九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用教案(新版)湘教版

1、4. 4解直角三角形的应用第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.教学过程一、情景导入，初步认知海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A岛南 偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西 25°的C处，之后，货轮继续往 东航行，你认为货轮继续向东

2、航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题 中的应用.二、思考探究，获取新知1 .某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地一一海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，ACL BD垂足为点 C先测量出 海拔AE再测出仰角/ BAC然后用锐角三角函数的知识就可以求出A B之间的水平距离 AC【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角.线 T-

3、 水2 .如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25。，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m）解：在 RtABC中，/ BAC= 25° , AC= 1000m,因此 tan25BC BCAC 1000BC= 1000X tan25 ° 466.3（m）,，上海东方明珠塔的高度 （乡勺）为466.3 + 1.7 =468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学 会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1 .如图，某飞机于空中平面控制点B的俯角a

4、=16（精确到1米）31',求飞机 A到控制点B的距离.A处探测到目标 C此时飞彳T高度 AC= 1200米，从飞机上看地16分析：利用正弦可求.角的在 RtAABC sinACB= ABAB=ACsin B12000.28434221（米）答：飞机A到控制点B的距离约为4221米.3 .热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30。，看这栋高楼底部的俯角为60° ,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?分析：在RtAABD, a=30° , AD= 120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD类似地可以求出 CD进而求

5、出BC解：如图，a =30° , 3 =60° , AD= 120. tan tan 3 =tEAD AD，BD= ADan a =120xtan30° =120x 乎=40#, CD= ADtan § =120xtan60° =3120X 3= 120 3.BD= BN CD= 40/3+ 120/3= 160 M = 227.1答：这栋高楼约高 277.1m.4 .如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是 30° ,测角仪AD高为1.5 米，求树高BC（计算结果可保留根号）分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点

6、D作DEI BC于E,把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在 BD计利用三角函数.解：过点D作DEL BC于E,则四边形DEC勰矩形，.D AC= 12米.CE= AD= 1.5米.在 直角 BED43, / BDE= 30° ,tan30BEDEBE= DE- tan30 ° = 4艰米.3、BC= BE+ CE= (44 + 2)米.5 .广场上有一个充满氢气的气球 P,被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是 30°、45° , E点与F点的高度差AB为1米，水平距离 CD为 5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有

7、多高？(结果保留到0.1米)分析：由于气球的高度为P知AB+ FD而AB= 1米，FD= 0.5米，故可设 PA= h米，根据题意，列出关，于h的方程可求解.解：设 AP= h 米，.一/ PFB= 45° ,BF= PB= (h+1)米，EA= BF+ CD= h+ 1 + 5= (h+ 6)米，在 RtPEA中，PA= AE tan30 ,h=(h+6)tan30 ° ,，气球的高度约为 P加AB+ FD= 8.2+1 + 0.5 =9.7米.【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考 题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，

8、求什么.四、师生互动、课堂,小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 4.4”中第2、4、5题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要 把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的 数学知识加以解决.第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1. 了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系， 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方r法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步

9、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡 A所口斜坡AB,哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡AB的倾斜程度比较大，说明/ Ai>Z A.从图形可以看出,即 tan A > tan ABC BCAC AC【教学说明】通过实际问题的引 入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1 .坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的AC比叫作坡

10、度（或坡比），记作i ,即i =定BC坡度通常用l ： m的形式，例如上图中的1 ： 2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作a.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i=tanB,显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.4H2 .如图，一山坡的坡度为i=1 ： 2,小刚从山脚 A出发，沿山坡向上走了 240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01 ° ,长度精确到0.1米）3 .如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上， 继续航行1h到达B处，这时测彳导灯塔 C在北偏东30°方向上，已知在灯塔

11、C的四周30km内 有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息 转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1 .如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24。，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）.分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.解：已知：在 RtAABO, / C= 90° , AC= 5.5, Z A= 24° ,求 ABAC在 RtAABO, cosA=*BAC 5.5AB=A cosA

12、0.9135= 6.0 (米).答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 6.0米.2 .同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师， 现在有这样一个问题请你解决： 如图水库 大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i =1 ： 3,斜坡CD勺坡度i =1 ： 2.5 , 求斜坡AB的坡面角a ,坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.解：作 BEELAD, CUAD 在 RHAB百口 RtACDF, BE_ 1 CF_工ae 3，FD= 25AE= 3BE= 3X23= 69(m).FD= 2.5 C鼻2.5 X2.3=57.5(m).AD= A曰 EF+ FD=:69+6+57.

13、5 = 132.5(m).因为斜坡 AB的坡度i =tan “=1 = 0.3333,3所以 a =18° 26'BEBE23AB= sin a ,AB= :=72.7(m).Sin a 0.3162' )答：余坡AB的坡角a约为18° 26',坝底宽 AD为132.5米，余坡AB的长约为72.7 米.3 .庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚 B处出发.如图，已知小山北坡的坡度i =1 ：、/3,山坡长为240米,A （将山路 AEB AC看成南坡的坡角是45。.问李强以什么速度攀登才能和

14、庞亮同时到达山顶 线段，结果保留根号）解：过点A作ADL BC于点D,在 RtAADO,由 i=1 ：，3得1 tan C=,3，,113，/C= 30 . AD= 2AC= 2*240= 120（米）.在 RtAABD, / B= 45 ,AB=，2AD= 12"（米）.120第+ （240+ 24）= 120+10=12/（米/ 分钟）答：李强以12啦米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A4 .某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CDI示滑道.若点2-.E, F均在线段 AD上，四边形BCE提矩形，1. sin Z BAF=-, BF= 3米，BC=

15、1米，CD= 6米.求:3（1） / D的度数；（2）线段AE的长.解：(1)二.四边形BCE喔矩形，BFE= Z CEF= 90 , CE= BF, BC= FE, ./ BFA= / CED= 90° ,CE= BF, BF= 3 米，. CE= 3 米，. CD= 6 米，Z CED= .90 , ./ D= 30° .2（2） . sin / BAF=q,3BF 29”=. . BF= 3 米，AB=j米, B 32- AF= 7 (2) 232 =平米，3/5+2 AE=2 不.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船

16、，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海检船位于 A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5。方向，海检船以 21海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2时海检船到达B 处，这时观察到城市 P位于海检船的南偏西 36.9。方向，求此时海检船所在 B处与城市P的 距离.(参考数据：sin36.9 ° = 3, tan36.9 °sin67.5 ° 12, tan67.5 ° )54135分析：过点 P作PdAB,构造直角三角形，设 PC= x海里，用含有x BC的值，从而求出x的值

17、，再根据三角函数值求出BP的值即可解答.解：过点P作PCL AB垂足为C,设PC= x海里.PC在 RtAAPO43, tan A=tAC的式子表示ACPC 5xAC=-。=tan67.512在 RtAPCEJ,PC- tan B=BCx一 BC= tan36.94x3从上午9时到下午2时要经过五个小时, . AC+ BC= AB= 21X5,5x 4x- + - = 21X5,123解得x= 60.PC - sin / B=而PC 60PB=-=sin B sin36.9=60X3= 100（海里）.海检船所在 B处与城市P的距离为100海里.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师

18、生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 4.1”中第1、6、7题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与 坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问 题转化为直角三角形来解决.复习与提升教学目标【知识与技能】1 . 了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2 .能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数 值求出相应的锐角的度数.3 .会用解直

19、角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.教学过程的恒定殊俊会的特一、知识结构曲 t 3T、毓ffl函数一&廿.0 小一解旨角的形三年函数侪已知便的求：出函觐依或已Tii Mi函敌仇求对应的慢向【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1 .正弦的概念：在直角三角形中，我

20、们把锐角. 角a的对边sin 斜边.2,余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角角a的邻边 cos " =.a的对边与斜边的比叫作角a的邻边与斜边的比叫作角a的正弦.记作sin a ,即:a的余弦.记作cos a .即3 .正切的概念:在直角三角形中，我们把锐角a的对边与邻边的比叫作角a的正切.记作tan a ,即:角a的对边 tan "=角a的邻边4 .特殊角的三角函数值:三角函数asin acos atan a30：1叱3近22345°巫 2巫 2160°更 2125 .三角函数的概念：我们把锐角a的正弦、余弦、正切统称为角 a的锐角三角函数.6 .解

21、直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7 .仰角、俯角的概念：当我们进行测量时， 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角.8 .坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比）；记作i ,坡度通常用l ： m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作a.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生的印象.三、运用新知，深化理解1.已知，如图，D是ABC BC边的中点，/ BAD90° , tan B= 2,求 sin / DAC3解

22、：过D作DE AB交AC于E,则/ ADE= / BAD= 90 ,2 AD 2由 tanB= 3，得2， 3 AB 3设 AD= 2k, AB= 3k,3.D是ABC41 * 3 BC边的中点，DE2k一5,在 RtADE中，AE= 2匕.sin / DACDE 3kAE 52k2.计算：tan 230° + cos230° sin 245° tan45解：原式=（坐)2+(畀(q)2X1 3227123.如图所示，菱形3ABCD勺周长为20cm, DEEL AB垂足为 E, sin A=-,则下列结论正 5确的个数为（）DE= 3cm；BE= 1cm；菱形的面

23、积为 15cm2;BD= 2 10 cm.A. 1个B. 2个C. 3个 D, 4个分析：由菱形的周长为 20cm知菱形边长是5cm.3在 RtADE中，: AD= 5cm, sin A= 5,3、DE= AD- sin A= 5X 一 =3(cm).5' '.AE= JaD DE = 4(cm).BE= AB- AE= 5-4=1(cm).菱形的面积为 AB- DE= 5X3= 15(cm2).在 RtADEE, BD= dE+ BE =32+12 =亚0(5).综上所述正确.【答案】C4.如图所示，一艘轮船位于灯塔 P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它

24、沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯厂塔P的距离（结果保留根号）.分析：由题意知，在 ABP中/ A= 60° , / B= 45° , / APB= 75°联想到两个三角板 拼成的三角形.因此很自然作PCL AB交AB于C解：过点 P作 PCLAB,垂足为 C,则/ APC= 30° , / BPC= 45° , AP= 80,在 RtAAPC,cos / APC=受PAPC= PA cos/ APC= 40小，PC在 RtPCB中,cos/ BPC=,PBPC 40 ,3 - PB=/

25、 片AC =4046cos/ BPC cos45当轮船位于灯塔 P南偏东45。方向时，轮船与灯塔 P的距离是40V6海里.【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1 .如图， ABC等边三角形，P是/ABC勺平分线BD上一点，P口AB于点E,线段BP的垂直平分线交 BC于点F,垂足为点Q若BF 2,则PE的长为（）,A. 2B. 2 ,'3C. 3 ；3D. 3分析：ABB等边三角形，点P是/ ABC勺平分线上一点，/EBP= Z QBF= 30。，, BF= 2,FQL BRBQ= BF cos30 =. FQ> BP的垂直平分线，. BP= 2BQ= 2 3.在 RtBEP中，. / EBP= 30 ,1 一PE= 2BP= 3.【答案】C2 .如图，为了测量某山 AB的高度，小明先在山