高中数学-外接球与内切球解题方法,搞定这8大模型几何问题不用愁

1、空间几何体的外接球与内切球一、有关定义 1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一入球的球面上，则称这个多 面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。3,内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面 体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。二、外接球的有关知识与方法性质I：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等;性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大 圆;性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定

2、理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是 球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论: 结论I:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中 点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体 与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形 的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角 形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段

3、中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球 的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8:圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球 的直径；结论侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法|.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。（与直线切圆的结论有一致性） 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均 相等。（类比：与多边形

4、的内切圆） 3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。图(3)”,取/从9r的中点/),£,连接力*,(7), AE,CD交于H,连接SH,则是底面正三角形力伏、的中心,，51平面月8(二51/8,V AC = iiC , AD = HD, /. CD LAfi , ，Hl.平面 SCO,SSC,同理："Cl”, ACLSI即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)2, v AM 1 MV , SBH MN,4V/J.S8, .4CJ.S3, S8i平面s/r,SB ISA, SB 1 SC, / SB 1 SA , BC1 SA ,SA 1 平面SBC, ；. SA 工SC,

5、故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,B(3)0-2 (解答图)/. (2R)2 = (2)2 + (2>/3)2 + (2)2 = 36 f 即4肥=36,，正三棱锥S 181 外接球的表面积是36万.(4)在四面体3c中一 1平面/从K' = 120 ,"二/('=2,48 = 1,则该四面体的外接球的表面积为(D)A11及7万建万3解：在&4HC 中,BC1 -= AC2 + AH1 - 2J/r BC - cos 120u = 7 , BC =后，&45C 的外 接 球 直 径K 币 277为 2r = j=- = -lsin ZB

6、AC <3 V32(2K)2=(2/)2 + ST =24404074+ 4 = 、= 选 D33(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是解：由己知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为。,。(。,力,。£叱)，则ab = 12he = 8 , . ubc = 24 9= 3 ,8=4, c = 2, (2R) =，+ />' + = 29 ,ac = 6S =4或。=29i 9（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为I的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：(2炉=。2+/+。2=

7、3, R2 =2, K = 424 4 36 G=一冰=7T = ,3382 0H«ra类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对梭分别相等，求外接球半径（/夕=。）,AD=BC 9 AC = 81)来源：简单高中生(IDjiandanlOOcn)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为叫 AI） = BC = xfAB = CD = y, zK' = RD = 7,列方程组,a +/)= xb2 +c2 =y2 => (2R)? = a、b、c22，c +a =补充：图2-1中，匕“0abc-

8、cihcx4=-ahc.第三步根据墙角2AM2邛,求出 V 28y 8R.思考：如何求棱长为。的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2(1)如下图所示三棱锥力-，其中A/i = CD = 5,A(' = BD = 6.AL) = BC = 7,则该三棱维外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为a, "c,2(a2 + />2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110 , a2+/>2+c2 = 55, 4/? =55, S = 55(OBR(2)在三棱锥 4-8(7)中，AB = CD = 2. JD = BC = 3,

9、 4C = BD = 4,则三棱锥7QA - BCD外接球的表面积为,万2解：如图2-1,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别 为 a,b,c ,则。'+力=9,Z>:+r=4,c?+/=16；.2(a2+/>2+c?) = 9 + 4 + 16 = 29,2(/+/+/) = 9 + 4 + 16 = 29 ,(3)正四面体的各条棱长都为V2 ,则该正面体外接球的体积为U）解解;正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，R”（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面二，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是解：如解答图，

10、将正四面体放入正方体中，截面为AZ¥'O1,面积是拉.题设：如图31,图32,图33,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心。的位置，a是A4”的外心，则。Q1平面480；第二步：算出小圆a的半径/咐=，。&二；四二:力(力4二。也是圆柱的高);第三步：勾股定理：O42 =已4+”> n R? f+/n R =卜心"解出 例3(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为？，底面周长为3,则这个球的体积 8为解：设正六边形边长为明正六棱柱

11、的高为力，底面外接圆的半径为厂，则。=L2正六棱柱的底面积为s=6曲(，)2=士回，几=$力=羽3%=2,:=百, 428884*=m+(6)2=4也可比=(多+(= 1), R = l,球的体积为/ =竺；22*3直三棱柱ABC _ 的各顶点都在同一球面上，若AB = AC =彳4 = 2/BAC = 120。，则此球的表面积等于.26解：BC = 243 , 2r = = 4, r = 2 f R = 4 ,sin 1200(3) B(3)已知AH"所在的平面与矩形48(7)所在的平 面互相垂直，EA = EH = 3yAD = 2,Z.AEH = 60 , 则多面体E-ABCD

12、的外接球的表面积 为.167r 解：折叠型,法一：的外接圆半径为八二J5,(叫=, 7? = 5/T+3 = 2 ;法二：O.M -= (KD -, R: = + = 4, R = 2 , Sf -16 ；2*24 4法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径： (2A)2=(2>/3)2+22 = l6f ,=16不；(4)在直三棱柱中，43 = 4,/(' = 64=工/4=4,则直三棱柱 3力乐-4片(；的外接球的表面积为160n3解:法：802 = 6 + 36 246，= 28, BC =

13、2行,2二毕=也，r = 2V3 V3 V3"八(幺六"+4=竺，y吗;233 衣 3法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一正弦定理求大圆直径是通法)1 .如图41,平面04(3平面46C,且"18('(即水'为小圆的直径)，且尸的射影是A4”的外心o三棱锥P- AHC的三条侧棱相等o三棱P- ABC的底面 色48(在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心。的位置，取&的外心则a三点共线；第二步：先算出小圆a的半径力a=/，再算出棱锥的高二力(也是圆锥的高)

14、;第三步：勾股定理：OA2 =()2+()02 => R2=(h-R)2+r2,解出 R;事实上，A4C尸的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出/L2 .如图42,平面1平面,且即4(、为小圆的直径)，且PA1AC,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：®(2/e)2 = PJ2+(2r)2o 2R=yjPA2 +(2r)2 ； * + ()()i。r =+ 0()；3 .如图4.3,平面P/C_L平面力BC,且4_L伙'(即为小圆的直径)0C2 = 01C2 + 002 o 肥=产+00。AC = 2 Jr2-004题设：如图4M,平面4(平面且次'(即力(

15、,为小圆的直径)第一步：易知球心。必是A/"(的外心，即A/('的外接圆是大圆，先求出小圆的直径/C = 2r；来源：简单高中生(ID:jiandanlOOcn)第二步：在AP/J1中，可根据正弦定理上一 二，_ =<二=2",求出A. sin A sin H sin (例4(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为26，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理(用大圆求外接球直径)；法二：找球心联合勾股定理，2A = 7, S = 4成？=49万；(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为v2 ,各顶点都在同一球面上,则此球体积为

16、解:方法一:找球心的位置，易知，二1 "二1,万二r,故球心在正方形的中心方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，心awc的斜边是球半径，2火=2,火=1, / =(3)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.也B至C.D.亘43412解：高力= =1,底面外接圆的半径为* = 1,直径为2 = 2,设底面边长为明则2及二一 = 2,5 =史/ 二 士生，三棱锥的体积 sin 6044为3 二立； 34(4)在三棱锥”-力加，中，P力=尸"=火'=6,侧棱21与底面力加所成的角

17、为60则该三棱维外接球的体积为()A. nB.-C. 4 1D.33解：选D,由线面角的知识，得ZU8C的顶点4及C在以尸="为半径的圆上，在圆锥中求解，R = l;(5)已知三棱惟34伙的所有顶点都在球。的求面上,A4坎'是边长为1的正三角形,SC为球。的直径，且sr = 2,则此棱锥的体积为()Aa£B.C."D.受6632葩 <>/)向"J L 泡2 瓜 k 2瓜 u 1 v, 1 V3 2V6 4i和牛： 0()=7R£ 一尸=<1-(¥ =,h =. 匕=-Sh =1 V 333* 33436类型五

18、、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1.题设：如图5, 平面片以，求外接球半径.图5解题步哪：第一步：将画在小圆面上，力为小圆直径的一个端点，作小圆的直径/。，连接则必过球心”；第二步：化为A/i伙的外心，所以(gi平面加(，算出小圆4的半径(D =r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得3二3二三二2厂), sin A sin n sin (O(1 = ；PA；第三步：利用勾股定理求三棱雄的外接球半径：(2)2 = PA2 + (2r)2。2R = 才+(2厂了；犬=产+()0；。A= 6+00；.2题设:如图5/至5-8这七个图形,/)的射影是41/“、的外心o三棱锥P- ABC的三

19、条侧棱相等。三棱锥P-AHC的底面MfiC在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.ffis-lHFIS-2图S3图N第一步：确定球心。的位置，取的外心q,则匕3a三点共线；第二步：先算出小圆a的半径A（= r,再算出棱锥的高P（ =力（也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：0A2 = OtA2 + Op2 => /?2 = （/r- R）2 + r2,解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示,A. 3了B. 2乃CA A 22正视图便视图O 倚视图则该几何体外接球的表面积为（）C：.D.以上都不对3解答图解：选C, 法一：（勾股定理）

20、利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上, (0-"+1 =居/=丁芦=4成2 = ” ;A33法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角24形PMN的外接圆是大圆，于是2R=- = ',下略； sin 60 V3类型六、折分模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）图6第一步：先画出如图6所示的图形，将A伙7）画在小圆上，找出A8（7）和A/1力/） 的外心片和也;第二步：过和上分别作平面3CQ和平面4%）的垂线，两垂线的交点即为球 心0,连接OE,OC;第三步：解AO/M，算出。修，在及，八。（耳中，勾股定理：OH-

21、 + CH； = OC2注：易知。,广心2四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥中，平面1平面伙"”/和48均为边长为2的正三角形，则三棱锥外接球的半径为.242解：如图，2八=2=7= , r =r2 r » 6H = ,sin 60J3V3J3(i)遇n,八，/22 1 4 5r Jl 5R =()J1 +r + = -. R =法二：（）?h=卡,a=七，ah=9 3 3 33R1 = AO2 = AH2 + (H2 + OX)2 = -, R = 1133(2)在直角梯形力*7)中，A/i/ICJ), ZJ = 90 Z(T = 45 AB = AD = ,沿对

22、 角线折成四面体H-8(7),使平面48。1平面伙7),若四面体片-灰力的 顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为解：如图，易知球心在3C的中点处，S表=4不； (3)在四面体S-力双,中，A/iLBC. AB = BC = e,二面角S-/C-A的余弦值为-卫，则四面体S-4,('的外接球表面积为 、解：如图9 法一：cos/SQB = cos(NO()。、+) = -23sin /.()().(), = , cos 4)()0、=,123123八八4102113 c0(1 = ,/?* = 1 + = , S= 4成-=6zr；cos NW22 2法二：延长8亿到。使。Q二小 由余

23、弦定理得58 =c，57)=收，大圆 直径为2A = 58 ="(4)在边长为2白的菱形/加力中，/BAD = 60、，沿对角线8。折成二面角A-BD-C为120的四面体ABCD ,则此四面体的外接球表面积为28万解：如图.取见）的中点和的外接圆半径为q=G = 2. MBD和A（7）的外心仪,。二到弦的距离（弦心距）为4:出=1 ,法一：四边形。口欣2的外接圆直径OM = 2, < ="，5 = 2防；法二：0a =5 r = 4i ； 法三：作出的外接圆直径（迈，则4W=r“ = 3, CE = 4 , ME = ,AE昉，AC = 36,c°sy=z&

24、#177;it2-V7-42V7sin ZAEC =里 2"2人焉而= * = 2后,心" 2yfl(5)在四棱锥,4 W 中，ZPJ = 120 Z/DC = 150 , 4D = BD = 2. CD = VJ, 二面角j-M-C的平面角的大小为120 ,则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，4/，= 2石，4=2,弦心距仪时二6，#1 = 75,八=715,弦心距01必二24，法一：/. R2 = OD2 = MD2 4- OM2 = 29 , R 二回、，噎二一;法二：O()l=()M2-O2M2=25 , :. R2=O

25、D2=r；+O()i=29 , R = yjf29 ,116、场类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设：如图7,乙4PB = NACB = 90 ,求三棱锥，-N8C'外接球半径（分析：取公 共的斜边的中点。，连接OP、"，则。4 =（阴= = =。为三棱锥-力以'外接球球心，然后在仪'中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得 三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形力以中，AB = 4, 8（7 = 3,沿4?将矩形48CQ折成一个直二面角/,则四面体力以7）的外接球的体积

26、为（）a 125八 125- 125C 125A.nB.nC.itD.k12963解：2& = =5, r=-9=-,选c23386（2）在矩形力"7）中，" = 2, " = 3,沿8。将矩形力*7）折叠，连接力（',所 得三棱推A - BCD的外接球的表面积为.解：用）的中点是球心"，2R = BD =屈、8 = 4成'=13”.类型八、锥体的内切球问题L题设：如图8-1,三棱锥-力坎,上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心;第二步：求P（） = PH r, /）是侧面MH"

27、;的高; 3第三步：由A/W 相似于建立等式： 器二卷2 .髭设：如图82,四棱锥P力/4是正四棱锥，求其内切球 的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线:第二步：求卜，=!（'，PO = PH/斗是侧面MC/）的2第三步：由APOG相似于A/7H,建立等式：要二二Hb rr解出3 .题设：三棱锥-力伙是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步：设内切球的半径为，建立等式：ABC = Z J第三步:解出七I'P ABC = O ABC + PAB + ' O PAC + ' O PBC例8 （I）梭长为。的正四面体的内切球表面积是解：设正四面体内切球的半径为，将正四面体放入棱长为a72的正方体中（即补形为正方体），如图，则王方体二三运二证,P U4I C / 1百2 后2X*-, c=4 jAr = 4 -.a .r = ar,r = -, r = 3，.内切球的表面积为36%<22V62鼠=42=竺（注：还有别的方法，此略）6正四棱锥S-川版'。的底面边长为2,侧棱长为3,则其内切球的半径为471 + 2