(江苏专版)2019年高考数学母题题源系列专题09空间几何体的体积与表面积(含解析)

1、专题09空间几何体的体积与表面积【母题来源一】【2019年高考江苏卷】如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积是120, E为CG的中点,则三棱锥E-BCM体积是 【答案】10【解析】因为长方体 ABCD AB1C1D1的体积为120,所以AB BC CCi 120,1因为E为CC1的中点，所以CE CC1, 2由长方体的性质知 CC1 底面ABCD,所以CE是三棱锥E BCD的底面BCD上的高， ,八 11所以三棱锥 E BCD的体积V AB BC CE 3 2【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律11_ 1 -1AB BC -CC1120 10.3 2212.在几何体面积或

2、体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“害与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性 质可得三棱锥的体积【母题来源二】【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等于我，,、 一，,，一 ，1 2 4所以该多面体的体积为 2-12433【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件 构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式 的几

3、何体进行解决.【母题来源三】【2017年高考江苏卷】如图，在圆柱。1。2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线 均相切.记圆柱 O1Q的体积为M ,球O的体积为V2,则"的值是.V2【解析】设球半径为r ,则V1r2 2rV24 r33若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略: 锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转 换法、分割法、补形法等方法进行求解.【命题意图】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，主要考查空间想象能力以及运算求解能力【命题规律】立体几何问题既是高考

4、的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，主要以柱体、椎体、球、组合体为载体考查常见几何体的体积或表面积公式，考查的核心素养是直观想象和数学运算.提高空间想象能力，熟记柱体、椎体和球体的体积公式是求解此类问题的关键【方法总结】(一)求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或

5、等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法.(3

6、)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的 轴截面是等腰梯形的应用.(二)球的表面积和体积的求解策略：(1)确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.熟记球的表面积公式为 4欣2,体积公式为-r3 .3(2)与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.(3)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d v R2

7、 r2 .(4)常见结论：若正方体的棱长为 a,则正方体的内切球半径是 1 a ；正方体的外接球半径是 Y3 a；与正方体所有棱相切的球的半径是巨a.2若长方体的长、宽、高分别为 a, b, h,则长方体的外接球半径是 1 Ja2 b2 h2 . 2若正四面体的棱长为a,则正四面体的内切球半径是 Y6a；正四面体的外接球半径是 Y6a；与正 亚四面体所有棱相切的球的半径是a.4球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.1.【江苏省苏州市 2019届高三下学期阶段测试数学试题】四棱锥P ABCD PA，底面AB

8、CD,底面ABCD是矩形，AB 2, AD 3, PA 志，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为【解析】底面 ABC皿矩形，E在CD上,八 11 S>aabe AB AD 2 3 3.22. PAL底面 ABCD1.Ve-pab= Vp-abe S/ABE PA3【名师点睛】本题考查了棱锥的体积计算，线面位置关系，熟记等体积转化，准确计算是关键，属于基1础题.由PAL平面 ABCDT彳导*-pab= V-abe -Saabe PA,求解即可.32 .【江苏省扬州中学 2019届高三4月考试数学试题】若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半， 一一2径为3,圆心角为2冗的扇形

9、，则该圆锥的体积为32.2【答案】3，一 a ，2，【解析】因为展开图是半径为 3,圆心角为一冗的扇形，32所以圆锥的母线l 3,圆锥的底面的周长为一冗3 2%，因此圆锥底面的半径r 1,3根据勾股定理，可知圆锥的高 h 。厂” 2H所以圆锥的体积为 1冗12 2.2 22 33【名师点睛】本题考查了求圆锥的体积问题，解题的关键是熟知圆锥侧面展开图与圆锥之间的关系.求解2时，通过展开图是半径为 3,圆心角为2冗的扇形，可以求出圆锥的母线、圆锥的底面周长及半径，这3样可以求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出圆锥的体积3 .【江苏省徐州市 2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知一个圆

10、柱的轴截面为正方形，其侧面积为S ,与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为&,则三的值为S1【答案】_154【解析】设圆柱的底面圆的半径为r ,则高为2r,圆锥母线长为 Jr2 4r2 J5r，所以 S1 2 4 2r 4<2, S2冗 r l 冗 r J5r 752 ,所以3遮，故填空.S 44【名师点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.求解时，设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r ,圆锥母线的长为.5r ,分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值4 .【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面， 则此圆锥的体积为.【答

11、案】晅冗31 【解析】如图，半圆的弧长为：- 2冗4 4冗，4九2式，即圆锥的底面半径为：r 2,圆锥的高为：h 尸尸 2展,圆锥的体积为：V 1冗22 2，3 8833本题正确结果为8回冗.3【名师点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.求解时，由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果5.【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】某长方体的长、宽、高分别为2cm, 2cm, 4cm,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 .【答案】捉:3冗【解析】因为长方体的长、宽、高分别为2cm, 2cm , 4cm ,3所以长万体的体积为 V长

12、方体 2 2 4=16（cm）,其外接球直径为2R J222242 2 J6，故r J6，所以其外接球体积为 V球=4 tR3 8n Xcm3）, 3因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为16.68.6九3冗熟记体积公式即可，属于常考题型.求解时,【名师点睛】本题主要考查长方体的体积及其外接球的体积,根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径, 得到外接球体积，即可求出体积之比.6.【江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷数学试题】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（

13、如图所示），则球的半径是cm.【答案】44322【解析】设球半径为r,则由3V球水=17柱可得3 可 4 8 r 6r ,解得r 4.3【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利 用三个球的体积和水的体积之和等于柱体的体积，求解即可.7.【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】如图,该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面 积相等，则圆锥与圆柱的高之比为 .【答案】3【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R则圆柱的高hi = R,圆锥的母线长为 L,因为圆

14、柱与圆锥的侧面积相等，1所以2tR R 2 2tiR L,解得：L=2R所以圆锥的高为h2 = J3 R,所以圆锥与圆柱的高之比为 -1R ,3.R故答案为：,3.【名师点睛】本题考查了圆柱与圆锥侧面积的求法，属于基础题.求解时，设圆柱和圆锥的底面半径为 R圆锥的母线长为L,由圆柱与圆锥侧面积相等得 L=2R,进而得圆车B的高为 J3R,即可求出结果.2,侧棱与底8 .【江苏省南通市 2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知一个正四棱锥的侧棱长为面所成的角为60。，则该棱锥的体积为 .【答案】2-33【解析】由题意可知： PAO 60°, PA 2,PO PAsin60o J3

15、, AO PA cos60 0 1,AB上二工 cos451VSyabcd PO3本题正确结果为立3.3【名师点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是利用侧棱与底面的夹角，求得几何体的高和底面边长，属于基础题.求解时，根据侧棱长和侧棱与底面夹角求得高和底面边长，利用体积公式求得结果9.【江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次调研考试数学试题】已知直角梯形 ABC珅，AB/CDAEJ± BCAB=3 cm,BC=1cm,CI=2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3.【答案】7/3【解析】依据题意，作出如下直角

16、梯形：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和.其中圆柱的底面半径为 BC=1,高为CD=2 ,圆锥的半径为 DE BC=1 ,高为AE = 1.11177由此可知：V V圆柱 V圆锥冗12 2 冗12 1 .33故答案为：?.【名师点睛】本题主要考查了空间思维能力，还考查了锥体体积公式及圆柱体积公式，考查计算能力，属于基础题.求解时，由题可得：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和，由锥体体积公式及圆柱体积公式计算得解10.【江苏省七市2019届（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云

17、港）高三第二次调研考试数学试题】设P, AB,C为球O表面上的四个点，PAPBPC两两垂直，且 PA 2 m, PB 3 m,PC 4 m,则球O的表面积为 m2.【答案】29几【解析】: P, A, B, C是球O表面上的四个点，PA PB PC两两垂直，则球的直径等于以 PA PB PC长为棱长的长方体的体对角线长 ., PA 2 m, PB 3 m, PC 4 m,2Rt=、4 9 16,29 ,则球O的表面积S= 4 Tt R2=29兀,故答案为29 7t.【名师点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础

18、题.11 .【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中数学模拟试题】如图，三棱锥A BCD中，E是AC的中点，F在AD上，且2AF FD ,若三棱锥 A BEF的体积是2,则四棱锥B ECDF的体积为【答案】10【解析】设zABF的面积为S , 2AF FD , ABD 的面积为 3S .设点E到平面ABD的距离为d ,则点C到平面ABD的距离为2d ,一一 .1 一 一用有 VA BEF VE ABF - Sd 2 , 3、，1 ， ,'VA BCD VC ABD =(3S) (2d ) 12 , 3四棱锥B ECDF的体积为VC ABD VE ABF 12 2 10 .

19、故答案为：10.【名师点睛】本题主要考查锥体体积的求法和转化思想方法的运用，同时也考查计算能力，属于中档题.解答本题的关键是由题意得到三棱锥A BEF与三棱锥C ABD的体积比，进而得到三棱锥C ABD的体积，利用两个三棱锥的体积之差可得四棱锥B ECDF的体积.12.【江苏省南通市基地学校 2019届高三3月联考数学试题】已知正四棱柱ABCD ABC1D1中，AB=3,一BP 1AA=2, P, M分别为BD, BC1上的点.若一，则三棱锥 M PBC勺体积为 PD12【答案】1【解析】由题意可知原图如下：11SzXMBC 2 s四边形 BC1cBi 2 3 23,BP 1 BP 1又,即,

20、PD12D1B 31r一1-1P到面MBC的距离h等于D1到面MBC的距离，即h D1cl -31,333、，、，1c1° 一VMPBC VPMBC Sa MBCh_3 11 .33本题正确结果为1.【名师点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换,找到易求解的底面积和高.三棱锥M PBC体积与三棱锥 P MBC的体积一样， M为B1C1上动点,1可知4MBC面积为侧面BCCiBi面积的一半；P到面MBC的距离等于Di到面MBC的距离的，3由此可根据三棱锥体积公式求得体积.13 .【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】如图，已

21、知正方体ABCD AB1cR 的棱长为1,点P为棱AA上任意一点，则四棱锥 P BDD1B1的体积为 3【解析】连接 AC BD于O点，则有AO 平面BDD1B1 ,所以AO的长等于点P到平面BDDB的距离，即高h AO又矩形BDD1B1的面积为S J2；所以四棱锥PBDD1B1的体积为V=3【名师点睛】本题关键是先根据已知条件证明出AO 平面BDD1B1,进而求出AO就是点P到平面BDD1B1的距离，这是本题解答的关键点，此类问题基本解题方法就是先求出高，然后再根据体积公 式求出体积.14 .【盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题】如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是 矩形，PA 底面ABCD, E为PD上一点，且PE 2ED