2010高考复习数学亮点试题解析几何部分

1、2010高考复习数学亮点试题（解析几何部分）李春龙（江苏省扬州市第一中学）【题目】1. 如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称，在边上，三角形ABC的周长为12若一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由【解析提示】(1) 设双曲线的方程为，则由，得，即解之得，双曲线的方程为(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得即，即把代入，得把代入并整理得其中且，即且代入，得 ，化简得 当时，上式恒成立因此，

2、在轴上存在定点，使【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对双曲线有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念和有关垂直性质的应用；双曲线的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练存在性问题的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力. 【题目】2. 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明

3、理由.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以（）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不

4、存在满足条件的点M.当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，记，由知，所以【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对椭圆有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念，椭圆的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练轨迹方程的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.【题目】3. 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求

5、的取值范围.【解析提示】：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl= -，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y并整理，得x2+xx122=0.M是PQ的中点x0= -， y0=x12(x0x1). 消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理

6、，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则.y=x2由 y=kx+b 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. 则 y1+y2=2(k2+b)， y1y2=b2. 方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b>0时，=b=+2>2；当b<0时，=b=.又由方程有两个相异实根，得=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>2b.所以>=2.当b>0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2. =+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学