以动态数学教具为平台 传授数学思想

1、以动态数学教具为平台 传授数学思想培养创造思维能力兼简介初中动态数学教具孙 志 强张 哲闫 存 哲渗透数学思想 发展抽象思维能力初中动态数学教具简介当小学生进入初中后，课程突然增多。仅就数学而言就增加了学生很陌生的平面几何课（现与代数合二而一为数学课）。过去平面几何教学历来入门难。这是因为由算术扩展到综合的数学课后，头绪多，内容杂，尤其是几何课使研究空间形式的，内涵阴蔽，概念抽象，公式、定理较多。初次学习推理证明过程，学生一时难以掌握，所有这些问题都为初中数学教学增设了许多难点。初中数学动态教具正是为了克服上述教学难点，为了激发学生的浓厚兴趣并能持久保持，从运动变化的思想观点和方法渗透数学思想

2、，发展学生的抽象思维能力，推动教学改革，提高教学质量而研制的。数学思想是潜藏在数学教学中的灵魂，是贯穿在数学知识、教学内容和方法中的逻辑生命线，是挖掘数学教材中潜藏的唯物辩证因素的强大思想武器，使唯物辩证法及逻辑学在数学中的体现和应用。初中生是人生大脑和大脑机能迅速发展的第二个优势期，也是对一切事物感兴趣的敏感期。而且在生理、体力、智力诸方面都处在迅速发展的优势期。所有这些都为学生的认识由感性认识向理性认识、由形象思维向抽象思维及创造思维的迅速发展奠定了良好的基础，也为初中数学教学渗透数学思想、观点、方法的教育奠定了可靠基础。现分三大部分，分述如下：一、初中数学动态教具及基本性能一览表由于大多

3、数教具是全方位运动变化的，有的变化和功能也难以预料，只能简述它具有的基本功能名 称教 具 基 本 功 能1.动态线段、射线、直线教具主要是应用点的运动观点，直观演示举例，描述并揭示概念的本质属性及三者间辩证关系。2.动态角教具主要是用运动态观点直观演示角的概念、分类及各种位置及数量间的关系。3.动态平行线教具主要从运动变化的思想演示三县八角、平行线的判定及性质、对应的两边平行或垂直时的两角间关系。4.动态三角形教具从角和边的运动变化直观演示三角形中的主要线段、四心、三角形的分类等。5.动态三角形的边、角关系教具主要从动态观点演示三角形中角与角、边与边及边角关系。6.动态四边形教具主要从运动变化

4、的思想多层次的演示四边形的分类、判定、性质等逻辑关系。7.动态相似三角形教具主要用运动态思想演示三角形相似的预备正逆定理，相似三角形的判定、性质及直角三角形中重要的比例线段。8.动态三角形内外角平分线教具主要用运动态思想演示三角形内外角平分线重要性质。9.勾股定理教具用于直观的发现和证明勾股定理。10.知两边及一边所对的角，求三角形解的教具主要是用运动态观点突破教学中的难点，直观形象发现解的各种情况。11.等腰三角形性质定理教具从图形的运动变化观点演示底边上的四线合一、四点公线和底边上任意一点到两腰的距离和高定值等。12.直角三角形的重要性质教具主要演示角间、边间、边角间各种特殊数量关系及斜边

5、中点的性质和其中的重要比例线段等。13.圆的基本性质教具主要从运动变化的观点演示圆的对称、圆心角、弧、弦、弦心距之间的各种关系。14.与圆有关角的教具主要直观形象的演示圆心角、圆周角、园内外角弦切角、园内接四边形等的一些性质。15.弦的垂径定理教具主要用于直观形象的演示垂径定理及其推论。16.圆幂定理教具主要以运动变化的观点，形象直观的演示圆幂定理的形成，揭示其内在联系等。17.在定线段两端点张有定角的教具主要从运动变化的观点，形象直观的演示张有定角的弧形成的过程化描象为形象，化隐晦为直观，化难为易。18.角的平分线教具以动态观点演示角平分线轨迹发生的具体过程。19、线段的垂直平分线教具以运动

6、变化的观点演示垂直平分线发生的生动直观过程。20、圆内接正边形教具主要用直观形象的教具演示各种正多边形的构成性质及有关计算问题。21、圆与园的位置关系教具从运动的观点，用于直观演示两园相离、相交、内切、内含及其内外切线等重要性质的关系。22、正方体染色问题教具是将一正方形染上红色后，切成若干小正方块，问3面、2面、1面、零面染色的小正方块各有多少块?主要用于培养发展学生广阔的空间形象能力和智力水平。23、一次函数图像教具主要用动态观点揭示一次函数图像的性质及其变化等。24、二次函数图像教具以运动变化的观点，主要形象直观的揭示二次函数图像的性质、各种变化以及用函数的观点，统一一元二次方程、一元二

7、次不等式等。25、阴影面积教具从运动变化的观点，通过用单个花瓣的面积板，来拼摆各式各样复杂图案的形状，而计算其面积，对培养学生空间抽象思维德变通性、灵活性有独特作用。26、七巧板可拼摆天地间万物。27、益智图板拼摆出万事万物，智力性更强。二、动态教具结构的独特性和功能的多样性当人们提到数学教具时，传统的认为它们多是一种静态的或者是死的模型式的教学辅助工具。但这里介绍的都是能够载知识、藏方法、寓思想、启智慧、育思维的别开生面的一具多变多能多用的动态教具。也有人称它为“魔术”智力教具。其基本特点如下：（1）形体结构特点：1、全部教具新颖形象直观，能使抽象的问题具体化、实际化，这是引起学生学习兴趣的

8、前提。2、绝大部分教具都是框架式，透明性强。能使隐含的内在问题明显化。3、全部教具都能多方位多层次的运动变化，是多能多用的。运动变化最易引起学生学习的好奇心，也是兴趣保持持久的源泉。4、全部教具构思奇妙，设计独特，制作新颖，这是激发学生奇思妙想开展小制作、小发明及科普实践活动的活教材。5、由于全部教具是运动变化的，能够在教学的多层次上体现数学思想、辩证唯物主义思想和逻辑思想方法。（2）教具的制作原理1、全部幼儿小学及中学的数学教具都是根据幼儿及青少年生理心理及认知特点研制的，在外形上充分体现着浓郁地趣味性、新颖性，又在内部结构上隐含着丰富的知识性和智力性。如七巧板教具不仅设计制作灵巧，而且配有

9、磁板和图例且能“魔术”般地拼摆出人间万事万物。更重要的是渗透着道生一，一生二，二生三，三生万物的道生宇宙的演化原理，也潜藏着有关简单地几何知识和智力功能。同样益智板渗透着太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦生万物的太极造化宇宙演变原理，其中潜藏的智力性更强。2、全部玩具、学具、教具都是根据点的运动成线、线的运动成面、面的运动成体，并融合了数学及其它学科知识而形成的思维产品。并且多是全方位多角度可自由运动变化的。如一件动态三角形可瞬间构造演示出任何三角形；一件动态四边形可瞬间随机构造出演示任何四边形；一、二台与圆有关的动态教具可顿时把圆的性质、圆与圆的位置关系、公切线性质、与圆有关的角、与圆

10、有关的比例线段、圆内切外切正多边形、面积与周长瞬间构造演示出来等等，限于篇幅不再一一赘述。三、教具操作使用举例例1：知两边及一边所对的角的动态教具的操作使用。（1）形体结构和使用见示意图（一）是一动态示意图，由线段AD、AC、CD联合组成。AC=b为定长，可绕AD自由旋转成锐、直、钝角，CB=a是可以伸缩的动态杆管且可绕AC自由旋转，B尖处可按放粉笔（或铅笔），可在AD线上画出各种解的个数情况。见示意图（一） C b B A D 图（一） A为锐角图形条件解A为直角或钝角图形条件解 图（一）当角旋转为0<A<90°时，拉动CB=a使a<bsinA. a=bsinA.

11、bsinA<a<b.a=b.a>b时，B处笔尖会在AD上画出解的个数，分别为无解、一解、两解一解、一解的情况。当0<A900时，a<b.a=b均无解。只有a>b为一解。（2）作用：这件教具演示给我们的启示是什么呢？对此类题学生以往对任何情况下有解或无解、一解或两解很模糊，常常搞不清，经教具直观演示后一目了然，能达到真正理解。至于证明心中定会胸有成竹。从矛盾的运动变化来看，A的变化是矛盾的主要方面， 在A各自确定后，随之也确定，而各自解的个数不完全相同。因此要抓住主要矛盾，而非主要矛盾会迎刃而解的。例2：动态平行四边形教具的操作使用。（1）教具的形体结构和使用

12、见图（二）1。它是将四边都可伸缩，各边又能绕顶点旋转的四条杆管首尾顺次动态铆接而成。只需拉动调节某一边或两边长度（角度可随之变化），拉动边或调节角度（边也随之变化），可瞬间得到任意四边形。（2）、教具的基本作用可在多层面上体现着数学逻辑思想。体现着概念的内涵与外延反变关系见图（二）。从图的箭头由左向右看是图形概念的内涵不断扩大而外延不断减小的过程。即可用前一概念加上属差定义一个概念。由图左向右看是一般的任意四边形逐渐运动转化为特殊四边形，最后变成一个很具体的特殊四边形即正方形。由右向左看是特殊的正方形向一般的任意四边形转化，体现了前后概念外延的包含与被包含关系。而且正方形既包含在矩形又包含在菱

13、形外延中，是它两的交集见图（二）2随着图形概念的不断特殊化，其属性如对角线的内涵也不断在扩展，即由对角线平分相等垂直平分又相等且垂直。从左向右运动变化看，随着图形的不断由特殊性其属性逐渐扩大，如图的对称心也进一步扩展见图（二）3。如最后正方形的对称关系包含了前边一切四边形的（主要指平行四边形）中心对称和轴对称关系。在面积之间也存在着对立统一的辨证数学思想。首先，把各四边形中的一条对角线连接起来，把原四边形面积分成了两个三角形面积和，从而把四边形面积公式统一建立在以三角形这个基本面积公式的高奠基上来见图（二）。其中菱形两条对角线互相垂直，故面积可以以一对角线为底，另一条的1/2对角线为高求两三角

14、形面积和，即S菱形=1/2L1L2。其次又可以将各种平行四边形面积公式囊括在一般梯形面积公式中去，把它们的面积看成是梯形面积的特例。如当为平行四变形时，上下底变为相等，为矩形时上下底不仅转变为相等而且转化为高；当为菱形时因为两条对角线互相垂直，可将两对角线作为底和高，当为正方形时，上下底和高均看成一边长a的 特殊梯形等。上述各图中的对角线均是用皮筋勾连在各顶点处的定环上，对成轴是用粉笔画的（或用细铁丝吸在磁板上），即配合磁性黑板应用时，效果更佳。总上所述，数学思想是在数学教材或教学中有广泛的应用，同一种数学内容可以用不同的数学思想观点去理解，不同的数学内容也可以用同一种数学思想观点或方法统一起

15、来。因此，由于数学思想的贯串和体现，使得数学知识不再是孤立的单点或离散的片断。使得数学方法不再是刻板式的套路或个别的一招一式。从而用数学思想可把数学内容和数学方法，数学知识与数学能力的培养统一起来，可以把数学中的三项任务传授知识、培养能力和进行思想教育融为一体。例3：构造特殊三角形，并揭示它们在数形间隐含的有关矛盾的对立统一关系。（1）教具的结构和使用方法见图（三）1。AB、BC、CA为三条可以自由伸缩又可以各自绕其顶点的三条杆管将首尾顺次动态铆接而成。然后稍加拉动，可得到直角的、等腰直角的、等腰的、等边的各个特殊三角形见图(三)2。（2）这四个特殊三角形之间存在着下列数学思想观点和方法。当直

16、角三角形转化为等腰三角形时，扩展了三条内涵属性，即矛盾的特殊性，但它们又都是直角三角形，这是共性。正因为这个共性把二者连系了起来，都适用于勾股定理，这是矛盾的共性。当由等腰直角形转化为一般等腰三角形时第三条属性消失了，但前两条属性相同，这是共性，因而也是相互联系的。当由等腰三角形转化为等边三角形时，由量变引起了质的突变，出现了两条于等腰三角形不同的特殊属性，但它们又都是等腰三角形，有不少微观相同或相似之处，而且都不失一般性，适用于余弦定理。从勾股定理和余弦定理间关系讲，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特殊情况，是一般与特殊之间的对立统一关系，统一在运动变化过程中的。图中的辅助线

17、是用皮筋把定点上的定环与边上的动环勾连起来的，若配合磁性黑板这些辅助线都可用粉笔画上。例4：揭示在证明等腰三角形中的定值问题的数学过程中，重视培养学生的创造思维能力。问题：证明等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于定值。（1）教具的操作使用：把动态任意三角形随机拉动为等腰三角形，并用皮筋勾连顶角定环和各边上的动环可构造出下列图系见图（四）（1）、（2）、（3）、（4）。这个过程可概括为，可由（1）提出P在一般位置时的设题问题，然后把P点逐渐向特殊位置的一个边界点顶角A逐步移动到（2）、（3）、（4）时使A与P、M重合，Q与N自然重合，学生很自然直观发现PM+PN=O+PN=PN即等于一腰上的高。这当然只是在特殊