Mathematica4初等数学部分

1、数学符号运算 20022-1-2第2章 Mathematica4.0软件包初等数学部分 本章主要介绍Mathematica4中与初等数学有关的各种命令。例2-1 求近似值。例如圆周率Pi，我们在Mathematica4中输入以下四种命令就将得到三种不同的结果：Pi 显示结果Pi / N 显示结果的16位近似数N Pi 显示结果的16位近似值（包括整数位）N Pi, 200 显示结果的200位近似值（包括整数位）注：NPi 给出Pi的16位小数近似值（包括整数位），屏幕只显示小数点后面5位，如果将结果复制一下，就会看见16位小数近似值。另外，N Pi，m 给出指定的m位Pi的近似值。类似地有 N

2、 E，80 等等。例2-2 求一个数x的绝对值： Abs x 例2-3 （1）关于分数和分式 通分：（1/2）+（1/3） 比较：（1/2）+（1/3）/N 命令Together f 表示将表达式f通分；Apartf 表示将有理分式f写为不可约分式之和。例如：Cancelf 表示消掉有理分式f的公因子；ExpandAllf 表示将有理分式f的分子分母都展开为多项式；ExpandNumeratorf 表示将有理分式f的分子展开为多项式；ExpandDenominatorf 表示将有理分式f的分母展开为多项式；（2）多项式的展开。命令与格式如下：其中Expand f 表示将多项式f展开为级数形状；

3、Coefficient f, x5 表示求多项式f中x5的系数。运行之后得到结果：（3）多项式的因式分解。命令与格式如下：f = 1 + 2x + x2;Factor f 运行之后得到结果：（1 + x ）2例2-4 求阶乘。直接输入 n!求组合数。输入以下命令： Binomial n, k 求多元组合数 。输入以下命令： Multinomial r1, r2, , rn 例如，下面的多元多项式的展开式中就会用到多元组合数：我们可以输入以下命令求其中某一项的系数，比如： 运行之后就得到的系数：183783600例2-5 求和的公式。输入以下命令，运行之后得到结果：例2-6 验证不等式是否为真。

4、执行下列程序若得到结果“ True”就表示此不等式成立，若得到结果“ False”就表示此不等式不成立。例2-7 求解不等式或不等式组第一步 打开子程序包 <<AlgebraInequalitySolve第二步 InequalitySolve 得到此不等式的解集：其中两个竖线表示集合的并。又一例子：第二步 InequalitySolve 其中&&表示集合的交。执行后得到此不等式组的解集：注：InequalitySolve命令只能求解多项式类型的不等式或不等式组。例2-8 求解代数方程及方程组。执行并比较以下几个命令：（1）Solve命令 注：Solve命令只能求解多

5、项式类型的方程或方程组。（2）SolveAlways命令SolveAlways a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 执行后得到： 表示解是空集。（3）Reduce命令Reduce a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 表示用消元法求以上线性方程组的所有可能的解。（4）Eliminate命令Eliminate x + 2a = 1, -2x + y =9 , a 表示在方程组中消去参数a，得到结果：-9 + y = 2x又一个例

6、子：表示在方程组中消去参数x，运行之后得到结果：-y + y 2=0例2-9 求解超越方程及方程组第一步 先画图观察第二步 求出数值近似解PlotLog10,x-Sinx,x,0,10FindRootLog10,x-Sinx=0,x,2.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,7.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,8.1例2-10 求一个数x的近邻整数值Roundx 求距离x最近的整数值；Ceilingx 求距离x最近的、且大于x的整数值；（比较 x = -1.5, 1.5, -1.4, 1.4 时的区别）例2-11 求递归关系式。第一步 进入子程序软件包 <

7、;<DiscreteMathRSolve第二步 求解递归关系式。输入以下命令：RSolve a n = 3a n-1 - 2a n-2 , a n , n 运行之后得到结果： a n -> - C1 + 22+n ( C1 + 2C2 ) 其中C1、C2是待定常数。或者求解具有起点的递归关系式。输入以下命令：RSolve a n = 3a n-1 - 2a n-2 , a 0 = 1, a 1 = 2 , a n , n 运行之后得到结果： a n -> 2n 例2-12-1 （1）求序列2n从n = 1到n = 15的值。输入以下命令： Table n, 2n , n, 1

8、, 15 （2）求斐波那契（Fibonacci）数列Fibonaccin 从n = 1到n = 50的值。输入以下命令：Table n, Fibonacci n , n, 1, 50 例2-12-2 Fibonacci预测（神秘数字预测）Fibonacci ( Leonado Pisano Fibonacci, 1170 - 1250 )预测在港、台金融界称为神秘数字预测，在欧美叫螺旋历法（ Spiral Calendar ），此方法在金融预测方面比较流行，请大家批判性的了解以下内容。记Fibonaocci数列为F1=1,F2=1, Fn = Fn-1 + Fn-2 ( n 3 )。美国人Ca

9、rolan创立螺旋历法，令投资理论界大为震惊，此方法主要以月球周期为计算的基础，类似中国的阴历。在此方法中，月球周期Y = 29.53天，用它来计算重大事件的转折点（此方法主要用在政治和经济领域）。方法如下：从一个重大事件发生的日期开始，对任何n 1，天后，都有可能发生重大转折。例2-12-3 1917年11月7日，俄国共产党攻占圣彼得堡的冬宫，天后有可能为转折点，即1991年8月8日，实际上1991年8月19日苏联发生政变，随后苏共下台，苏联解体。程序如下：<<MiscellaneousCalendarTableDaysPlus1917,11,7,Ceiling29.53Sqrt

10、Fibonaccin,n,1,50例2-12-4 1945年5月7日，德国在二战中被打败，宣布投降，从此一分为二，东德被苏联统治，西德被美国统治。天以后，即1990年12月5日可能为转折点，实际上1990年12月2日是东西德统一后的第一个大选日，乃实际上的统一。另外，德国由分裂到统一的时间，刚好是苏联共产党掌权时间的0.618倍。例2-12-5 柏林墙建于1961年8月12日，拆于1989年11月9日，近似等于天以后，只差27天。另外，柏林墙存在的时间约为德国分裂时间的0.618倍。例2-12-6 美国道.琼斯工业股票指数的预测。美国人Carolan将螺旋历法用于预测金融市场的转折点，效果奇佳

11、。1927年4月1日，是春分后的第一个新月，两年半后（），即1929年10月11日见顶，随后走入股灾，于1929年10月29日走到股灾底部， 天以后，即1935年1月19日（冬至后的月圆），股市开始反转。例2-12-7 1985年3月21日，为春分及新月之日，两年半后（），即1967年10月2日见顶2746点，随后走入股灾，于1987年10月20日走到股灾底部1616点， 天以后，即1993年1月8日（冬至后的月圆），股市开始反转。例2-12-8 国际外汇市场英镑的预测1。对英镑来说，要反向预测（因为在国际外汇市场上，英镑的报价与大多数币种相比是反的）。从1995年3月15日（春分前的月圆）开

12、始，逆向反推。以前是1991年2月5日，实际上1991年2月6日高见2.0045点后大幅下跌，1991年7月5日见底1.5990，下跌近4000点。例2-12-9 国际外汇市场英镑的预测2。以前是1991年12月23日，3天后1991年12月26日于1.8900见顶后大幅下跌，1992年3月20日见底1.6975，下跌近2000点。例2-12-10国际外汇市场英镑的预测3。以前是1992年8月31日，2天后1992年9月2日于2.0100见顶后大幅下跌，见底1.4000，下跌近6000点。在Mathematica4软件包中编程如下：Table n, Ceiling 29.53 , n, 1,

13、50 运行后得到如下结果：其中每一项的第二个分量表示天数。若想每一项的第二个分量表示年数，则输入以下命令： Table n, Ceiling 29.53/ 365 , n, 1, 50 运行后得到如下结果：例2-13 线性方程组的求解与应用。据说吕洞宾、铁拐李、汉钟离、张果老、何仙姑、蓝采和、韩湘子和曹国舅这八仙去朝见观音。观音菩萨拿出6720个仙桃招待八仙。每人分得一些桃子后，观音说：请吕洞宾拿出他分得的桃子的一半给铁拐李；然后，请铁拐李拿出他所有桃子的1/3给汉钟离；然后，请汉钟离拿出他所有桃子的1/4给张果老；然后，请张果老拿出他所有桃子的1/5给何仙姑；然后，请何仙姑拿出她所有桃子的1

14、/6给蓝采和；然后，请蓝采和拿出他所有桃子的1/7给韩湘子；然后，请韩湘子拿出他所有桃子的1/8给曹国舅；然后，请曹国舅拿出他所有桃子的1/9给吕洞宾。最后，每人840个桃子。问：刚开始他们每人分得多少桃子？解：由题义，得到线性方程组如下：一般使用倒推法求解：最后每人840个桃子；在此之前，曹国舅拿出1/9送给了吕洞宾，所以，曹国舅有840/（1-1/9）=945个桃子，而吕洞宾有840-（945-840）=735个桃子，其他人840个桃子；在此之前，韩湘子拿出1/8送给了曹国舅，所以，韩湘子有840/（1-1/8）=960个桃子，而曹国舅有945-（960-840）=825个桃子，除吕洞宾7

15、35个桃子外，其他人840个桃子；如此类推，最后得到刚开始每人分得桃子如下：吕洞宾1470个桃子、铁拐李525个桃子、汉钟离700个桃子、张果老770个桃子、何仙姑798个桃子、蓝采和812个桃子、韩湘子820个桃子、曹国舅825个桃子。若编程求解，很快就可得到结果：注：此方程组可简化。例2-14-1 连分数与佩尔（Pell）方程的最小正整数解。（1）连分数表示法一个“既约”分数（分子可以比分母大，但无公因子）可以表示成连分数的形式。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction得到结果：0，1，1，1，5。这表示二次整系数方程的根叫做二次无理数。初等数论中已经证明：一切二次

16、无理数表示成连分数，都具有无穷循环节。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction得到结果：4，3，6。这表示其中3，6用花括号括起来，表示无穷循环节。反之，我们可以通过一个数的连分数表示形式求其正常形式。例如：FromContinuedFraction 1，2，3 得到结果：。这表示又例如，FromContinuedFraction 2, 1, 4, 2, 3 得到结果：。这表示：（2）佩尔（Pell）方程的最小正整数解古希腊数学家阿基米德（Archimedes，公元前287前212年）曾提出一个所谓的“牲畜问题”，此问题最后归结为求解一个二元二次的不定方程：X2 410

17、286423278424Y2 = 1这个方程的最小正整数解是名副其实的天文数字。17世纪，费尔马重新提出求解不定方程X2 A*Y2 = 1的解的问题，其中A是正的非完全平方数。他提出此方程有无穷多组正整数解。同时他向所有的数学家挑战：求出此方程的无穷多组正整数解。英国皇家学会的第一任会长布龙克尔勋爵（Lord Brouncker）给出了解，但他未能证明解有无穷多个。瓦利斯（J. Wallis，1616-1703）彻底解决了这个问题。佩尔（J. Pell，16111685）在他的一本著作中附录了瓦利斯的结果。欧拉在他于1732年发表的一篇论文中错误地称X2 A*Y2 = 1为Pell方程，这个错

18、误就沿袭至今。假设A是正的非完全平方数，则是二次无理数，它的连分数循环节表示形式是：当无穷循环节中数字的个数r是偶数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解；当无穷循环节中数字的个数r是奇数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解。例2-14-2 公元650年左右，首创0不能作除数的印度数学家Brahmagupta（婆罗摩及塔）曾致力研究Pell方程a·x2 + 1 = y2,他说：“在一年里头能解出X2 92Y2 = 1的人是一位数学家”。用Mathematica4.0编程求解如下：得到：。无穷循环节中数字的个

19、数共8个（即r = 8是偶数的情况），再输入：FromContinuedFraction 9, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1 得到分数：即x = 1151，y = 120是此Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解。例2-14-3 据说有人曾向英国数学家瓦利斯提出挑战，要他解X2 313Y2 = 1，结果，他在一小时之内就找到正确的答案。无穷循环节中数字的个数共17个（即r = 17是奇数的情况），再输入：FromContinuedFraction 17，1，2，4，11，1，1，3，2，2，3，1，1，11，4，2，1，34，1，2，4，11，1，1，3，2，2，3，1，1

20、，11，4，2，1 得到分数：即x = 32188120829134849，y = 1819380158564160是此Pell方程X2 313Y2 = 1的最小正整数解。（3）直接求解佩尔（Pell）方程的最小正整数解第一步 建立一个求解模块。首先执行以下程序：PellSolvem_Integer?Positive := Module cf, n, s ,cf = ContinuedFraction; n = Length Last cf ;If OddQ n , n = 2n ;s = FromContinuedFractionContinuedFraction, n ; Numerato

21、r s , Denominator s ;第二步，例如，求解Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解，直接输入以下命令即可： PellSolve 92 得到结果： 1151，120 。即，x = 1151，y = 120是Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解。例2-14-4 阿基米德问题X2 410286423278424Y2 = 1，用现代计算机可以在几分钟之内求解。程序如下： PellSolve 410286423278424 / Timing运行之后，可以知道运算时间和结果，但是得到的结果太大，不在此收录，读者自己计算即可。另外，我们可以用以下命令求出此Pell方程解

22、的位数：a = PellSolve 410286423278424 ;w1 = Last RealDigits a 1 ;Print“w1 = ”,w1w2 = Last RealDigits a 2 ;Print“w2 = ”,w2其中a = PellSolve 410286423278424 运行的结果是得到Pell方程的最小正整数解 a = x, y ,此处a的第一个分量a 1 = x, 第二个分量a 2 = y；命令RealDigits a 1 运行的结果是得到x = a 1 的位数；RealDigits a 2 运行的结果是得到y = a 2 的位数。运行后得到：x = a 1 的位

23、数是w1 = 103273位，y = a 2 的位数是w2 = 103266位。例2-15 数据表的排顺序问题。a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；Sort a，Greater 此命令将数据序列a从大到小重新排列。a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；Sort a，Less 此命令将数据序列a从小到大重新排列。另外，可以自己编程序将数据序列a从小到大重新排列（比较以下程序）：a = 2，-9，3，5，4，8，-3，1，7 ；b = Sorta，Greaterd = Table bj, j, 9, 1, -1 例2-16 数据表的统计问题。 （1）把数据表中的元素加起来

24、：a = x，y，z ；Apply Plus, a 执行后得到结果：x + y + z （2）统计数据表中指定的元素的个数：a = p, p, q, p, q, q, p ;Count a, p 表示统计数据表a中元素p的个数。执行后得到结果：4。 （3）求数据表中大于某个数的元素：mm = -1, 2, 3, - 4, 5, 1.2 ;Select mm, # > 2 & 执行后得到数据表mm中所有大于2的元素： 3, 5 。 （4）两个1维数据表合并为一个2维数据表。例如，两个1维数据表分别为a、b：a = 1, 2, 3 ; b = x, y, z :c = Thread

25、a, b 执行后得到结果： 1, x , 2, y , 3, z （5）求数据表中元素的个数：d = 1.2, 2.3, -4.2, 2.5, 3.1, 6.4, 7.2, 2.3 ;Length d 执行以上程序，就能得到结果：8。例2-17 三角函数式的化简 TrigReduce (Cosx)4 得到结果：，即 例2-18 关于整数（1）求素数求第k个素数： Prime k 例如：Table Prime k , k, 1, 13000 / /Timing在笔者的计算机上执行后0.38秒得到前13000个素数。Mathematica4.0软件包最多可以求出第1013个素数。例如求第1011个

26、素数： Prime 得到结果：2760727302517，这是一个共13位的素数。（2）求一个整数含多少个数字。例如，求2002含多少个数字： RealDigits 2002 运行后得到结果： 2, 0, 0, 2 , 4 。这表示2002的数字是 2, 0, 0, 2 ，共有4位。（3）将一个十进制数n转化为其它进制的数，使用命令RealDigits n, b 。例如， RealDigits 12345, 8 执行后得到结果： 3, 0, 0, 7, 1 , 5 。这表示（12345）10 = （30071）8 ，即十进制的数12345等于八进制的数30071。（4）任意进制数字之间的互换。

27、十进制数字转化为其他进制的数字，例如r进制（），命令格式是：BaseForm十进制数字，r 例如将十进制数2002转化为8进制数， BaseForm 2002, 8 运行后得到结果：37228其他进制的数字，例如r进制（），转化为p进制的数字，命令格式为：BaseForm r 数字, p 例如将16进制的数字20转化为10进制的数字： BaseForm 16 20, 10 运行后得到结果：32例如将16进制的数字20转化为8进制的数字： BaseForm 16 20, 8 运行后得到结果：408例如将10进制的数字10转化为11进制的数字： BaseForm 10, 11 运行后得到结果：例如

28、将10进制的数字11转化为12进制的数字： BaseForm 11, 12 运行后得到结果：例2-19 Do的循环功能设，求f8 。（1）Do的1-重循环：在Mathematica4.0中编程序如下f = 0.6321;Do f = 1-n*f, n, 8 Print“ f8 = ”, f 得到结果： f8 = - 0.728（2）Do的2-重循环：在Mathematica4.0中编程序如下Do f = 0.6321;Do f = 1-n*f, n, k , Print“ f ”, k, “ = ”, f , k, 1, 9 得到结果：f 1 = 0.3679, f2 = 0.2642, f3 = 0.2074, f4 = 0.1704, f5 = 0.148, f6 = 0.112,f7 = 0.216, f8 = - 0.728, f9 = 7.552例2-20 表的其它功能的应用。 （1）选取表的前后部分。 假设a是一个表，选取a的前面部分，使用Fist命令a = 1, 2, x, y ;First a 运行后得到结果： 1, 2 。 假设a是一个表，选取a的后面部分，使用Last命令a = 1, 2, x, y ;Last a 运行后得到结果： x, y 。 （2）应用举例。问：800！算出来的结果中含有多