中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练含详细答案

1、中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练含详细答案一、圆的综合1 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于 G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求证：FE是。的切线；(3)若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) 5.【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示：2 BC是直径，./BEG90；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：3 BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.F

2、EI OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，FH=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3.CG FC CG 2 1将,OE/ AC,AFCCGAFOE,，即 * 2 + 3 ,解得：cg= .点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.2.如图，AB是。的直径，弦CD)AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG/ AC 交CD的延长线于点 G,连结AE交CD于点F,且EG=FG连结

3、CE.(1)求证：ZG=Z CEF(2)求证：EG是。的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tanG =3 , AH=3 J3 ,求EM的值.4【解析】试题分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由ABL CD推出 AD AC ,推出 /CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；(2)欲证明EG是。的切线只要证明 EG OE即可；(3)连接OC.设。的半径为r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,证明一 AH HC . 一 AHCAMEO,可得 ,由此即可解决问题；EM OE试题解析：(1)证明：如图 1. .AC/ EGZG=Z ACG, v AB CD,AD

4、 Ac， . / CEF=/ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG . . AECfAGCE(2)证明：如图 2 中，连接 OE.GF=GE,/ GFE=/GEF=/AFH, / OA=OE,/ OAE=Z OEA, / AFH+Z FAH=90 ；. / GEF+ / AEO=90 : ：. / GEO=90 ; ：. GE OE,.EG是。O的切线.(3)解：如图3中，连接OC.设。的半径为r.在 RtAHC中，tan Z ACH=tan Z G= AH-= - , - AH=3J3 ,HC 4HC=473 ，在 RtHOC 中,. OC=r, OH=r- 3/3, HO4J

5、3,，(r 373)2 (403)2225.3r , r=,6AH HC. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO, . EM OE3 34.3EM2573，.EM = 25J8点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定 理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相 似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.3. (1)如图1,在矩形 ABCD中，点 O在边AB上，/AOO/BOD,求证：AO=OB;(2)如图2, AB是。的直径，PA与。相切于点A, OP与。相交于点C,连接CB,试

6、题分析：(1)根据等量代换可求得 /AOD=/ BOC,根据矩形的对边相等，每个角都是 直角，可知/A=/B=90, AD=BC,根据三角形全等的判定 AAS证得AODZBOC,从而 得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求 / ABC的度数.试题解析：(1) ./AOC=/ BOD / AOC / COD=Z BOD-/ COD即 / AOD=Z BOC四边形ABCD是矩形/ A=Z B=90 ； AD=BCAOD BOC，AO=OB(2)解：.AB是eO的直径，PA与eO相切于点A,.PA，AB,/ A=90 :又 /

7、OPA=40,/ AOP=50 ,.OB=OC,/ B=/OCB.又 / AOP=/ B+/ OCB,1-B OCB AOP 25 .24.如图，AB是半圆。的直径，C是值的中点，D是,密的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：BD平分/ABC;(2)求证：BE=2AD；求DE的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3)2【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下：设 OH为1

8、,则BC为2, OB=OD=/2 ,DH=J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是费的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,则 BC 为 2, OB=OD=/2 , DE DHDH= . 2 1,=一BE BCDE 2 1BE 25.已知:如图, BD分别交于点（1）判断直线在矩形 ABCD中，点O在对角线 BD上，以OD的长为半径的。与AD,E、点 F,且 ZABE=Z DBC.BE与。的位置关系，并证明你的结论

9、；(2)若 sin/ABE=YE, CD=2,求。的半径.【答案】（1）直线BE与。相切，证明见解析；（2）。的半径为 立2【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90。，即可得出直线 BE与OO相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的r的值.长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出 详解：（1）直线BE与。相切.理由如下：连接 OE,在矢I形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 A

10、BDC, / A=90 ,Z ABE+ / AEB=90 , . / OED+/AEB=90 ； /BEO=90； .直线 BE 与。O 相切;(2)连接EF,方法1：.四边形 ABCD是矩形，CD=2,Z A=ZC=90 , AB=CD=2. /ABt/DBC, . .sinZ CBD=sin ABEBDDCsin CBD在 RtA AEB 中， CD=2, . BC242DC tanZ CBD=tanZABE, BC筝 AE2,由勾股定理求得BE 疾.在 RtBEO中，Z BEO=90, EO2+eB?=QB2.设。的半径为r,则r2 （76）2 （273方法 2： .DF是。的直径，./

11、DEF=90.四边形 ABCD是矩形，/ A=/ C=90 ,AB=CD=2. ZABE=ZDBC,sinZCBD=sin ABE设 DC x, BDBCCD=2,BC2V2 tanZ CBD=tanZABE, DCBCAEAB22.2E为AD中点.DF 为直径，ZFED=90,EF/ AB, DF2bdJ3 ,OO的半径为2B点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.6.如图，AB, BC分别是。O的直径和弦，点 D为Be上一点，弦DE交OO于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于 H,且HC=HG连接BH,

12、交。O 于点M,连接MD, ME. 求证：（1） DE AB；（2） / HMD=/MHE+/MEH.二【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC,根据等边对等角和切线的性质，证明 /BFG=/ OCH=90即可；（2）连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出ZHMD=ZBME,再根据三角形的外角的性质证明 / HMD=Z DEB=Z EMB即可.详解：证明：（1）连接OC, HC=HG,/ HCG=/ HGC; hc切。于e点, / OCB+Z HCG=90 ;,.OB=OC,/ OCB=Z OBC, / HGC=Z BGF, / OBC+/ BGF=9

13、0 ；/ BFG=90，即 DE AB；（2）连接BE,由（1）知 DEX AB, .AB是。的直径，二，/ BED=Z BME；四边形BMDE内接于OO,/ HMD=Z BED,/ HMD=/ BME; / BME是AHEM的外角，/ BME=ZMHE+Z MEH,/ HMD= Z MHE+Z MEH.Hv点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角 形的性质、内接四边形的性质.7.如图，A是以BC为直径的。上一点，AD BC于点D,过点B作。的切线，与 CA 的延长线相交于点 E, G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的 延长线相

14、交于点 P.(1)求证：BF=EF：(2)求证：PA是。的切线；(3)若FG=BF,且。的半径长为3J2,求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 2J2【解析】分析：(1)利用平行线截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到 /FA8/EBO结合BE是 圆的切线，得到 PA! OA,从而得到PA是圆。的切线；(3)点F作FHI AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度.详解：证明：(1).BC是圆。的直径，BE是圆。的切线，

15、 EBXBC；又 ; AD BC, .AD/ BE .BFCADGC AFECAGAC,BF CF EF CF,= =DG CG AG CGBF EF=,DG AG.G是AD的中点,1 . DG=AG,BF=EF;(2)连接 AO, AB.,. BC是圆O的直径，3 / BAO90 ；由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点,4 .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又二 OA=OB,/ ABO=Z BAO,.BE是圆O的切线，/ EBO=90 ;5 / FBA+ZABO=90 ；6 / FA9/ BAO=90 ;即 / FAO=90,7 PAX OA,8 .PA是圆O的切线；

16、(3)过点F作FH,AD于点H,E9 . BDXAD, FHXAD,10 .FH/ BC,由(2),知 / FBA=Z BAF, BF=AF.11 BF=FG,.AF=FG, .AFG是等腰三角形. .FHXAD,，AH=GH, , DG=AG, . DG=2HG.即怛1DG 2. FH/BD, BF/ AD, / FBD=90 ；四边形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.HFGADCQFH HG 1 -，CD DG 2BD 1即-,CD 2，亚 2.15, 3.O的半径长为3J2, BC=6a/2 ， .BD=1BC =2 72. 3.结合已点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理

17、、圆周角定理、相似三角形的判定与性质 知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键8.如图，AB是圆。的直径，射线 AM LAB,点D在AM上，连接 OD交圆。于点E,过点D作DC=DA交圆。于点C （A、C不重合），连接 OC、BCs CE（1）求证：CD是。的切线；（2）若圆。的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形 OADC是正方形； 当AD=时，四边形 OECB是菱形.D M【答案】（1）见解析；（2）1 ；J3 . ,【解析】试题分析：（1）依据SSS证明oad0ocd,从而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到

18、 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 /CEO=60,依据平行线的性 质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解： AMXAB,/ OAD=90 :. OA=OC, OD=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形， .AO=AD=1.故答案为：1 .二.四边形OECB是菱形， .OE=CE又 OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1,.AD=.1，故答案为：书.点睛

19、：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等 边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.9.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0, 0),点A(J6, 0T点B(0, J2),点D在劣弧0A上，连结BD交x轴于点C,且/ COD= / CBO.(1)求。M的半径；(2)求证：BD平分/ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点 E,使得直线AE恰为OM的切线，求此时点 E的坐标.【解析】试题分析：根据点 A和点B的坐标得出0A和0B的长度，根据 RtAOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ABD

20、=/ COD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出4AB瞌4HBE,从而得出BH=BA=2j2 ,从而求出0H的长度，即点E的纵坐标，根据 RtAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出 / CBO 的度数，然后根据 RtHBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）;点a为（J6, 0）,点 b为（0, J2），oa=J6ob=J2根据RtAOB的勾股定理可得：AB=2j2 e M的半径r=；AB=J2.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：/ ABD=Z COD / COD=/ CBO，/ ABD=Z CBOBD 平分 / ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得 AB

21、EHBE . BH=BA=2，2，OH=2衣一,2= 2OA 二在 RtA AOB 中，一 J3 . / ABO=60 / CBO=30OB在 RtHBE 中，HE=_BH 2/6.点 e 的坐标为（26 ,四）,333考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数10.如图，AC是。的直径，OB是。的半径，PA切。于点A, PB与AC的延长线交 于点 M , / COB= / APB.（1）求证：PB是。的切线；（2）当MB=4, MC=2时，求。的半径.【答案】（1）证明见解析；（2） 3.【解析】【分析】（1）根据题意 /M + /P= 90,而/COB=/APB,所以有 ZM

22、+ ZCOB= 90,即可证明 PB 是。的切线.（2）设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：（1） .AC是。的直径，PA切。O于点A, .PA，OA 在 RtA MAP 中，Z M + Z P= 90 ；而 ZOOB= / APB,Z M+Z COB= 90 ,/ OBM=90 ,即 OB BP, .PB是。的切线；（2）设OO的半径为r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM为直角三角形，OM2 OB2 BM2,即（r 2）2 r2+42解得：r=3,二OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种

23、思路一种是证明连线是半径，另一种是 证明半彳5垂直.DO11.如图，OO是4ABC的外接圆，AB是直径，过点 O作ODL CB,垂足为点 D,延长 交。O于点E,过点E作PE! AB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点，连接（1）求证：OD= OP; （2）求证：FE是。的切线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（2）证明POEADO可得DO=EQ（3）连接AE, BE,证出AP4AFE即可得出结论.试题解析：（1） Z EPO=Z BDO=90 ZEOP=Z BODOE=OB.,.OPEAODB .OD=OP(2)连接 EA, EB.1. / 1 = /

24、EBC, AB是直径/ AEB=Z C=90 / 2+/ 3=90 / 3=Z DEB / BDE=90 / EBC叱 DEB=90 / 2=Z EBC4 1 / C=90 Z BDE=90 .CF/ OE/ ODP=/ AFP .OD=OP/ ODP=Z OPD / OPD=Z APF/ AFP=Z APF，AF=AP 又 AE=AE.APEAAFE/ AFE=Z APE=90 / FED=90 .FE是。O的切线考点：切线的判定.12.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点 D, E,连接AD,已知/ CAD= / B.(1)求证：A

25、D是。的切线；(2)若 CD= 2, AC= 4, BD= 6,求。的半径.【答案】（1）详见解析；（2）手.【解析】【分析】（1）解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出ODXAD，从而证明AD为圆O的切线；（2）根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以 得出结果【详解】（1）证明：连接OD,c Br,.OB=OD,Z 3= Z B, Z B= Z 1,Z 1 = Z 3,在 RtZXACD中,Z 1 + Z2= 90 ,Z 4= 180 - ( Z2+Z 3) = 90 ,ODXAD,则AD为圆。的切线；1.DF= BF= -BD=32. AC=4, CD=

26、2, Z ACD= 90ad= Vac_cd7=2v Z CAD= Z B, Z OFB= Z ACD= 90ABFOAACD,BF QBAC AD日口 3 OB即=产4 2,5.OB= 2O O的半径为.2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相 似的判定条件是解题的关键13.如图，AB是半圆OO的直径，点C是半圆。上的点，连接 AC, BC,点E是AC的中 点，点F是射线OE上一点.(1)如图 1,连接 FA, FG 若 /AFC= 2/BAC 求证：FAX AB;(2)如图2,过点C作CD,AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点 C重合)，

27、连接FA, FG, FG与AC相交于点P,且AF= FG.试猜想/ AFG和/ B的数量关系，并证明；图1【答案】(1)见解析；( 连接OG,若OE= BD, /GOE= 90,。的半径为2,求EP的长.2) 结论：/GFA= 2/ABC.理由见解析； PE= 1 .6【解析】【分析】由 /EAO+/EOA= 90,推出 Z OFA+Z AOE= 90,推出 Z FAO=(1)证明 ZOFA= / BAC, 90。即可解决问题.(2) 结论：/GFA= 2 Z ABC,连接FC.由FC= FG= FA以F为圆心FC为半径作OF,因为 AG AG ,推出 ZGFA= 2/ACG,再证明 /ACG

28、=/ABC.图2T 中，连接 AG,彳FHI AG于H.想办法证明 Z GFA= 120 ,求出EF, OF, OG即 可解决问题.【详解】(1)证明：连接OC.,. OA=OC, EC= EA, OFXAC,FC= FA,/ OFA= / OFC / CFA= 2/BAC, / OFL / BAC, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 , / OFA+Z AOE= 90 ,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：结论：/GFA= 2/ABC. 理由：连接FC.OF垂直平分线段 AC,FG= FA, FG= FA,FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作OF.Ag

29、 Ag ,/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直径，/ ACB= 90 , .CD AB, / ABO / BCA= 90 ; / BCD+Z ACD= 90 ,/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如图2 - 1中，连接 AG,彳FhlAG于H.图I BD=OE, / CDB= / AEO= 90 ； / B= / AOE, .,.CDBAAEO (AAS),.CD= AE, EC= EA,.AC= 2CD./ BAC= 30 ； / ABC= 60 ,/ GFA= 120 ；. OA=OB= 2,，OE= 1, AE=b，BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / A

30、EO= 90 ,.OG/ AC,DG 3 OG ”33AG JDG2 AD221 ,3 FG= FA, FHXAG,.,AH=HG=叵,/AFH= 60。，3什 AH 2、7AF= ,sin 603;彳 1在 RtAEF中，EF= VAF2 AE2-,34 OF= OE+EF=,3. PE/ OG,.PE EF, , ,OG 0F1.PE, 3.4，33PE=.6【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三 角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如

31、图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.cS3一141)见解析；(2)成立；(3) 一5【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出/OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK

32、、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可. 【详解】(1)证明：.AB为直径,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,1“OBC 180 BOC 2ADC 90 ,ACD 90 A ,1 1802 A 90 A ,2OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFE DFA ,BCD BAH ,根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,CH CF,EH EF,同理DF DK ,DE 3,HK 2DE 6 ,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE 6,BC GC,MCK BCK