2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十四《计数原理》

1、2019 衡水名师原创理科数学专题卷专题十四计数原理考点 45:排列与组合（1-6 题，13,14 题，17-19 题）考点 46:二项式定理（7-12 题，15,16 题，20-22 题）考试时间：120 分钟 满分：150 分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。）1.【来源】安徽省淮北市第一中学 2017 届高三下学期第二次周测考点 45 中难甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是00、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的

2、限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（）A.5B.24C.32D.642.【2017 课标 II，理 6】 考点 45 中难安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方 式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种3.【来源】四川省资阳市 2017 届高三 4 月模拟考试考点 45 中难将编号为 1 , 2, 3, 4, 5, 6 的六个小球放入编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 的六个盒子

3、，每个盒 子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）A. 40B. 60C. 80D. 1004.【来源】江西省南昌市十所省重点中学命制2017 届高三第二次模拟突破冲刺考点 45中难春天来了，某学校组织学生外出踏青.4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3 位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A. 964 B.1080 C.1152 D.12965.【来源】福建省 2017 届高三 4 月单科质量检测 考点 45 中难5 名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5 人的成绩互不

4、相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（）A. 54 B. 72 C. 78 D. 966.【来源】广西桂林市、崇左市、百色市2017 届高三下学期第一次联合模拟考点 45 难如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2 个，一堆 3 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（）A. 6 B. 10 C. 12 D. 247.2x 1的展开式中，x项的系数为（）0 1 2 2 20 20a C20C202 C202 LC202,a b mod10，则b的值可以是（）A. 2

5、011 B.2012 C.2013 D. 2014第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13.【2017 天津，理 14】 考点 45 易用数字 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个.（用数字作答）14.【来源】湖北省六校联合体2017 届高三 4 月联考 考点 45 中难【2017 课标 1,理 6】考点 46 易(112)(1xx）6展开式中x2的系数为A.15B. 20C. 30D. 358.【来源】山西省三区八校2017 届高三第二次模拟考考点 46

6、 易9.【来源】重庆市第一中学二项式x2A. 1 B.-1C.4ax33i3axC.2017-20182a2Xa3xa4,则a2等于（）学年高二 3 月月考10的展开式的二项式系数和为（210D. 010.【来源】广东省揭阳市 2017 届高三第一次模拟考试3 3 Ji考点 46 易考点 46中难A. - 411.【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学B.D. 4.口C. 22017-2018 学年高二4 月月考考点 46 中难131 x的展开式中，系数最小的项为A.第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 8 项12.【来源】湖南省湘潭市 2017 第三次高考模拟D.第 9 项考点 46 中难中

7、国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究.设a,b, m(m 0)为整数， 若a和b被a和b对模m同余，记为a b modm.若把编号为 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 的 7 张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为_.15.【2017 山东，理 11】考点 46 易已知 1 3xn的展开式中含有 x2项的系数是 54，则n16.【来源】安徽省合肥市 2017 届高三第二次教学质量检测考点 46 中难14在x - 1的展开式中，常数项为 _x三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。)17.(本题满分

8、 10 分)【来源】2015-2016 学年福建省南安一中高二下期中考点 45 中难用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的四位数.(I)可以组成多少个不同的四位数？(H)若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？(川)将(I)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85 项是什么？18.(本题满分 12 分)【来源】2015-2016 学年江苏连云港东海县二中高二下期中考点 45 中难(用数字作答)从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中选出 4 本，送给 4 位同学，每人 1 本，问：(I)如果故事书和数学书各选2 本，共有多少种不同的

9、送法？(2) 如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？(3) 如果选出的 4 本书中至少有 3 本故事书，共有多少种不同的送法？19.(本题满分 122015-2016 学年江苏省泰州中学高二下二次质检 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1) 恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2) 恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？(3) 恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？20.(本题满分 12 分)考点 45 中难【来源】 河北省保定市高二年级第二学期期中联考考点 46 中难已知f(x) (2x 3)n展开式的二项式系数和为512,n2且(2x 3)aoa1

10、(x 1)a2(x 1)an(x1)(1 )求 a2的值;(3)求f(20)20被 6 整除的余数21.（本题满分 12 分）【来源】2015-2016 学年江苏省泰兴中学高二下学期期中考点 46 中难1已知（一2x）n，2（1）若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数；（2） 若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.22.（本题满分 12 分）【来源】2017-2018 学年河北枣强中学高二上月考考点 46 中难8匸$在X的展开式中.（1）求二项式系数最大的项；（2）求系数的绝对值最大的项；（3）求系数最小的

11、项.(2)求aia2a3an的值;1【答案】D【解析】5日至9日 分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日2天偶数日第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有238种，第一步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2 2 4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有224种，共计4 4 8，根据分布计数原理，不同的用车方案种数共有8 8 64.故选 D.2.【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可23得，只要把工作分成三份：有C4种方法，然后进行全排列A3即可，由乘法原理，不同的安排23方式共有C4A336种方法。故

12、选D,3.【答案】A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：2C；40种.4【答案】C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有AA51440种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有AfAfA4288种，.符合题意的站法共有1440 288 1152种5【答案】C【解析】由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A424种，乙没得第一有 3 种再排甲也有 3 种，余下得有A；6种，故有6 3 3=54种，所以一共有 24+54=78 种6.【答案】B【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5

13、.分两种情况讨论：若先取 1,则有 12345,12453,14523,14235,14523,12435, 共 6 种情况；若先取 4,则有45123,41235,41523,41253, 共 4 种情况,故共有 6+4=10 种情况.7.【答案】C【解析】因为(1)(1x)61 (1x)61 (1x)6，则(1X)6展开式中含X2的项为1C2x215x2，x2x21 1(1 x)6展开式中含x2的项为飞c；x415x2，故x2前系数为15 15 30,选 C.xx& 【答案】B【解析】a C2( z)26(1 a2CH z) 6纭3213i)26(i)2 223 3 3i,故选 B

14、.9. 【答案】C参考答案【解析】由二项式系数和的性质可知，展开式的二项式系数和为CoC；0C10LCw21010.答案】【解析】 因为x23C：x2 Cjx C4x 1x2所以x 14的展开式中，x项的系数为24,故选 D.11.【答案】【解析】由题设可知展开式中的通项公式为Tr 1C；3其系数为rr1 C；3,当r为奇数时展开式中项的系数系数最小，应选答案 Co12.【答案】A【解析】因为a (1 2)20320910(10 1)10C10Q1Q10CW109rr1 C13最小，贝Ur9.C9Q10 1，所以a被rr r1 C13X,即第 8 项的10 除得的余数为13.【答案】41341

15、080【解析】A CiCsA；108014.【答案】1200【解析】1 2 3 4 A51200.15. 【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式1,而 2011 被 10 除得的余数是 1，故选 A.C23254，解得r 1Cr亠r3x Cn3xr，令r2得:16.【答案】5【解析】 由二项展开式的通项公式得:Tr 11rc4x4 r丄1xr,显然r2,3,4时可能有常数项,21,有常数项1xC：X2_26，当rx1的展开式中含C|1，故常数项为x中的常数项6 12 15.17.【答案】(I)300(n)100C；x Cf-12，当rx常数项为1，所以展开式(出)2301【解析】(1)134

16、3A5A5AsA5300132(2)A5C5A2100.(3)千位是1 的四位数有A53=60个,千位是 2,百位是 0 或者 12的四位数有 2A；24个,则第 85 项是18.【答案】(1) 1440;( 2) 504; ( 3) 1080【解析】(1)共有CCA4 1440种不同的送法(2)共有CA4 504种不同的送法2301.(3)共有C5C4A4A1080种不同的送法19.【答案】(1) 144 (2) 144 (3) 84【解析】(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？ ”即把4

17、个球分成 2, 1, 1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步计数 原理，共有C：C：C3A 144(种)(2) “恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即 另外 3个盒子中恰有一个空盒，因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事，所以共有 144 种放法.(3) 确定 2 个空盒有 C：种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成3,1、2,2两类，第一类有序不均匀分组有C3C；A；种方法；第c2c2二类有序均匀分组有胃A2种方法，故共有20.I答

18、案】a2C】22( 1)8144,2,51r (2x)r= 22r_ncnxr,(此题可以用组合数表示结果)2由题意知c4,c5,c6成等差数列，二2C5=c4c6,.n= 14 或 7.当 n= 14 时，第 8 项的二项式系数最大，该项的系数为22X-14c74= 3 432 ;当 n= 7 时，第 4、5 项的二项式系数相等且最大，其系数分别为 22X3一7c3=35, 22X4-7c4=70.231 2C4C4C1A2c2c2FC2A；84(种)放法.A【解析】(1)由二项式系数和为 512 知，2n512299.1 分(2x93)2(x1) 19所以a2C：22()7144a1a13 3aa3x1,a0(2 1 3)91a9(223)91a1a12 20)0)2 29 93737a9(a。a1a2a3a?) a。2.-8 分20(361)920C0363C93683C(361 20因为C0369C：36812 分21.【答案】(1) 70 (2)332(2x)10【解析】(1)通项 Tr+1=C；需36能被 6 整除，所以-19 被 6 整除后余数为 5.20 12(2)由题意知CnCnCn= 79,二 n = 12 或 n= 13 (舍).