数学培优竞赛新方法九年级-第23讲几何定值

1、第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1】（1）如图1,圆内接 ABC中，AB BC CA, OD,OE为圆O的半径,OD BC于点F , OE AC于点G ,求证：阴影部分四边形 OFCG的面积是 ABC的一1面积的一.3（2）如图2,若 DOE保持120角度不变，求证：DOE绕着O点旋转时，由两条半 1径和 ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积

2、的一.3（广东省中考题）1c 思路点拨 对于（1 ）,连OA、OC ,则要证明S OAC S ABC ,只需证明3OAG OCF ；对于（2）,类比（1）的证明方法证明。【例2】如图，O O1和。02外切于点 A, BC是。O1和。02的公切线，B,C为切点.(1)求证：AB AC;(2)过点A的直线分别交。Oi和。2于点D, E ,且DE是连心线时，直线DB与直线EC 交于点F .请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；(3)在(2)的其他条件不变的情况下， 将直线DE绕点A旋转(DE不与点A, B,C重合)， 请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直

3、？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.(沈阳市中考题)思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若DFE 90 ,则DF EF这一位置关系不变。【例3】如图，定长的弦 ST在一个以AB为直径的半圆上滑动， M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管 ST滑到什么位置，SPM是一定角.(第18届加拿大数学竞赛题)(1)求证：四边形OGCH是平行四边形;存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度;思路点拨不管ST滑到什么位置，弧 ST及 SOT的度数都是定制，从探寻 SPM与SOT的关系入手。【例4】如图，扇形OAB的半径OA 3,圆心角 AOB 90，点C是弧AB上异于A, B

4、的动点，过点C作CD OA于点D ,作CE OB于点E ,连接DE ,点G, H在线段DE上，且 DG GH HE.(2)当点C在弧AB上运动时，在CD,CG,DG中，是否2_ _2(3)求证：CD 3CH是定值.思路点拨对于(3),设法把CH用CD的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。【例5】 如图，已知等边 ABC内接于圆，在劣弧 AB上取异于A、B的点M ,设直线AC与BM相交于K ,直线CB与AM相交于点N ,证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.思路点拨即要证 AK BN是一个定值，在图形

5、中ABC的边长是一个定值，说明AK BN与AB有关，从图知AB为 ABM与 ANB的公共边，作一个大胆的猜想,AK BN AB2 ,从而我们的证明目标更加明确.以退为进【例6】如图1,在平面直角坐标系 xOy中，点M在x轴的正半轴上，。M交x轴于A, B两点，交y轴于C,D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点 A的坐标为2,0 ,AE 8 .C(湖北省竞赛题)(1)求点C的坐标;(2)连接 MG,BC ,求证：MG / BC ；OF(3)如图2,过点D作。M的切线，交x轴于点P .动点F在O M的圆周上运动时，-的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.(深圳市中

6、考题)学力训练基础夯实1.阅读下列材料，然后解答问题.经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形.如图，已知正四边形 ABCD的外接圆。O,。的面积为S1,正四边形 ABCD的面积为S2 ,以圆心 O为顶点作 MON ,使 MON 90 ,将 MON绕点O旋转，OM,ON分别与。O相交于点E,F,分别与正四边形 ABCD的边相交于点G, H .设由OE,OF,弧EF及正四边形 ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为 S（1）当OM经过点A时（如图），则S,Si,S2之间的关系为：S （用含6、S2的代数式

7、表示）；（2）当OM AB时（如图），点 G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当 MON旋转到任意位置时（如图），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由.（邵阳市中考题）2 .如图，在等腰三角形 ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与 AB,AC相切，切点分别为 D,E .过半圆上一点 F作半圆的切线，分别交 AB, AC于M ,N .求证：BM CN为定值。3 .如图，已知等边三角形 ABC的周长为a, P为其内任一点,PD AB于 D, PE BC 于 E, PF AC于 F。求证：（1） PD PE PF为定值；（2） AD BE CF 为定值。（三明市中考

8、题）4 .已知半径为 R的。O'经过半径为r的。的圆心，O O与。O'交于E, F两点.（1）如图1,连接OO'交。O于点C ,并延长交。O'于点D ,过点C作。O的切线交。O ' 9,B两点，求OA OB的值；（2）若点C为。O上一动点.当点C运动到。O'内时，如图2,过点C作。O的切线交。O'于A, B两点，则OA OB 的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；当点C运动到。O'外时，过点 C作。O的切线，若能交。 O于A,B两点，如图3,则OA OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由.（济南市中考题）能力

9、拓展5 .如图，内接于圆 O的四边形 ABCD的对角线 AC与BD垂直相交于点 K,设圆O的半径为R ,求证：(1) AK2 BK2 CK2 DK2 是定值;_ 222_2 、一(2) AB BC CD DA 是定值。 一 PA PC6 .如图，已知P为正万形 ABCD的外接圆的劣弧 AD上任意一点，求证： 为定PB值。7 .如图，已知 ABC为直角三角形，ACB 90 , AC BC,点A,C在x轴上，点B坐 标为3,m m 0 ,线段AB与y轴相交于点D ,以P 1,0为顶点的抛物线过点 B,D .(1)求点A的坐标(用m表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)设点Q为抛物线上点 P至点B之

10、间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E ,连接BQ 并延长交 AC于点F，试证明：FC AC EC为定值.(湘潭市中考题)8 .如图所示，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为 6,0 , 0,2，点D是线段BC上，一，一，一一一八1八一 一的动点(与漏点 B, C不重合)，过点 D作直线y - x b交折线OAB于点E .2(1)记 ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 OiABiCi, 试探究四边形Oi A BiCi与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重(广州市中考题)综合创新9 .如图1

11、所示，以点 M 1,0为圆心的圆与 y轴，x轴分别交于点 A,B,C, D ,直线5点y x 与。M相切于点H ,交y轴于点E ,交y轴于点F .33(1)请直接写出OE ,。M的半径r , CH的长；(2)如图2所示，弦HQ交x轴于点P,且DP: PH 3:2,求cos QHC的值；(3)如图3所示，点K为线段EC上一动点(不与E,C重合)，连接BK交。M于点T , 弦AT交x轴于点N .是否存在一个常数 a ,始终满足MN MK a?如果存在，请求出 a的值；如果不存在，请说明理由.(深圳市中考题)10.小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y ax2 a 0的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A, B两点，请解答以下问题：(1