数学建模优秀论文基于层次分析法的模糊综合评价模型

1、2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名

2、号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 广东金融学院 参赛队员 （打印并签名 ） ： 1. 曾彬2. 曾庆达3. 陈佳玲指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名 ）：日期： 2013 年 8 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高校学生评教系统改进的研究摘要本文是研究关于高等学校学生评价教师的评价系统问题，

3、用层次分析法确 定了十项指标的权值 , 并给出了一个新的评教分数的计分模型 -模糊综合评价模 型。本文亮点在于采用基于层次分析法的模糊数学模型。 首先，建立层次分析模型，充分考虑每个指标对综合评价的贡献，并把贡 献按权值进行分配； 通过层次分析法中的归一化处理， 得到两两指标间的相对重 要性的定量描述，从而解决不同指标间的差异。其次建立模糊综合评教模型，输入一组专家（同学）的模糊评价，通过最 大隶属度原则把模糊评价输出为综合评价。最后本文在难易程度不同的课程下（在专业必修课，专业选修课，公共选 修课下进行评价） ，得出同一教师的综合评价， 发现其在不同课程下的综合评价 均相同。于是得出结论，

4、该模型的确能解决不同课程难易程度带来的对总体评教 的影响。因为一个教师的综合教学质量并不应该在不同的课程下得到变化较大的 评教。因此本文建立的模型能够有效地解决不同课程难易程度带来的差异。关键词： 层次分析法 归一化 模糊综合评价模型 实例分析一 问题重述随着我国高等教育改革的深入发展 ,教育质量越来越受到人们的重视 ,"学生 评教 "作为一个重要的教学管理手段 ,也逐步被采用 ,并且取得了一定的效果。 学生 评教是学生结合自己的感受对教师课堂教学效果进行客观评价， 其目的是凸显学 生在高校教学中的地位 ,也是学生行使自己的权利，维护个人权益的途径之一； 同时让教师能及时了

5、解自己教学的优点、弱点及不足 ,进行自我完善，是不断改 进教学方法、提高教学质量的动力来源。目前绝大多数高效都采用了网络评教系统， 其具体评教方法是学生对其任课 教师按每个固定指标评分， 分值为 110 分。不区分具体课程， 将该教师的所有 学生在每项内容上的评分作简单的算术平均即得到单项分值， 将十个单项分值直 接求和即得到最终的评教总评分。但是此计分方式都或多或少存在以下几个问 题:1 不同指标的差异带来的评价不实。2 不同课程的难易程度带来的评价不公。本文根据背景资料，建立了数学模型并研究了以下问题： 设计一种更加合理的评教分数的计算方法， 能够有效改变指标间的差异和课 程带来的差异对总

6、评分数的影响。二 问题分析问题要求我们建立新的评教分数的计分方法来解决不同指标的差异以及不 同课程难易程度对总体评教的影响。2.1 原模型的缺陷 题目所给的评教模型之所以会出现弊端一， 是因为其模型是基于其计分方式 是对 10 个指标进行加权平均所得的平均值作为评价的量化指标，并默认这 10个指标对总体分数的贡献是一样的，即权重都是 0.1. 这种模型并没有考虑的指 标间的差异使得有些指标的加权均值并不能反映实际状况，比如对于指标E（教学方法得当，能够激发学生的学习兴趣； ）、I （关爱学生、师生关系融洽）此类 受主观感受影响较大的指标， 加权平均的思想并不是一种合理的定量方式。 并且 在现实

7、中，不同专业背景的同学对 10 个指标的重视程度不一样， 也就是 10个指 标的权重是不一样的。同理，弊端二产生的原因也是因为其原来的计分方式带来的， 因为不同的课 程难易程度不同，如果只是简单地以 1-10 为等级进行打分，然后求其平均值， 必然会使得同学在评价难的课程时普遍打低分， 使得其总体平均分也较低。 而对 易的课程普遍打高分， 使得总体平均分也较高。 比如一个本来很优秀的老师在较 难的课程中得到一个较差的综合评价。 这样的计分方式使得不同难易程度课程的 评价结果不实，使得教评产生不公平。2.2 问题解决思路对于教师的评价不应该绝对化， 不应该用孤立的标准去量化计算， 而应该用 一定

8、的对比与参照， 否则单纯的一个数值结果很难为评估其教学质量提供直接的 帮助。鉴于此， 本文摒弃原来的计算分数的方法， 尝试建立一个新的量化评教模 型-基于层次分析法的模糊综合评价模型。为了解决不同指标间的差异， 本文尝试建立层次分析模型， 用层次分析法把 每个指标进行分类，然后两两比较求出指标间的相对关系建立的模糊综合评价模型， 利用了隶属度函数量化十个指标的模糊关系， 使 得对十个指标的评价能做出定量化表达， 从而解决不同指标间的差异带来对总体 评教的影响。对于弊端二， 在模糊综合评教模型的基础上建立层次分析法， 对指标进行分 类，然后在不同课程下确定不同的正互反矩阵从而确定各大类的权重，

9、通过归一 化处理，从而解决弊端二不同课程难易程度带来的对总体评教的影响。三 模型假设1、所有学生对教师的评价过程不带任何感情色彩，均能做出实际客观的判断2、每个学生的评价能力没有差异。3、学生均来自同一专业背景4、假设不存在不参加测评的学生，所有学生均参加测评，且填完所有的项目四 符号说明第i 个因素。 ， ， ， 分别表示教 学态度，教学方式，教学效果，教学内容和 对上层目标的影响比正互反矩阵的最大特征值CI矩阵的一致性指标；RI矩阵的平均随机一致指标CR一致性比率； CR=CI/RIR准则层的单因素评价矩阵；正互反矩阵( i=1,2,3,4)U教学评价的评价指标集合；教学评价的评价指标集合

10、内的一级单因素指标；V教学评价的评价等级集合评价评语集合内的单评价等级因素准则层评价矩阵模糊关系子矩阵( i=1 ，2, 3, 4)R模糊关系总矩阵表示第 i 个评价因素对第 j 个评价等级的隶 属度S专业必修课下的模糊评判集W专业必修课下的权向量专业选修课下的权向量公共选修课下的权向量专业选修课下的模糊关系子矩阵 （i=1,2,3,4）公共选修课下的模糊关系子矩阵（ i=1,2,3,4）专业选修课下的模糊评判集公共选修课下的模糊评判集表一五 模型的建立与求解5.1 通过层次分析结构模型建立评教综合体系指标首先对 10个指标进行分层，将决策问题分为 3个层次：目标层 O，准则层 C， 方案层

11、P；每层有若干元素。如图（一）所示。图一 其中，目标层为：学生评教； 准则层：教学态度、教师方式、教学效果、教学内容 方案层：指标 ABCDEFGHIJ首先分析准则层对目标层的影响，本文把 10 个指标分成 4 类，所以设有 n 个因素 （ , , , ,）（分别构成教学态度、教学方式、教学效果、教学内容） ，用表示 和 对上层目标的影响比相对重要：定义1若 xi 等价于 xj: 赋值 13若 xi 比 xj 重要 : 赋值 35若 xi 比 xj 重要得多 : 赋值 57若 xi 是强烈重要的9若 xi 是最重要的2,4,6,8重要程度等级介于 xi 和 xj 之间1/2,1/3,1/9对应

12、于以上等级的 xi 和 xj 之间的关系表（二） 相对重要程度 取值情况首先我们把课程锁定在专业必修课上。 经过我们对专家 （全体同学） 对比教育态度、教学方式、教学效果、教学内容的咨询，可近似得到以下系数：= 1:3= 1:4= 1:3= 1:2从而得到正互反矩阵：A=2:113431/31211/41/211/21/3121= 4.0206；一致性指标：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51利用 MATLAB语言求矩阵 A 的最大特征值得： 对正互反矩阵进行一致性检验，采用 T .L . Saaty CI = ( -n)

13、/(n-1) 根据 Saaty 的随机一致性指标表格得 RI=0.90一致性比例 CR= CI/RI =0.0069/0.90=0.0076<0.1,即通过了一致性检验。，得到权向量对于阶数较高的矩阵特征向量， 如果矩阵正互反阵， 可以由下面三种简便的 近似方法计算其特征根和特征向量。幂法：Step1 任取 n 维归一化初始向量 w(0)Step2 计算 w(k 1) Aw (k),k 0,1,2, .Step3 w(k 1)归一化，即令 w(k1)Step4 对于预先给定的精度 ，当wi(k 1)wi(k)(i 1,2, ,n)时，w(k 1) 即为所求的特征向量；否则返回 Step2

14、.n w(k 1)Step5 计算最大特征根 1 wi (k) n i 1 wi(k)和法：Step1 将 A 的每一列向量归一化得wijaijnaiji1nStep2 对 wij 按行求和得 wiwiji1Step3 将wi归一化 wi nwi ,w w1,w2, ,wn T .wii1Step4 计算 1 （Aw）i ，作为最大特征根的近似值 .ni 1 wi这个方法实际上是将 A的列向量归一化后取平均值， 作为 A的特征向量。 因 为当 A 为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量， 所以若 A的不一致性不严重， 则取 A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。 根法：ai

15、j .naiji11/nStep1 将 A 的每一列向量归一化得 wijStep2 对 wij 按行求积并开 n 次方，即 wiwijj1Step3 将wi归一化 wi nwi ,w w1,w2, ,wn T .wii1Step4 计算 1 （Aw）i ，作为最大特征根的近似值 .ni 1 wi经过 MATLAB 进行归一化处理，得到标准化特征向量（权向量） ：W = （ 0.0886，0.2389 ，0.4337，0.2389 ） 即当前同学们在专业课必修上，对教育态度、教育方式、教育效果、教育内容重 视情况为 （0.0886，0.2389 ，0.4337， 0.2389）。下面开始构造方案

16、层对准则层的每个准则的正互反矩阵1）AHI 对 E1 的正互反矩阵2）CD对 E2的正互反矩阵3）GEF对 E3 的正互反矩阵4）J B对 E4的正互反矩阵同理对以上矩阵做一致性比例处理，发现CR均0.1 ,即都通过了检验5.2 建立 模糊综合评价模型Uu1,u2 , ,um ，（m=10）(i=1，2，10)分别对应指标 ABCDEFGHIJV v1,v2, ,vn =，其中 分别表示差，普通，中，良，优秀。权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且为了提高模型的精度， 本模型利用前面的层次分析模型得出的权重 (权向量)W=( 0.0886，0.2389 ，0.4337，0.2389 )

17、5.2.4 输入一组专家(同学)评教意见确定评价矩阵 R 假设我们通过调查得到 20个同学对教师的 10 个指标的单因素评价的结果如下表所示：表(三)根据表=50 作为隶属度，可得 E1的单因素评价矩阵00.20.440.30.060.040.240.340.20.180.10.160.280.260.20.040.240.40.220.100.180.420.320.08的信息，用得分处以0.020.060.220.560.240.10.180.320.280.1200.040.340.320.20.020.20.30.30.180.060.160.320.340.12=*=(0.03931

18、60.2119 0.35933 0.242830.14662)= * =(0.030.2250.4050.2450.095 )=*=(0.0591860.121180.303790.348320.16438)=*=(0.050.170.3150.330.135 )由各个模糊关系子矩阵得出模糊关系总矩阵0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.14662=0.030.2250.4050.2450.0950.0591860.121180.303790.348320.164380.050.170.3150.330.135通过权系数矩阵 W 与评价矩阵 R 的模糊变换得到模糊

19、评判集S。设W ( j)1m，R (rji)m n那么其中“。”为模糊合成算子。进行模糊变化时要选择适宜的模糊合成算子，本文m选择最优的 M( , )算子， sk min 1,jrjk ,k 1, 2, ,nj1将层次分析法算出的权向量 W ，以及评价矩阵 R 带入得出模糊评价集，经运算得：S= W 。 R= (0.048264 0.1657 0.3356 0.30995 0.13923)模糊评判集 S S1,S2, ,Sn 中Si为等级 vi对模糊评判集 S的隶属度，按最大隶属度原则得出综合结论， 即 M max S1,S2, ,Sn ，M 所对应的元素为综合 评价结果。S= （0.0482

20、64 0.1657 0.3356 0.30995 0.13923） 易看出第三个指标值最大 ，所以该教师在此课程为专业基础课下的综合评价为“中”至此，模型构建完毕。 只要输入一个如表所示的调查表， 即可通过该模型得 到某位教师的综合评价。5.3 模型的检验 弊端一已经由层次分析法的归一化解决了， 为了检验本文建立的模糊综合评 价模型能够解决第二个问题， 即不同课程难易程度带来对总体评教的影响， 接下来本文构建不同难易程度的课程： 专业课必修课， 专业选修课 （前文已经构建完 模型并已分析 ），专业公选课（难度：专业必修课 专业选修课 公共选修课），我们在专业选修课下，得出近似系数：= 1/3=

21、 1/2= 2= 1从而得到正互反矩阵：11/31/21/3=312121/211/23121层次单排序及其一致性检验：利用 MATLAB语言求矩阵 A 的最大特征值得：= 4.0104分析同一位教师在不同课程下是否得到相同的评价5.3.1 同一位教师在专业选修课下，层次分析法的构建= 1/3= 1/2根据 Saaty 的随机一致性指标表格n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51得 RI=0.90致性比例： CR= CI/RI =0.0035/0.90=0.00390.1,即通过了一致性检验。得到标准化特征向量（权向量）= （

22、 0.1091，0.3509 ，0.1891，0.3509 ）。即当前同学们在专业课选修上对教育态度、 教育方式、 教育效果、 教育内容重视 情况分别为 （0.1091，0.3509，0.1891 ，0.3509 ） ，所以模糊关系总矩阵是不变的。模糊关系总矩阵：0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.146620.030.2250.4050.2450.0950.0591860.121180.303790.348320.164380.050.170.3150.330.13=做出综合评价分析= R = ( 0.043553 0.18464 0.3493 0.29413

23、0.12779)我们在公共选修课下，得出近似系数：= 1/2= 1= 2= 1从而得到正互反矩阵：11/21=212111212层次单排序及其一致性检验利用 MATLAB语言求矩阵 A 的最大特征值得：中”5.3.2 同一位教师在公共选修课下，层次分析法的构建以最大隶属度原则，容易看出，第三个指标最大，所以该教师的综合评价也为= 1/2= 11/211/21n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51= 4.2361根据 Saaty 的随机一致性指标表格得 RI=0.90一致性比例 CR= CI/RI =0.0787/0.90=,

24、即通过了一致性检验。得到标准化特征向量(权重) W = (0.1604 0.3207 0.1982 0.3207 ) 即当前同学们在专业课必修上，对教育态度、教育方式、教育效果、教育内容重 视情况为 (0.1604 0.3207 0.1982 0.3207 ) ，所以模糊关系总矩阵是不变的模糊关系总矩阵：0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.14662=0.030.2250.4050.2450.0950.0591860.121180.303790.348320.164380.050.170.3150.330.13做出综合评价分析= R = (0.0436930.1

25、84680.348750.292390.12986)以最大隶属度原则，容易看出，第三个指标最大，所以该教师的综合评价也为 : “中” 。5.4 综合评价综上所述， 通过实例分析， 同一位教师在不同课程下的评价均为中， 即其教 学综合评价并不因为不同课程的难易程度而发生改变， 说明本文构建的模糊综合 评价模型能够既能够解决指标间的差异带来的对总体评价的影响， 又能够解决不 同课程难易程度不同带来的对总体评教的影响。六 模型优化与评价该模型充分结合了评价教师的十个指标之间的模糊关系、 指标影响力的模糊 性以及指标等级的模糊性等特点， 运用模糊数学知识合理地采用模糊综合分析对 教师评价的指标进行乐比较精确的分析。 优点：本模型不同于传统的模糊综合评价模型。 为了弥补传统模糊分析的权 重定义由人为评定， 导致权重的赋值偏于主观性这一不足之处， 将模糊综合分析 的基本模型结合层次分析法来进行指标的分类与确定权重。 尽管层次分析法判断 矩阵的定义也有一定的主观性， 但是其基于的数学知识具有很高的理论基础， 而 且逻辑缜密，用此方法能够客观的算出各个指标的权重从而消除不同指标间的差 异。此外，在最后的评价中， 本模型采取简单易行的最大隶属度的原则来得到综 合评价。缺点：虽然最大隶属度的方法简单易行， 但是由于数据的有限性以