(浙江专版)2020届高考数学一轮复习单元检测七数列与数学归纳法单元检测(含解析)

1、16单元检测七数列与数学归纳法（时间：120分钟满分：150分）第1卷（选择题共40分）、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1 .已知等差数列an的前n项和为S（nCN）,若 卷1=63,则a?+a“+ai5等于（）A. 6B. 9C. 12D. 15答案 B解析 设数列a的公差为d,则由 & = 63,得21ad210d=63,即d + 10d=3,所以既十 a*+a15=3a1 +30d=3（a1+10d） =9,故选 B.1 12 .已知正项等比数列an满足log 1（a1a2a3a4a5）=0,且a6 =

2、67;,则数列an的前9项和为（）231316363A- 732b- 832c 764d-嗝答案 C解析 由 log 1 (a1a2a3a4a5) = 0,25得 aa2a3a4a5= as= 1, 所以 as= 1.又 a6= 7 所以公比 q = ,，a=4, 825116463= 764,故选C.n+ 3 n4 4*3 .用数学归纳法证明等式 1 + 2+3+ (n+3)= +32+4 (nCN)时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是()A. 1B. 1 + 2C. 1 + 2+3D. 1 + 2+3+4答案 D解析 当n= 1时，左边应为 1 + 2+ (1 +3),即1 + 2+

3、3+ 4,故选D.4.等差数列an的前n项和为S,&018>0, S019<0,且对任意正整数n都有|an|ak|,则正整数k的值为()A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011答案 C解析 由 S2o19<0,得 ai010<0,由 Seoi8>0,得 aioo9+aioi0>0） aioo9> aioio= | aioio|.又 d<0, n>1010 时,| an|>| aioio| ,n<1010 时，| an| > | ai009|>| aioio| , . . k= 1010.5.用

4、数学归纳法证明“ =7+上+ 3>11（ne N*）”时，由n=k至ij n=k+1时，不 n+1n+2 n+n24'/等式左边应添加的项是（）1A. 2 k+ 1B.2k+ 1 +2k+ 2-111C. + ；2k+1 2k+2 k+1D.2k+ 1 + 2k+2- k + 7-k2答案 C解析 分别代入n=k, n= k+1,两式作差可得左边应添加项.当n = k时，左边为 &+由+出，, 11111当 n = k+1 时，左边为.-+ + -+',k+2 k+3 k+k k+k+1 k+1 + k+1一，r 111,所以增加项为两式作差得+E，故选C.2k+

5、12k+2 k+16 .设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,2S=an+11,则数列an的通项公式为（）A. an = 3nB. an=3n1C. an=2nD. an= 2n1答案 B解析 因为2S=an+1 1,所以2a = a21,又a1=1,所以a2= 3.由题知当n>2时，2Sni=an1,所以2an=an+1an易知anW0,所以=3（n>2）,当n=1时，也符合此式，所an以an是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an=3n 1（nN*）,故选B.7 .已知数列an中，a1 = 1,且对任意的nCN*,都有 a+1=二更成立，则a202。的值为（）21 + an

6、A. 1B.1C.1D.|2 3 3答案 C., 11 ai 1i a2 11 a3 1, 一解析 由题得21=3； a2=-= -； a3=-=-； a4=-=-,数列an为周期数列，且21 十 a-31 + 比21 + a3 3a- = a3= a5 =a2n 1 = ( n N), a2= a4=a6=a2n=3( n e N), 23,1所以82020 =3，故选C.38.设数列an满足a1 = 3, J1对任意的 n N,都有 an+2anW 3”) 8nan+4 an>10X3 ,则 a2021等于(32021 A.832021.-8-+3 C.一202232022D.-8-

7、+2答案解析因为对任意的n C N > 两足 an+2 an W 3 , an+4 an > 10 x 3 ,所以 10X3 W(an + 4 an+2),、 一-n+2+ (an+2 an) w 3+3n= 10X3 n,所以 an+4an=10X3 n.因为 a2021 = ( 32021 1 32017) + ( 32017一 a2013)+ + (a5-a1) +a = 10x(3 2017 + 32013+ 3)+3 = 10x8320213332021+ =.81 1889.已知数列an的前n项和为a-wo,常数 入>0,且入a-an= S + S对一切正整数n都

8、成立，则数列an的通项公式为（）2n 2n 1 2n+1 2A. B.-C.D.-人 人 人答案 A2&1 = 2S = 2a1,即 a1(入 a 1 2)=0,一，2因为a-w0,所以a1 = 丁，所以2an 人2=丁+ 人当n>2时,一 22an-1 = 丁+ Sn 1 , 八，得2an-2an-1=an,即an=2an-1(n>2),所以an是以"2为首项，2为公比的等比数 八n列，所以an= x 2n 1= ( n N),当n= 1时，也符合此式，故选 A.10.记 f(n)为最接近 *(nC N*)的整数，如：f(1) =1, f (2) = 1, f(

9、3) =2, f (4) =2, f(5)=2,.若£ +- +4 = 4038,则正整数 m的值为()f 1 f 2 f 3 f mA. 2018X 2019_ 2B. 2019C. 2019X 2020答案 CD. 2020X 2021*1121212 .一 一 2解析 设 x, n N ,f (x) = n，则 n 2<yX<n + 2,所以 n n+.<x<n + n+彳,则 n - n+1< x< n+ n,故满足f (x) = n的x的值共有2n个，分别为1222 ,n n + 1,n n + 2,，n + n,且-21112+ f n

10、2_n+2 +- + f n2+n =2nxn=2.因为 4038 = 2X2019,所以m 2019 + 2019 =2019X 2020,故选 C.第n卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.把答案填在题 中横线上)11 .已知等差数列an的前n项和为3,若a3=10, 0=50,则公差d=,若S取到 最大值，贝U n =.答案 5 4或5解析 由已知条件可得 &= a32d+a3 d+a3+a3 + d= 4a32d= 50,又 a3=10,所以 d=5.方法一 可得a4= 5, a5=0, a6 = 5,，故当n = 4

11、或5时，S取到最大值.方法二 可知 a=20, an=- 5n+25,_ n 5n+ 45 _59 2 405$=2=_2n2 +8 根据二次函数的知识可得，当n = 4或5时，S取到最大值.a a2 a3an112 .已知数列an满足a1=2,且5+ 1+ +=d-2(n>2),则an的通项公式为2 3 4n答案an=n+1. 一 日 a2 a3an-解析因为万+鼻+ 7+方=an2(n>2)，a1 a2 a3所以 y+ -+y+- +234annn+1= an+1-2(n>2),anan+1n + 2一,得 >|= (an+1 2)( an- 2) = an+1 a

12、n( n 2),整理得 . (n 2), n十1an n十1an 1 an 3 4 5nn+1 = -x-x-x-xXan 2 an 1 2 3 4n-1 na1a2a3 a4又 a1 = 2,且一=a2 2,所以 a? = 3,则一一 一 2a1a2 a3an n+1*整理得一=一丁，所以an= n+ 1( n C N)(经检验n= 1也符合).a1213.已知数列a的前n项和为 S,且满足 a=1, an an+1 = 2X6n(nC N),则as =S2019= ,答案3610103X6 13解析 因为 ai = 1, an , an+i = 2*6“(门6 N),所以当n= i时，a2

13、= 12,*n 1 当 n>2( n C N)时，an , an-1 = 2X6， 除以得1=6,所以数列an的奇数项、偶数项分别成以6为公比的等比数列，所以a5=a1X62= 36,1 61010 12 1 610093X 61010 13S2019=+1-6=-5.14.如图是一个类似“杨辉三角”的图形， 记an,1, an,2,，an,n分别表示第n行的第1个数,第2个数第 n个数，则 an,2=.（n>2且nwN）199J-ri一34377411 J4 115答案n n 1 +22解析 把第n行（n>2）的第2个数记为an,则由题意可知a=2,a3=4,a4=7,as

14、=11, . . a3a2 = 2,a4a3 = 3,as a4 = 4,，an an1 = n 1,所有等式两边同时相加得an a2 =n+1 n-22整理得n n- 1 +2an=2，n>2,即 an, 2 =n n-1 +22n>2.15.已知等差数列an满足a3=- 1, a4+a2=12,则数列an的通项公式an=an一一. 1 , 一， 一，若数列二的刖n项和为S,则使巴的最大正整数n为 答案 2n 5解析 设等差数列an的公差为d,ad 2d= 1,a1= 1,由已知可得解得2al + 14d= - 12,d=- 1,故数列an的通项公式为 an= 2- n.a2an

15、Sn=a1+2 + 2n_i, dSi 1-2-n- 1-n2= 2+ %+ 2 + 2Sncb S1得-=a + -n - -n 1日卜十 2n2n2n2- n所以S=n 1由 S=2 >4,得0<nw5且nC N,故最大正整数 n为5.n 1.nbn 一、. 一一 .的刖n项和为16 .已知在首项都为2 的数列Sil, bn中，a2= b2= 4,2an+1 =an+an+2,bn+1 bn<2+2 ,bn+2bn>3X 2 n 1 ,且 bn C Z,则 b =答案2n2n1解析 由 2an+1= an+ an+2,知数列an是等差数列, 因为ai= 2, a2=

16、4,所以an的公差为2,所以d= 2n.n 1n+ 11由 bn+1bn<2 +2,付 bn+2bn+1<2+ 2,所以 bn+2 bn<3X2 n+ 1,又 bn+2 bn>3X 2 1 ,且 bl e Z,所以 bn+2 bn = 3X2 n,当 n=2k 1(kR2)时，bn=(bnbn2)+(bn2bn4)+ (b3B)+ b = 3 X (2 n 2 +2n4+c3 c、 c c 2 4k 11° c2kT c“+ 2 + 2) +2 = 3X -一- + 2= 2=2 ,44 1n= 1时也成立;当n= 2k( k> 2)时，bn =( bn

17、 bn 2)+ + (b4 b2)+ b2= 3 X (2 n2+ 2“4+ +2,+ 4) + 4 = 4及=2n, n= 2时也成立.所以2n.所以an2nn-n -1-=2 ,则数列nbn ，1x 1 2n n 工的刖n项和为=2-1.17.若正项等比数列 -n满足(-6+ -5+ -4) (-3+ -2+ -1) = 49 ,则-9 + -8 + -7的最小值为答案 196解析设正项等比数列an的公比为q,则(q3 1)( a3+ 82+ ai) = 49,349显然 q 1>0,所以 83 + 82+ 81 = 丁 1,a9+ 88+ 87 =49q649 q61 + 1q -

18、1q -1>49X4= 196,。1。当且仅当q31=qT7，即q3=2时等号成立,故89+88+87的最小值为196.三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18. (14分)(2019 杭州质检)已知数列8n的前n项和为且满足3s=48n2(nC N).(1)求数列8n的通项公式；_ 一 .1(2)设bn= log 1 8n,求数列 前二的刖n项和Tn.2解(1)3 S=48n2,当 n>2 时，3S,-1 = 48n-1-2,一得 38n= 4( 8n 8n 1)8n所以 a=48n1,即=4.8n- 1又 3s1 = 4812,所以 8

19、=2,所以数列8n是以2为首项，4为公比的等比数列，所以8n=2X4 1=221( nC N*).2n 1(2)因为 bn= log 1 8n= log 1 2= 1 2n,22_ ,11所以心二:- bnbn+11-2 n 1一2n一2=2 2n-1-2n+ 1 '所以 Tn=1 1 ；+：+1 d -Q 1 d = 1 1 -Q 1 . =-n(nC Nj .23 3 52n-1 2n+122n+12n+119. (15分)已知数列8n的前n项和为S,且满足 S+n= 28n(nCN).证明：数列8n+1为等比数列，并求数列8n的通项公式；(2)若bn= n ( 8n+ 1),求数

20、列 bn的前n项和Tn.证明 当n= 1时，281= S+1,则81=1.由题意得 2an = S + n, 2an+1 = Sn+1 + ( n + 1), 两式相减得 2an + 1 2an= an+l+ 1 ,即 an+1=2an+1.于是 a+1+1=2(an+1),又 21+1=2,所以数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列.所以 a+ 1 = 2 , 2 n 1=2"，即 an= 2“一 1, nC N.(2)解由(1)知，bn= n 2n,所以 Tn=1 2 + 2 2 2+ n 2n, 2Tl = 1 -22+2 , 2 3+ n , 2 n+1两式相减得Tn=

21、2+ 22+ 23+ 2nn 2n2 1 一 2n+ 1n+ 11_2 nr = (1 - n) -22,所以 Tn= (n-1) - 2 n+1 + 2. 一9120. (15分)已知等比数列an的公比为q(0<q<1),且22 + 25=、, a3a4=：.88(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn= an (log 28),求 bn 的前 n 项和 Tn；(3)设该等比数列an的前n项和为S,正整数m n满足Jn二m：,求出所有符合条件的mS+1 m 2n的值.解(1)方法由已知得0<q<1,49aq+a1q = o, 8aq2 a1q31=8'a1

22、= 2,解得 1an= 2 n 2, n N*.1万法二由等比数列的性质，知a2a5=a3a4=9 a2+ a5=-,88a2, a5是 x29x + 1= 0 的两个根,88、,1,一 a2>a5, . a2= 1, 35=-, 81q=2, .an=a2Xqn-2=1X 2n 2 =12 n , ne N. .一 .1(2)由(1)可得，bn= (2 n) - 2nF,_111 一 、1 " Tn= 1 x/T + 0x 艺+ (-1)*了+ (2n) , 2n-,11 .1 ,外、1 ,小、12Tn = 1 x 2o + 0 x 21 + (3 n) , 2n2 + (2

23、 n) , 2n 1, 1两式相减得Tn=2 111. 一尹 21+ + 7 +(n 2)1歹11-+ ( n- 2) 2n-1,12T-"Tn_ 2n_2,_ *nC N.(3) S = 4 1 J ,由 m，得 2<2n(4 n)<6, 28+1 m22n(4 m 为偶数，只能取 2n(4m = 4,2n=2,2n=4,n= 1,n=2,.有.-或.故- 或 一4m= 24 m= 1, m= 2m= 3.综上所述，m= 2, n= 1 m= 3, n= 2.21. (15分)(2018 衢州检测)已知数列an满足31=1, $=2an+1,其中&为an的前n项

24、和*(ne N).(1)求S, S2及数列Sn的通项公式；(2)若数列bn满足bn =3,且bn的前n项和为Tn,求证：当n>2时，1< I Tn| <-7. Si39解数列3n满足$=2a+1,则 Si= 2an+1 = 2( Sn+1 Sn),即 3s = 2&+1,S+13,八八 3所以-=1，所以S=a=1, S?=Si223即数列 Sn是以1为首项，2为公比的等比数列.3*所以 S= 21( nC N).n -1(2)证明在数列 bn中,bn =-1X-,3 n- 12bn的前n项和的绝对值|Tn| =-1X214,§+ §+n-11n- 13 +9+n- 11n- 1而当n>2