中小学数学教材教法教材部分

1、第十章 中小学数学课程内容研究第一节 义务教育阶段数与代数内容研究    数与代数作为义务教育阶段最基本、最主要的课程之一，它的思想与方法对于学生理解数学的意义、进而发展问题解决的能力以及形成正确、完整的数学观具有十分重要的作用，因此，数学课程标准数与代数这一部分紧扣从实际问题出发，探索事物之间的关系、变化规律，从而把研究对象一般化、或建立数学模型，即把实际问题数学化的过程，以及解释、应用和反思数学模型的过程。同时，强调为每个学生创造学习机会，使学生获得运用代数的思想和方法认识和解决问题的能力、推理证明的能力、数学表示与交流的能力，进而不断丰富自己的数学

2、认识和感受。    鉴于课程标准将义务教育阶段划分为三个学段，其中，第一学段（1-3年级）、第二学段（4-6年级）属于通常所说的小学阶段，而第三学段（7-9年级）属于通常所说的初中阶段。下面我们仍按照小学、初中两个阶段分别分析义务教育阶段数与代数课程内容的特点。一、小学数与代数课程内容的特点（一）第一学段    第一学段的学生，其思维的特点往往是具体形象的，其认识事物的方式往往是具体的、局部的，其认识的途径主要是通过对实物和具体数学对象（数、图形等）的观察、操作、归纳、类比等活动，获得具体的结论。同时，他们具有一定

3、的生活经验，比较关注自己周围有趣的事物。    正因为如此，第一学段数与代数领域设置了如下内容：万以内的数，简单的分数和小数，常见的量，感受数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索简单的数量关系。    从课程内容特点上说，本学段的数与代数比较重视数字的现实意义，强调紧密联系学生身边具体、有趣的事物，使学生体会数字用来表示和交流的作用；注重使学生通过观察、操作、解决问题等丰富的活动初步建立数感；重视口算，加强估算，提倡算法多样化。同时，强调减少单纯技能性训练，避免繁杂计算、程式化的叙述“算理”和人为的非本质术语。 1

4、. 数的认识    技术的发展和信息社会的到来，使得人们面对越来越多的数字。通过对数的认识的学习，将帮助学生理解数字所表达的信息，发展学生运用数字进行表示、计算和交流的能力，发展学生的对数感。    第一学段数的认识是小学生系统学习数学的启蒙阶段。其课程内容在课程标准上表述为6条，现将其归结为三类：    第一类是，万以内的整数、简单的分数与小数的认识；    第二类是，等号=、不等号<、>的认识及其语言表示； &

5、#160;  第三类是，数的标示、分析与交流。    下面，我们逐一分析。    （1）万以内的整数、简单的分数与小数的认识。首先是，“能认、读、写万以内的数，会用序数表示生活中某些事物的顺序和位置”。认识万以内的数是小学数学最基础的内容，也是每个小学生必须掌握的最起码的数学知识。在课程设计、教学编排时，一般按照“20以内数的认识”“百以内数的认识” “万以内数的认识”三个步骤跨越而至三个年级段，其中，“20以内”的认数、读数、写数是关键。    其次是，

6、“能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义”。    由于我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。    再次是分数、小数的要求，即“能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数” 。    分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与整数相比，分数、小数的学习要困难地多，分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，

7、都与自然数有较大差异。在这里，分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数、意义，能认识小数，能够认、读、写小数和简单的分数。    （2）等号=、不等号<、>的认识及其语言表示。    即“认识符号 >, <, = 的含义，能够用符号和词语描述万以内数的大小”。如，在50,98,38,10,51中，50比38大一些、比51小一些、比10大得多、比98小得多（大约是98的一半）；用>或<表示上列数的大小关系。    这是学生首

8、次接触不等关系及其符号表示，虽然这里仅仅局限在数的序的关系上。    （3）数的表示、分析与交流，以及数感、估算意识的培养。首先表现在，“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。能认、读、写小数和简单的分数”。如，请你说出与日常生活密切相关的一些数及其作用。（如学号、班级号、鞋号、体重等）    这是加强“数”的应用意识和交流意识的具体体现，其实，只有在交流和应用过程中，才能更深刻地理解数的意义，逐步建立数感。    其次，表现在对“数感”和估算的要求，即“结合现实素材

9、，感受大数目，并能进行估计”。如，估计一张报纸一页的字数。（可以将一张报纸折成若干等份，通过其中一份的字数来估计整页的字数）     这是以往的数学课程内容所忽略的，设置这些内容的一个基本出发点在于培养学生的估算意识，落实数感的形成和培养。 2. 数的运算    在第一学段，数的运算的主要内容在课程标准上表述为7条目标。从具体的知识技能方面说，我们可以将其概括为四类内容：    第一类是，认识四则运算的意义；    第二类是简单的整数加

10、减法以乘除法；    第三类是简单的分数、小数加减运算；    第四类是，运用数的运算解决简单的实际问题，以及估算意识培养。    下面，我们分别加以分析。    （1）认识四则运算的意义。    即“结合具体情境，体会四则运算的意义”。其实，四则运算是小学数学最基本的指示，四则运算主要包括加法、减法、乘法、除法，在小学阶段，虽然这四个运算的表述十分直观，但是，对初学数学的低年级学生来说，依然是比

11、较困难的，必须结合他们的生活经验和具体的问题情境，在学生已有的生活经历基础上，才能逐步抽象出来。    （2）简单的整数加减法以乘除法。    首先是，“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法”。具体来说，这里包含20以内的加减法，表内乘除法和口算百以内的加减法等三项内容。在这里，20以内的加减法和表内乘除法是学习数的运算的前提和基础，熟练地口算是影响学生计算速度的关键，而熟练地口算的前提是理解算理，因此，理解算理就成为达到奔向目标的关键所在。    

12、其次是，“能正确计算三位数的加减法、一位数成三位数、两位数乘两位数的乘法、三位数除以一位数的除法”。    如果说上一条要求是小学一、二年级教学的重点，那么，这项要求则是三年级教学的重点，其中，两位数乘两位数的乘法以及三位数除以一位数的除法，是学生学习中的困难所在，    （3）简单的分数、小数加减运算。    即“会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算”。在这里，分数、小数的运算是小学分数、小数运算的初步，主要涉及同分母分数（分母小于10）的加减运

13、算以及货币单位以圆为标价的小数加减运算，其主要的意图在于，初步认识小数、分数，为第二学段进一步学习打下坚实的基础。    （4）运用数的运算解决简单的实际问题，以及估算意识培养。    其具体的含义，首先表现在，“经历与他人交流各自算法的过程”。 这项目标实际上是对学生参与数学学习的情感态度提出的要求，是情感态度价值观目标的具体化。    其次表现为，“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”。在这里，其主要目的之一在于体现算法多样化。 

14、0;   以上两项目标实际上在具体落实第一学段“解决问题”和“数学思考”目标中的相关条文，如，“了解同一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初步学会表达解决问题的大致过程和结果”。    再次表现为，“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”。如，每条小船限乘4人，17人需要租几条船？     学生在接触这个问题时，利用估算，马上可以得出：4×4=16,4×5=20,需要租5条船。    其实，估算与学生的

15、数学思维活动紧密相连，估算与精算共同组成运算能力，学生在估算时，时常涉及合情推理和逻辑运算，涉及运算结果范围的估计以及灵活运算等，这些内容大大超过了传统的计算能力的要求。3、常见的量    量是现实生活中经常用到的。学生在生活中已经接触了大量生活中的量，这项目标的核心在于，把学生日常生活中的一些经验概念转化为科学的量的概念，并用一些有效的方法解决生活中的一些常见的简单问题。    在第一学段，对常见的量的课程要求可以分为四类：    第一类是人民币单位及其相互关系； 

16、;   第二类是时间单位；    第三类是质量单位；    第四类是几种常见计量单位的应用。    下面分别加以分析：    （1）认识人民币单位。即“在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系”。    在第一学段，人民币单位元、角、分，只要求学习元、角、分的认识及其十进制关系，涉及元、角、分的加减计算，以及直观的简易练习。   

17、; （2）认识常见的时间单位，包括两个方面：    一方面，“能认钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短”。如，估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。    另一方面，在于“认识年、月、日，了解它们之间的关系”。    在这里，时间单位是比较抽象的单位，单位之间的进率、换算也比较复杂，其中的重点内容在于，认识钟表，能正确读出钟表上的时刻，认识年、月、日，而其中的难点在于，理解24时计时法及时间计算，以及闰年的判断。

18、0;   （3）认识质量单位，即“在具体生活情境中，感受某些物体的质量，认识克、千克、吨，并能进行简单的换算”。如，一本200页的课本大约有多少克?一千克鸡蛋大约多少个？     克、千克、吨是国际计量单位，也是我国法定的公制质量单位。作为小学对克、千克、吨的第一阶段学习，其重点在于，使学生初步建立质量的概念，初步建立对生活中的常见物体质量的估计意识。    （4）运用常见的计量单位解决简单的问题。即“结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题”。这一部分的目的在于，培养学生活学活用、

19、在生活中学习、在学习中实践的学习习惯，逐步形成良好的数学应用能力。4、探索规律    即，发现给定的事物中隐含的简单规律。如，    在下列横线上填上合适的图形或数字，并说明理由：，_； 1, 1, 2, 1, 1, 2, _, _, _。    之所以独立设置探索规律这部分内容，也是由于数学的特性所决定的，数学本来就是研究模式和规律的科学，使学生逐步养成从数学的角度主动探索身边的事物之间的关系及变化规律，并用适当的数学关系时表达出来，这是“数学思考”的重要表现，也

20、是以往小学数学所缺乏的内容。（二）第二学段    随着认识水平的发展和生活经验的丰富，进入小学四年级的学生对有现实背景的数学更感兴趣。在此基础上，学生将进一步学习整数、分数和小数，初步了解负数，初步接触方程和成比例的量，开始借助计算器进行计算和探索，更多地认识现实世界的数量关系，同时获得解决现实生活中简单问题的能力。1. 数的认识    这一部分主要是对第一学段数的认识的进一步发展。主要包括如下类内容：    第一类是，小数、分数、百分数及其关系的进一步学习； &#

21、160;  第二类是，万、亿等大数的认识及其负数的认识；    第三类是，自然数整除的一些初步知识；    第四类是，数及其表示在生活中的应用。    （1）小数、分数、百分数及其关系的进一步学习    这是小学分数学习的第二阶段，重点在于学习小数的意义、分数、小数的计数单位、性质等知识。其具体的课程内容:    首先表现为，“进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和

22、百分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化为分数）” 。    在这里，既涉及小数的意义、小数的性质、小数大小的比较、小数点位置的移动引起小数大小的变化，以及分数的意义、分数的性质、分数的大小比较等内容，也包括小数、分数和百分数之间的数学规律的探索。值得注意的是，分数具有丰富的含义，如，分数有多层含义，一是作为有理数出现的一种数，它可以与自然数一样参与运算，另一个是以比的形式出现的数。后者是小学分数的重点，一个真分数代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。其次，包含“会比较小数、分数和百分数的大小”。比较小数、分数和百分数的大小，

23、是在整数大小基础上发展起来的，其目的在于，使学生进一步认识数值大小的实际意义。在这里，分数的大小比较是难点。    （2）万、亿等大数的认识及其负数的认识    这里主要有三层含义：    首先，“在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数”。这是小学生在小学阶段认识整数的最后一个阶段。其要旨在于，通过生活中各种恰当的问题情境，让学生体验这些较大数目的实际意义。其中的难点在于，会用“万”、“亿”为单位表示大数。  &#

24、160; 其次，“结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计”。如，通过多种方式认识“100万”：100万次的心脏跳动相当于一个正常人多少天的心脏跳动？多大年龄的人能活100万小时？多大的操场能容纳100万人？    在这里，“大数”实际上是指“万”以上的数。由于学生在生活中不常接触这些数，理解其实际意义就变得比较困难，创设恰当的问题情境就成为这项目标实现的关键。    再次，“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”。如，用负数表示零下5度、地下1层。  

25、  引入负数，是20世纪90年代以来我国小学数学课程内容的一个突破点，在此之前，小学数学的数系尚在“非负有理数”，让小学生接触负数初步，对于完善小学生的数学认知结构有帮助，同时，这也是负数内容在义务教育阶段“螺旋式上升、多次出现、多次反复”的具体体现。    （3）自然数整除的一些初步知识    这是关于数的整除的指示，属于“数论初步”的一些基本概念。对此，主要包括三个方面的要求：    首先是，“在1100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，

26、并知道2，3，5的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”。    其次是，“在1100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数”。    再次是，“知道整数、奇数、偶数、质数、合数”。    作为自然数理论的基础，这一部分内容的重点在于，认识倍数、公倍数和最小公倍数，认识因数，发现整数、奇数、偶数、质数、合数的结构特征。    （4）数及其表示在生活中的应用。即“进一步体会数在日常

27、生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流”。    这一条目标实际上是进一步渗透数的应用意识和交流意识，是第一学段数的初步应用的进一步发展。当然，此目标的实施宜结合多位数的认识和计算进行。同时，这也是为将来发展为“用字母表示数”奠定基础。如，研究身份证号码、邮政编码等的编排规律，为你所在学校的每位学生设计一个学籍号码。    再如，目前，全国许多省市的天气预报往往同时预报空气质量指数，请研究其中的一些规律，并设法用“5、4、3、2、1”来表示空气质量的状况。2. 数的运算   &#

28、160;这是2001年课程标准变化较大的一部分内容。其中，对四则运算与四则混合运算的要求，不论是运算数目的大小，还是运算步骤的多少，与以往的教学大纲的要求相比，都有不同程度的降低。    就其内容来说，可以概括为如下几类：    第一类，整数的乘除及其四则混合运算；    第二类，运算律及估算；    第三类，分数、小数的四则运算；    第四类，解决简单的实际问题。  

29、60; 下面分别加以分析。    （1）整数的乘除及其四则混合运算。    其详细的内容包括三层含义：    首先，“会口算百以内的一位数乘、除两位数”。这是在第一学段一位数乘以、除以两位数的基础上提出的进一步要求。在这里，口算是笔算的基础，百以内的加减乘除运算是多位数四则运算。    其次，“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法”。这项目标实际上是第一学段两位数乘以两位数、三位数除一位数的进一步发展，其中的重点

30、在于理解算理，学生接受比较困难的是三位数除以两位数的除法。    再次，“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”。这是小学阶段首次提出整数的四则混合运算，因而，掌握四则混合运算得算理就成为重点，而理解运算的顺序就成为学生的学习困难之所在。    （2）运算律及估算。其内涵，一方面在于，“探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算”。小学数学中的运算律主要有，加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律。掌握这些运算律，是小学运算能力发展的基本前提和保障。这里

31、的学习重点在于探索运算律，并逐步掌握应用运算律简化运算、提高运算速度的一些基本要领，而如何使学生做到这一点，正是教学的难点。    另一方面是指，“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。这是第一学段估算要求的进一步发展，不仅对估算的方法提出了要求，而且有估算习惯养成的问题。对此，可以结合具体的典型事例，加以分析。如，298÷31的结果大约是多少？可以这样理解：298可以近似看成300，31近似看成30，300除以30等于10，298÷31的结果大约是10。    +的结

32、果比1大吗？可以这样分析：比大，而等于，+等于1，所以，+的结果确实比1大。（3）分数、小数的四则运算。即“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）”。这里实际上涉及到小数的加减法、小数的乘除法、分数的加减法、分数的乘除法、小数四则混合运算、分数四则混合运算，以及分数与小数的四则混合运算。    （4）分数、小数的四则运算。即“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）”。这里实际上涉及到小数的加减法、小数的乘除法、分数的加减法、分数的乘除法、小数四

33、则混合运算、分数四则混合运算，以及分数与小数的四则混合运算。    （5）解决简单的实际问题。    所谓解决简单的实际问题，首先是指，“会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题”。这是将数的运算与解决简单的实际问题结合起来的具体表现。当学生对小数、分数和百分数的运算法则初步形成时，在实际问题之中应用小数、分数和百分数解决简单问题，也是强化认识、加深理解的必然。    其次，是指“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系” 。这里的知识实际上涉及两

34、点，一是加法与减法的互逆关系，二是乘法与除法的互逆关系，其中的要害在于“具体运算”和“实际问题”，只有将二者融入同一个过程中，才能体会出两种运算的互逆关系。    再次，是指“能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律”。这里的重点在于掌握计算器的运算方法，而学习的知识基础是，多位数的运算、分数、小数运算。如，任意给定四个互不相同的数字，将它们组成的最大数减去最小数，并对组成运算结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么呢？(利用计算器)    最后，“在解决具体问题的过程中，有估算的习惯”

35、。如，估测一粒黄豆的质量。    （可以通过称100粒黄豆的质量进行估测，也可通过数0。5千克黄豆的粒数进行估测）。3. 式与方程    引入简单的代数式与一元一次方程，是20世纪90年代以来我国小学数学课程内容的又一个较大突破点。当然，小学的式尚处在简单的代数式，一元一次方程也是形如3x+2=5,2x-x=3类型的简单一元一次方程，这也是小学生数学认知规律所决定的，从具体的数过渡到含有字母的解析式，人类毕竟经历了漫长的历程，同时，这块内容在第三学段还将系统学习，这里仅仅是渗透而已。  

36、0; 就其课程而言，这里实际上涉及字母表示、等式和方程三个核心术语，其课程要求是：    （1）“在具体情境中会用字母表示数”。这是字母表示数的初始阶段。如，汽车每小时行驶60千米，行驶了a小时，共行程多少千米？(60a)（2）“会用方程表示简单情境中的等量关系”。这是体现方程的模型思想的具体表现，其中的关键还是在于寻找等量关系。    （3）“理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程”。这里实际上仅仅涉及形如ax±b=c，ax±bx=c简单的方程（a>0，b0，c0），如2x

37、-5=3,3x+x=16。    从课程编排的螺旋式上升的角度看，式与方程的这种编排实际上是义务教育阶段代数式、方程的第一个循环。4. 正比例、反比例    作为反映数量关系的课程内容，比例是深化学生对数学量的认识的必不可少的素材。这里实际上提出了三个方面的要求，一是理解实际情境中的按比例分配，并能解决简单的实际问题，二是认识生活中的成正比例、反比例的量，三是能将正比例的两个量的数据描绘成直线图像，并能估算其中一个量的值。     （1）“在实际情境中理解什么是按比例分配，并

38、能解决简单的问题”。其中，在实际情境中理解按比例分配的概念，并能掌握按比例分配问题的解答方法，是学习的重点，按照各部分之间的比，说出各部分量和总量之间的关系，则是学习的难点。     （2）“通过具体问题认识成正比例、反比例的量”。如，按照中小学班级人数的标准编制，每个班级以40-50人为宜，如果每个班级按50人计算，希望小学一年级今年暑假计划招收新生12个班，那么，合计计划招收多少新生？如果每班按照60人计算呢？    再如，元旦晚会需要用小彩灯线装饰教室，彩灯线每米售价14元，购买2米、3米、彩灯线各要多少钱？

39、    填一填：长度/米01234567价钱/元04       把上表中长度和价钱所对应的点描在坐标纸上，再顺次连接起来，并回答下列问题：    a.所描的点是否在一条直线上？    b.估计一下买2。5米的彩带大约要花多少元？    c.四年级一班买的彩灯线的长度是四年级二班的2倍，一班所花的钱是二班的几倍？（3）“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸

40、上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”。适当渗透函数思想并设法让学生初步感受，是把握这条目标的重要内容。    （4）能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。如，1200万元资金，准备平均投资到西部开发的若干个项目，每个项目获得的资金数与项目数量之间的关系如下表：资金数/（万元）102030405060项目数/（个）1206040302220根据上表，在坐标纸上顺次连接各点。    看图填空：    a.项目数越大，每个项目获得的资金数越（ ）; 

41、;   b.项目数越小，每个项目获得的资金数越（ ）;    c.如果投资到24个项目，大约每个项目将获得（ ）资金;    d.如果每个项目获得120万元资金，那么，项目数量必须达到（ ）个。    值得关注的是，这里决不是中学正比例函数y=kx和反比例函数内容的简单下放，而是函数思想的渗透，函数内容的第一次循环。在这里，“实际情境”、“具体问题”、“生活中”是三个要害。5. 探索规律    加强探索事物

42、的数量关系或变化规律是义务教育阶段各个学段的整体要求。其中，对第二学段的要求是“探求给定事物中隐含的规律或变化趋势”。如，由于工种和工作强度的不同，自三月份第一天开始，爸爸每隔天休息一天，妈妈每隔天休息一天。爸爸、妈妈哪些日子同一天休息?    解决这个问题，学生可以有多种方法。如，用A表示上班，B表示休息。则按照题意可以将爸爸、妈妈的作息情况分别表示如下：    A A A B A A A B A A A B A A A B A A A B A A A B A A A B A A A B   

43、  A A A B    A A A A A B A A A A A B A A A A A B A A A A A B A A A A A B A A     A A A B    从而找出第12天是第一个共同的休息天，以后每隔11天，有一个共同的休息日。学生也可以从整数整除的角度加以分析：如果把第一天记作序号1，以后每一天都按照自然数编好序号，那么，爸爸的休息日是序号为4，8，12，16，20，的日子，即序号被4整除的日子；妈妈休息日的序号为6，12，

44、18，24，30，36，。于是，爸爸、妈妈共同的休息日的序号为4和6的公倍数，即12，24，36，即每隔11天，有一个共同的休息日。    值得一提的是，在这里，要求学生能够发现给定事物中蕴含的规律，但并没有（也不可能让若有的学生都达到）用字母或关系式表示出这些规律，而后者将在第三学段（初中）继续学习的内容，这里的学习既是提高数学思维水平、学习数学分析、思考的要求，也是为将来的学习做好铺垫。二、初中数与代数课程内容的特点（一）初中数与代数课程的价值取向及课程内容的基本结构1价值取向    作为义务教育阶段最基本、最

45、主要的课程内容之一，初中阶段的数与代数课程内容，对于发展学生的数感、符号感和抽象思维，促进学生在数学上的全面发展，具有其它内容不可替代的作用；同时，数与代数的思想与方法对于学生理解数学的意义、进而发展问题解决的能力以及形成正确、完整的数学观具有十分重要的作用。2内容特点    初中“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。    就具体内容而言，初中数与代数涉及实数、整式和分式、方程和方程组、不

46、等式和不等式组、函数等知识，数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律的探索，一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具等内容。期望通过学习，发展学生的符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。（二）初中数与代数课程内容的主要特点    数与代数领域的内容包括数与式、方程与不等式和函数，它们都是研究现实世界数量关系和运动、变化规律的数学模型。1重视数字的现实意义以及对数字的感受，体会数字用来表示和交流的作用。    通过探索丰富的问题情景发展代数运算的意义，在保持基

47、本笔算训练的前提下，强调能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法，加强估算，引进计算器，鼓励算法多样化；淡化繁杂的数字计算(如淡化二次根式的运算)，适当弱化恒等变形(如多项式计算，乘法公式，因式分解)，适当削弱二次函数的极值问题，无理方程、可化为一元二次方程的分式方程等内容不作要求。    应当看到，寻找问题的精确解是重要的，寻找具有某一精确度的近似解也同样是重要的。基于这一认识，“数与代数”重视寻求具有某一精确度的近似解，强调估算的重要性。通过估算和求近似解，使学生形成和发展数的意识，特别是获得对大数和小数的感受；同时也十分强调用图解法求代数

48、问题的近似解。例如，一次水灾大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续一个月。请推算：大约需要准备多少顶帐篷？多少吨粮食？（假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个人平均一天需要0.5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食）2通过探索丰富的问题情景，通过数学活动、数学实验，使学生获得数感、符号感，体会数字和符号用来进行表示及交流的作用，并感受数学与现实世界、数学与自然和人类社会的密切联系。    对于应用问题，强调现实性、趣味性和可探索性，题材呈现形式多样化(表格、图形、漫画、对话、文字等)；强调对信息材料的选择与判断(信息多余、信

49、息不足)；解决问题策略多样化，问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。例如，结合自己的生活经验，对代数式3a+1作出解释。学生可以这样说，用100元买了价格相同的三个茶杯，剩1元钱，每个茶杯的价格是a元，那么，3a+1可以解释为：这是三个价格相同的茶杯的总价格与1元钱的和，它等于100元。3突出代数的思维特征，强化符号表示极其转换。    课程标准认为，数学对象的多重表示及表示之间的转换，是“数与代数”学习的核心，通过问题的符号表示、表格表示、图像表示和语言表示，使学生初步体会数学可以发现、描述、分析客观世界中多种多样的模式，从多个角度

50、获得对数学概念和数学过程的感受和认识，把握事物的变化和事物间的关系，初步发展学生的符号意识，学会用符号表达现实问题中的一些基本关系，会初步进行符号运算。例如，用图形计算器（或其他辅助手段），探索二次的参数的变化对图像的影响，以及图像变化对参数的影响。4课程标准下的“数与代数”强调选择实际性、趣味性、探索性强的应用问题，强调对信息材料的选择和判断，强调解决问题策略的多样化，强调实际问题数学化的过程,强调培养和发展学生的数学应用意识及数学应用能力，使学生初步体会数学可以帮助人们发现、描述、分析客观世界中多种多样的模式，把握事物的变化和事物间的关系。    在

51、课程标准下，方程和函数是刻画现实世界，有效地表示、处理、交流和传递信息的强有力工具，是探究事物发展规律，预测事物发展的重要手段。课程标准重视对简单现实问题的建模过程，主张让学生学会选择有效的符号运算程序和方法解决问题，重视近似解法特别是图像解法。5课程标准把现代技术手段（计算机、计算器）的运用作为教与学必不可少的辅助手段，并认为现代技术的运用不仅改变教数学、学数学、用数学的方式，还必将引起对学校数学的重新认识，引起课程观、教学观等深层次的变化。    事实上，课程标准对计算器、计算机的基本定位是，帮助学生从繁杂的计算中挣脱出来、解放出来，使得学生有更多的

52、时间和精力投入到具有探索性和挑战性的问题研究之中。例如，用计算器探索开平方的规律-任意在计算器上输入一个不等于0且大于1的正数，如2，连续不断地进行开平方运算，观察所得的结果有什么规律？你能解释其中的道理吗？    如果更换为其它的不等于0且大于1的数，是否也有类似的规律？    如果更换为其它的不等于0且小于1的正数，是否也有类似的规律？    （屏幕上显示的结果呈现这样的规律-如果输入的数字a是大于1的数，那么，屏幕上显示的数值逐渐减小，越来越接近于1，但不等于1，当超过

53、计算器的精确度时，屏幕上显示出1；如果输入的数字a是小于1的正数，那么，屏幕上显示的数值逐渐增大，越来越接近于1，但不等于1，当超过计算器的精确度时，屏幕上显示出1；表示屏幕上显示的结果，随着开方次数n的增加，的指数在不断减少，其值视a小于1（大于1）而不断增加（减少），但当开方次数n充分大时，充分小，越来越接近0，的值也越来越接近1）6强调代数推理    课程标准认为，推理与证明是重要的数学内容之一，通过“数与代数”的学习，使学生得到推理与证明的训练，并逐步理解数学思维的特点、体会证明的意义。这是课程标准“数与代数”区别于教学大纲“代数”的又一特点。例

54、如：    下表是某月的月历：讨论如下问题：一二三四五六七   123456789101112131415161718192021222324252627282930  你能从日历中发现有趣的结论吗？    让我们来观察阴影部分的四个数，你注意到这四个数的特点了吗？你是否比较了对角线上两个数的乘积？    如果对角线上两个数的乘积分别是65和72，那末这四个数分别是多少？    试找出适

55、合所有这样四个数的规律。你认为这个规律适合任意一个月吗？证明你的结论。    如果在表中任选3行、3列的9个数，你能发现其中的某些规律吗（如，这9个数的和有什么规律）？（如，最后一个问题的参考答案是：如方框中9个数的和是144，如果我们用a表示方框中间的数，则方框中的数可以表示为图示中的关系。很显然，这9个数的和等于9a。因此我们判断任意一个这样方框中的9个数的和都是中间数的9倍。而且，该规律适用于任意一个月的日历。）a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+87强调代数的表达与交流功能    代数是一种语言

56、，是表示与交流的手段。既然是一种语言，代数不可避免地就要有它的语法规则。同时代数也是一种问题解决的工具。既然是一种工具，学生不可避免地就要经历语法操练形式演算的过程，以达到运用代数这一工具进行问题解决的目的。但是数与代数认为应通过探索丰富的问题情境理解运算的含义，在保持基本笔算训练的前提下，能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法，强烈主张淡化繁杂的数与式的计算、淡化恒等变形，并把带分数运算、根式计算、无理方程列为基本要求之外。第二节 义务教育阶段空间与图形课程内容研究    作为课程标准的四个领域之一，“空间与图形”是在传统意义上的几何内容基

57、础上发展起来的，它主要研究现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。一、义务教育阶段空间与图形课程内容的整体特点    新理念下义务教育几何课程，既不是典型的直观几何、实验几何，也不是以往的综合几何，而应该广泛吸收直观几何、实验几何的特点，采取分段设计的课程风格，即，直观几何、实验几何与综合几何（以论证为主）分段处理，有所侧重：    首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案。即，首先在小学出现直观几何，先让学生对几何图形及

58、其性质形成直观感受，然后向初中的实验几何过渡，也就是让学生自己动手操作，拼拼、画画、剪剪，结合小学讲的几何初步得到新的结论、性质，再用这些简单的图形性质进行简单的逻辑推理，做到言必有据。而后，在此基础上再进行论证几何。以直线形为例，先借助直观认识一个直线形，进而借助多种手段合乎情理地发现它的某些几何性质，接着通过演绎推理把这个性质搞定。看上去，强化了直观和实验，弱化了推理，事实上，这里的直观和推理二者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。显然，这是让直观几何和推理几何并重,把发现和证明绑在一起，与传统的综合几何课程体系确有不同。    与以往的综

59、合几何课程设计风格相比，课程标准下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆（包括圆与直线之间的关系）的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。    新理念下义务教育阶段空间与图形课程内容的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直

60、观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。    小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何，而不是以往习惯的单纯几何计算。初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。二、 小学空间与图形课程内容的特点  

61、0; 小学空间与图形课程内容主要包括，图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置。与以往的“几何初步”相比，这些内容是从四个不同的角度，分别展示人们认识和描述生活空间并进行交流的重要工具，而不是局限在从综合几何的视角介绍几何初步的基本知识。    下面，我们结合小学两个学段的不同特点，具体分析小学空间与图形的课程内容。（一）第一学段    在小学第一学段，学生是小学1-3年级的学生，学龄均在0-3年。他们的思维基本处于形象、直观阶段，学前期间的经历和儿时的活动经验成为他们进行空间与图形学习的重要基础。

62、60;   在这一学段，学生将认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。    就课程内容的结构来说，这些课程内容实际上包括认识简单图形，学习量与测量，初步地直观感知几何变换，认识位置等四块内容。1. 简单图形的认识    主要内容有，辨认简单的几何体以及平面图形，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，会运用平面图形的学具进行拼图等。    （1）简单立体图形的认

63、识。    这项目标包括三层含义：    首先，“通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱、圆锥以及球等立体图形”。    在生活中，人们最先感知的是三维世界，常常需要描述事物的形状、大小，并用恰当的方式表述事物之间的关系。因此，让学生在观察实物和模型来辨认立体图形是“空间与图形”学习的开始。同时，让学生在观察立体图形中认识图形特征，也是2001年课程标准强化的内容之一。在这里，实际上是主要通过对学生生活中常见实物和模型的观察，初步认识立体图形，感受立体图形有各种不同的特征。&

64、#160;   其次包括“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”。    从不同角度观察同一物体，是课程标准新增加的内容，也是注重从学生生活经验中形成空间观念的举措之一。让学生体会到站在不同的位置看物体，看到的形状可能并不完全相同。这与学生的生活经验是一致的。这一活动过程中，涉及学生的空间想象和对几何图形的记忆，这是发展学生空间观念的重要基础。本目标是学生通过不同角度的观察，能说出简单物体的大致形状。因此，实施的重点是让每个学生有观察的机会，只有在他们的亲身观察中，才会体会到：同一物体在不同角度看到的图形形状是不同的

65、。    再次，包括“能对简单几何体进行分类”。分类思想方法是重要的数学思想方法之一，分类思想方法可以培养和提高学生的概括能力，也是解决问题的重要方法。通过对简单几何体的分类，进一步认识简单几何体的本质特征。    （2）封闭的简单平面图形的认识。    在这里，主要涉及简单的多边形、圆等简单平面图形。    首先，是“辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单平面图形”。    长方形、正

66、方形、三角形、平行四边形、圆等是最基本的平面图形。认识这些基本图形是学生进一步学习的基础，也是学生从实物立体图中逐步过渡到抽象的平面图形的过程。本目标的重点是辨认，即能用学生自己的语言，叙述对平面图形的感受，能说出这些图形的不同特征。    其次是，“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”。允许学生用自己的语言把观察、操作中探索的体验表达出来是把学生作为“学习的主人”的体现，也是逐步发展学生数学语言的过程。本目标实施的重点是尽可能地为学生提供观察、操作的机会，并能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，而不是简单地、机械地让学生模仿教师和

67、书本上的语言。    再次是，“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”。用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图，是课程标准新增加的内容，这是从儿童“拼图”游戏中迁移过来的学习内容。增加这一部分内容，就是为了向学生提供几何直觉的学习素材。通过学生的拼图活动，进一步认识长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆的特征。本目标实施重点是让学生独立操作拼图，难点是对所拼的图形进行想象。    （3）角的认识。    即“结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角”。

68、60;   重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系，是课程标准理念之一，“结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角”是以学生生活情境为背景，从中概括出角的特征，不需要用严密的概念定义来描述，是以学生体验的感受进行描述。2. 测量    主要内容有：测量物体的长度和面积，估计物体的长度和面积，探索长方形、正方形的周长和面积的计算方法，认识常用的长度单位和面积单位。    主要包括如下三类要求：    （1）物体长度和面积的度量与估计。 

69、;   首先包括“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，在测量过程中，体会建立统一度量单位的重要性”。    强调对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验，是课程标准测量具体目标的一个特点。这里所指的“经历”是指在课堂教学中每个学生都参与测量物体长度的活动，并且测量的方法是多样的，学生在测量和交流活动中，逐步体会到建立统一度量单位的重要性。    其次包括“能估计一些物体的长度，并进行测量”。    在生活中，我们常常需要大体地估计一

70、些物体的长度，能否具备这种估测能力，反映出一个人的数学素养和生活技能，培养学生估计一些物体长度的能力，实际上就是发展他们的空间观念。    本目标的进行测量有两层含义：一是对估计的结果进行检验，二是掌握测量的方法。    具体表现为以下两个特点。    一是把某些计量单位的认识、图形的周长面积等计算同测量结合起来，在测量的过程中感受建立计量单位的需要，探索计算周长与面积的方法。在第一学段提出“结合生活实际，经历用不同的方法测量物体长度的过程；在测量活动中，体会建立统一度量单位

71、的重要性”。“指出并能测量具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式”。“能用自选单位测量图形的面积，体会并认识面积单位”。这里把测量同学习周长和面积结合起来，学生在学习周长和面积时，不是单纯地记住计量单位，运用计量单位进行计算，而是在测量物体的过程中，感受到运用统一的计量单位的需要。    二是要求学生进行实际物体的测量活动，从中感受测量的过程和解决问题的思路。标准在两个学段都提出测量物体的要求。第一学段提出“能估计一些物体的长度，并进行测量”。第二学段提出“能用方格纸估计不规则图形的面积”，“探索某些实物体积的测量方法”。人们在日常生活中经常会遇到测量物体或图形的大小，这些物体或图形往往是不规