c)问给定的三角形属于哪一类?4.设U a,b,c,d,eA0.50.10.30.91A一一一一-%abcde_0.40.20.

35、60.60.7B%abcdeAgB, Ae B % % %5.影响教师教学质量的因素可以取为四个:1 =清楚易懂,广教材熟练,3二生动有趣,板书清楚。这样便做出因素集 4评价取集为V,4 。四种因素的权数分配为（0.5, 0.2, 0.2, 0.1）。 34v1，v2，v3，v4 =（很好，较好，一般，不好）对于某个教师,请若干人（教师，学生等等），单就1来说，若有40%的人说好，50%的单因素决策向量:1的人说较好，10%的人说一般，没有人说不好，则得关于(0.4, 0.5, 0.1,0)类似地有(0.6, 0.3, 0.1,(0.1,(0.1,0.2,0.2,0.6,0.5,0)0.1)0.2)问该教师的教学质量如何评价?6.X1，X2, X3, X4，X50,1有:Xl，X2, X3，X4, X50.4X1，X2，X4，X50.40.6X1，X2，X40.60.7X1，X40.70.8X40.81.0第六部分 课后习题答案3.答案：计算i (80,55, 45) %(80,55, 45)r(8