数学实验十二统计推断

1、数学实验十二 统计推断【实验目的】 1.掌握数据的参数估计、假设检验的基本原理、算法，及用MATLAB实现的方法； 2.练习用这些方法解决实际问题。  【实验内容】【第六题】学校随机抽取100名学生，测量他们的身体素质，测量他们的身高与体重。 （1） 对数据给出直观的图形描述，检验分布的正态性； （2） 根据这些数据对全校学生的平均身高和体重做估计， 并给出估计的平均误差； （3） 10年前，男生的平均身高为167.5cm，平均体重为60.3kg，根据这次抽查 的数据，对学生的平均身高和体重有无明显变化做出结论。【问题解答】 （1） 首先对所给的身高体重

2、的参数分别进行区间的划分与频数的确定，并画出频数分布 直方图，同时用Jarque-Bera与Lilliefors两种检验方法对两组参数的正态性进行判断。 程序如下：x=172 171 166 160 155 173 166 170 167 173 178 173 163 165 170 163 172 182 171 177 169 168 168 175 176 168 161 169 171 178 177 170 173 172 170 172 177 176 175 184 169 165 164 173 172 169 173 173 166 163 170 160 165 177

3、169 176 177 172 165 166 171 169 170 172 169 167 175 164 166 169 167 179 176 182 186 166 169 173 169 171 167 168 165 168 176 170 158 165 172 169 169 172 162 175 174 167 166 174 168 170 ; y=75 62 62 55 57 58 55 63 53 60 60 73 47 66 60 50 57 63 59 64 55 67 65 67 64 50 49 63 61 64 66 58 67 59 62 59 58 6

4、8 68 70 64 52 59 74 69 52 57 61 70 57 56 65 58 66 63 60 67 56 56 49 65 62 58 64 58 72 76 59 63 54 54 62 63 69 77 76 72 59 65 71 47 65 64 57 57 57 51 62 53 66 58 50 52 75 66 63 50 64 62 59 ; n,xout=hist(x) m,yout=hist(y) hist(x) figure hist(y) h(1)=jbtest(x); h(2)=lillietest(x); h(3)=jbtest(y); h(4)=

5、lillietest(y);运行结果：n = 2 3 6 18 26 22 11 8 2 2xout = 156.5500 159.6500 162.7500 165.8500 168.9500 172.0500 175.1500 178.2500 181.3500 184.4500m = 8 6 8 21 13 19 11 5 4 5yout = 48.5000 51.5000 54.5000 57.5000 60.5000 63.5000 66.5000 69.5000 72.5000 75.5000身高分布直方图：体重分布直方图：h = 0 0 0 0表明接受原假设，即通过了正态性检验，

6、身高、体重的分布均符合正态分布。（2） 由上问可知体重身高均符合正态分布。 首先对身高、体重进行估计（参数已输入）：mu sigma muci sigmaci=normfit(x) mu sigma muci sigmaci=normfit(y)运行结果：1.mu = 170.2500sigma = 5.4018muci = 169.1782 171.3218sigmaci = 4.74286.27512.mu = 61.2700sigma = 6.8929muci = 59.9023 62.6377sigmaci = 6.0520 8.0073再分别计算样本中身高、体重的平均值与标准差：&#

7、160;A=mean(x) std(x) mean(y) std(y)平均值标准差身高（cm）170.2529.1793体重（kg）61.2747.5122可以看出，身高体重的平均值与标准差的点估计与用样本计算出的数据相等，且均包含在区间估计的区间中。（3） 假设： 身高： 𝐻0:𝜇=167.5; 𝐻1:𝜇167.5 体重： 𝐻0:𝜇=60.2; 𝐻1:𝜇60.2假设检验： 执行如下语句（参数已输入： h1=ttest(x,167.5)

8、h2=ttest(y,60.2)运行结果：h1 = 1h2 = 0所以：对于身高，拒绝原假设，表明学生身高发生了明显的变化； 对于体重，接受原假设，表明学生体重没有发生明显变化。【第八题】20名学生参加了某课程进行的、考察同样知识的两次测验，成绩已给出，根据所给数据，判断两次测验的难度是否相同。第一次 93 85 79 90 78 76 81 85 88 68 92 73 88 84 90 70 69 83 83&#

9、160;85第二次 88 89 86 85 87 88 75 93 88 78 86 86 80 89 85 79 78 88 88 90 【解】  先用matlab计算两次成绩的平均数（程序略），第一次测验的平均成绩为82，第二次测验的平均成绩为85.3.两者相差较多，直观上感觉两次测验难度并不相同，第二次测验更简单。 由于课程相同，考查的知识相同，所以两次成绩不独

10、立，从而采用作差法做假设检验。 设第一次样本的均值为𝜇1，第二次为𝜇2，并令=𝜇1𝜇2 𝐻0:𝜇=0;        𝐻1:𝜇0先做正态性检验： x=93 85 79 90 78 76 81 85 88 68 92 73 88 84

11、 90 70 69 83 83 85; y=88 89 86 85 87 88 75 93 88 78 86 86 80 89 85 79 78 88 88 90; z=x-y; h1=jbtest(z) h2=lillietest(z) 结果显示h1=0，h2=1，即正态性通过Jarque-Ber

12、a检验，但不能通过Lilliefors检验。为方便计算，将其视为正态分布。假设检验： h,sigma,ci=ttest(z,0) 得： h1=1   sigma=0.0428   ci=-6.4818,-0.1182.  由h1=1可知，在缺省默认设置=0.05时，认为假设不成立，即两次考试难度系数不同。又因对总体均值的置信区间为-6.4818 -0.1182，所以第二次考试成绩要好于第一次，可见第二次考试的难度系数比第一次考试要小。 【第十题】给出中日青少年男女生

13、的身高数据，。中国数据来自1995年全国学生体质健康调研，分层随机调查政群筹资除西藏、台湾外的所有省年龄7-22岁，共约20万数据。日本数据来自1995年日本学校保健调查。已给各个年龄组的均值与方差。判断中国和日本男女生身高是否存在差异。【解】由于中国学生的数据很多，平均每个年龄组可以分得10,000人左右，而日本学生的人数未知，当做5,000来考虑。做出假设： 𝐻0:1=𝜇2        𝐻1:1𝜇2  此为均值的检验

14、，但是两总体的方差未知，且未必相等，所以需要自己编写程序进行计算。function h,sig=pttest2(xbar,ybar,s1,s2,m,n,alpha,tail)spower=(m-1)*s12+(n-1)*s22)/(m+n-2);t=(xbar-ybar)/sqrt(spower/m+ spower/n);if tail=0 a=tinv(1-alpha/2,m+n-2); sig =2*(1-tcdf(abs(t),m+n-2); if abs(t)<=a h=0; else h=1; endendif tail=1 a=tinv(1-alpha,m+n-2); sig

15、 =1-tcdf(t,m+n-2); if t<=a h=0; else h=1; endendif tail=-1 a=tinv(alpha,m+n-2); sig =tcdf(t,m+n-2); if t>=a h=0; else h=1; endend程序如下： 考察中日女生身高：   xbar=123.4 128.4 134.3 140.0 146.7 152.5 156.3 157.7 158.9 159.3 159.3 1

16、59.1; ybar=121.8 127.6 133.5 140.2 146.7 151.9 155.1 156.7 157.4 157.9 158.1 158.2; sigmax=5.4 5.5 6.2 6.9 7.0 6.6 6.0 5.5 5.6 5.4 5.4 5.3; sigmay=5.4 5.7 6.3 6

17、.6 6.7 6.2 5.4 5.2 5.0 5.3 5.0 5.1; nx=10000; ny=5000; alpha=0.05; tail=0;  h=ones(12,1); sig=ones(12,1); for i=1:12; h(i),sig(i)=pttest2(xbar(i),ybar(i),sigmax(i),sigmay(i),nx,ny,alpha,tail); end 考查中

18、日男生身高： xbar=124.5 129.4 134.6 139.3 145.1 151.2 160.0 165.1 168.3 170.1 171.0 170.8;  ybar=122.5 128.1 133.4 138.9 144.9 152.0 159.6 165.1 168.5 170.0 170.8 171.1  &

19、#160;sigmax=5.7 5.6 6.0 6.6 7.2 8.1 8.0 7.0 6.3 6.3 6.0 5.8   sigmay=5.4 5.5 5.4 5.9 6.7 7.8 7.6 6.8 6.2 5.9 6.0 5.9  nx=10000; ny=5000; alpha=0.05; tail=0; h=ones(12,1); sig=ones(12,1); for i=1:12; h(i),sig(i)=pttest2(xbar(i),ybar(i),sigmax(i),sigmay(i),nx,ny,alpha,