中考数学压轴题归类复习十大类型附详细解答

1、中考数学压轴题辅导（十大类型）目录动点型问题3几何图形的变换（平移、旋转、翻折） 6相似与三角函数问题9三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）13与四边形有关的二次函数问题 .16初中数学中的最值问题 .19定值的问题 .22存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） .25与圆有关的二次函数综合题 .29其它（如新定义型题、面积问题等） .33参考答案 .36中考数学压轴题辅导（十大类型）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图

2、形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知

3、函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y的方程），变形写成y = f （x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建 立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又 可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。

4、是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是 对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。 因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心 定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点” 一个时 问上的限制，如果超过你设置的上限，必

5、须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证 选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一 小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤 给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但 是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用 三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正 确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的

6、特点、结构， 以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思 路和方法.当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆 盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能

7、忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例1.(基础题)如图，已知抛物线y=x2-2x - 3与x轴从左至右分别交于 A B两点，与y轴交于C点，顶点为D.(1)求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；(2)若线段AD上有一动点E,过E作平行于y轴的直线交抛物券于F,当线段EF取得最1r A大值时，求点E的坐标./变式练习：(2012?杭州模拟)如图，已知抛物线/口6-1) 加如日丰0)经过点A(-2, 0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM/ AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OMf 点C, B在x轴正半轴上，连接BC

8、(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线 OM1动，设点P运动的时 问为t (s) .问：当t为何值时，四边形DAO盼别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC=OB动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC?口 BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们运动的时间为t (s),连接PQ当t为何值时，四边形BCPQ勺面积最小？并求出最小伯.（4）在（3）中当t为何值时，以O, P, Q为顶点的三角形与 OADf目似？（直接写出答案）苏州中考题：（2015年苏州）如图，在矩形 ABC

9、Dfr, AD=acm, AB=bcm （a>b>4）,半径为2cm的。在矩形内且与AB AD均相切.现有动点 P从A点出发，在矩形边上沿着 A- B- C-D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；。在矩形内部沿AD向右匀速 平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当。回到出发时的位置（即再次与 AB 相切）时停止移动.已知点 P与。同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终 止位置）.（1）如图，点P从A-B-CfD,全程共移动了 cm （用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s,到达BC的中点.若点P与。的移动速度相

10、等，求在这5s时间内圆心O移动的距离;（3）如图，已知a=20, b=10.是否存在如下情形：当。到达。的位置时（此时圆心矩形对角线BD上），DP。0恰好相切？请说明理由.二、几何图形的变换(平移、旋转、翻折)例2.(辽宁省铁岭市)如图所示，已知在直角梯形 OAB5, AB/ OC BQx轴于点C, A(1, 1)、B (3, 1).动点P从。点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线.OA垂足为Q设P点移动的时间为t秒(0<t<4), /XOPOW直角梯形OABCt叠部分白面积为S.(1)求经过Q A、B三点的抛物线解析式；(2)求S与t的函数关系式

11、；(3)将4OP侬着点P顺时针旋转90° ,是否存在t,使得OPQ勺顶点。或Q在抛物线 上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.变式练习：如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线l ： y=3x+m与x轴、y轴分别交于4点A和点B (0, - 1),抛物线尸*+人代经过点B,且与直线l另一个交点为C (4, n).(1)求n的值和抛物线的解析式;(2)点D在抛物线上，且点 D的横坐标为t (0< t<4). DE/ y轴交直线l于点E,点F 在直线l上，且四边形DFE劭矩形(如图2).若矩形DFEG勺周长为p,求p与t的函数 关系式以及p的最大值；(3) M是平面

12、内一点，将4 AO畸点M沿逆时针方向旋转90°后，彳4到AA QB,点A、Q B的对应点分别是点Ai、O、B.若AiOB的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点Ai的横坐标.苏州中考题：(2014-2015学年第一学期期末高新区)如图1,在平面直角坐标系xOy中， 31 2直线l： y=±x + m与x轴、y轴分别父于点A和点B(0, 1),抛物线y= - x + bx+c经42过点B,且与直线l的另一个交点为C(4, n).(1) 求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<t<4) . DE/ y轴交直线l于点E,点F在 直线l上

13、，且四边形DFEG1形(如图2).若矩形DFEG勺周长为p,求p与t的函数关系 式以及p的最大值；(3)将4AO彘平面内经过一定的平移得到 AiOBi,点A、O B的对应点分别是点 A、 O、B.若AiOB的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点Ai的横坐标为.困1图2三、相似与三角函数问题例3.(四川省遂宁市)如图，二次函数的图象经过点D(0, 773),且顶点C的横坐标为4, 9该图象在X轴上截得的线段AB的长为6.(1)求该二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点 P,使P- PD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 Q,使QABt ABC相似？如果存在，求出点 Q

14、的坐标；如果不存在，请说明理由.变式练习：如图1,直角梯形 OAB。，BC/ OA OA=6 BC=2 / BAO=45 .(1) OC的长为;(2) D是OA上一点，以BD为直径作。M, OM交AB于点Q当OM与y轴相切时，sin/ BOQ=;(3) 如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动 点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-。向点O运动.当点P到达点A时，两点同时停 止运动.过点P作直线PEE/ OC与折线O- B- A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求 当以B、D E为顶点的三角形是直角三角形时点 E的坐标.苏州中考题：（2013年 28题）

15、如图，点O为矩形ABCD勺对称中心，AB= 10cm, BO 12cm.点E, F, G分别从A, B, C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是 EB'F,设点E, F, G运动的时间为t （单位：s）.（1）当1=s 时，四边形EBFB'为正方形； 若以点E, B, F为顶点的三角形与以点F, C, G为顶点的三角形相似，求t的值； 是否存在实数t ,使得点B'与点O重合

16、？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.（第帮西）t各山军C面积与相似：（2012苏州，29 ）如图，已知抛物线？ = 4?2 - 4（? + 1）? +?4（?是实数且？ > 2）与x轴的正半轴分别父于点 A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.点B的坐标为，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）； 请探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形PCOB勺面积等于2b,且 PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由;请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q使彳# QCO QOAffizQAB中的任意两个三角形均相似（全等可

17、看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在， 请说明理由.四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例4.（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC勺长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将 POC 沿PC翻折得到 PEC再在AB边上选取适当的点D,将PADS PD翻折，得到 PFD使 得直线PE PF重合.（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数 关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC勺内部，如图，设OP= x, AD= y,当x为何值时，y取

18、 得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、G D三点的抛物线上是否存在点 Q使PDQ®以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.P图P 图变式.（广东省深圳市）已知：RtABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB与x轴重合（其中OA OB,直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）.（1）求线段OA OB的长和经过点 A B、C的抛物线的关系式.（2）如图2,点D的坐标为（2, 0）,点P （m, n）是该抛物线上的一个动点（其中no0, n>0）,连接DP交BC于点E.当4BDE是等腰三角形时，直接写出

19、此时点E的坐标.又连接CD CP（如图3）, zXCDPt否有最大面积？若有，求出 CDP勺最大面积和 此时点P的坐标；若没有，请说明理由.12苏州中考题：（2013年,29题）如图，已知抛物线y=-x+bx + c （b, c是常数，且c<0） 2与x轴分别交于点A, B （点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为（-1, 0）.（1）b =，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；连接BC,过点A作直线A曰BG与抛物线y=1x2+ bx + c交于点E.点D是x轴上一 点，其坐标为(2, 0),当C, D, E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在

20、(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB, PC设所得八PBC的 面积为S.求S的取值范围；若4PBC的面积S为整数，则这样的 PBC#有 个.（箫29 S）五、与四边形有关的二次函数问题例5.（内蒙古赤峰市）如图，RtABC的顶点坐标分别为A （0,於）,B（ 1,赵），C 22（1, 0）, /AB生90° , BC与y轴的交点为D, D点坐标为（0,2）,以点D为顶点、y 3轴为对称轴的抛物线过点B.（1）求该抛物线的解析式;（2）将 ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B',求证：四边形AOCB是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上；（3

21、）延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F,是否存在这样的点不存在，说明理由.D变式练习：（2011年苏州28题）已知四边形ABC比边长为4的正方形，以AB为直径在正 方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点 A B重合），连接PA PB PC PD（1） 如图，当PA的长度等于 时，/ PA氏60° ;当PA的长度等于 时，4PA皿等腰三角形；（2） 如图，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐 标系（点A即为原点O）,把APAD APAEB zPBC的面积分别记为Si、&、&.坐标为（a, b）,试

22、求2 Si S3 S2的最大值，并求出此时a, b的值.Rd （B x（图）（图）苏州中考题：（2011年,29题）已知二次函数y ax2 6x 8 a 0的图象与x轴分别交于 点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.（1）如图，连接AC将OACS直线AC翻折，若点。的对应点O"恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；（2）如图，在正方形EFGhfr,点E、F的坐标分别是（4, 4）、（4, 3）,边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG±的任意 一点，则四条线段PA PB PG PD不能与任何一个平行四边形的四条边

23、对应相等（即这四 条线段不能构成平行四边形）若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成 立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a,使得四条线段PA PB PC PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即 这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由.（图）f图）六、初中数学中的最值问题 例6. (2014?$南)如图，又t称轴为直线x=2的抛物线经过A ( - 1, 0), C (0, 5)两点, 与x轴另一交点为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),点P是第一象限内的

24、抛物 线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时，求四边形MEFP勺面积的最大值，并求此时点 P的坐标;(3)若PCM1以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEFW长最小？请说明理由.变式练习.（四川省眉山市）如图，已知直线y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,2抛物线y=x2+ bx+c与直线y= lx+1交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点 22坐标为（1 , 0）.（1）求该抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上找一点 M使|AW MC的值最大，求出点M的坐标.苏州中考题：(2012

25、江苏苏州，27, 8分)如图，已知半径为2的。与直线l相切于点A, 点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C, PC与。交于点D, 连接PA PB,设PC的长为？?(2 < ?< 4).5当？= 2时，求弦PA PB的长度；当x为何值时，？?的值最大？最大值是多少?七、定值的问题 例7.(湖南省株洲市)如图，已知 ABC为直角三角形，/ ACB= 90。，A最BQ点A C在x轴上，点B的坐标为(3, m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1 , 0)为顶点的 抛物线过点B、D.(1)求点A的坐标(用m表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)设点Q

26、为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ 并延长交AC于点F,试证明：FQAa EQ为定值.变式练习：（2012江苏苏州，28, 9分）如图，正方形ABCD勺边AD与矩形EFGH勺边FG重 合，将正方形ABCD 1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过 程中，边AD始终与边FG重合，连接CG过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD 已知正方形ABCD勺边长为1cm,矩形EFGH勺边FG GH的长分别为4cm 3cm.设正方形移动时间为X (s),线段GP的长为y (cm),其中0 < ? < 2.5.试求出y关于x的函数

27、关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP勺面积为？?1, zCDG勺面积为？?2,试说明？?1- ?2是常数；当线段PD所在直线与正方形 ABCD勺对角线AC垂直时，求线段PD的长.苏州中考题：（2014年?苏州）如图，二次函数y=a （x2-2mx- 3向（其中a, m是常数，且a>0, m>0）的图象与x轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于C （0,-3）,点D在二次函数的图象上，CD/ AB,连接AR过点A作射线AE交二次函数的图象E, AB平分 / DAE(1)用含m的代数式表示a；(2)求证：典为定值;AE(3)设该二次函数图象的顶点为 F,探索:在

28、x轴的负半轴上是否存在点 G,连接GF以线段GR AD AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.八、存在性问题(如：平行、垂直，动点，面积等) 例8、(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0,0) , A(6,0),2 .0(0,3).动点Q从点。出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动 3点P从点A出发以相等的速度沿 AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示OP, OQ

29、;(2)当t 1时，如图1,将4OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；(1)连结AC ,将4OPQ沿PQ翻折，得到4EPQ ,如图2.问：PQ与AC能否平行？ PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.变式练习：如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A (1, 0), B(-3, 0)两点，与y 轴交于点C,抛物线白顶点为P,连接AC.( 1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q,求直线DC的 解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在一点 M使得SJama=2&acp?若存在，求出M点的

30、坐标；若不 存在，请说明理由苏州中考题：（2015年苏州本题满分10分）如图，已知二次函数y x2 1 m x m （其中0<mK 1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴 为直线l .设P为对称轴l上的点，连接PA PC, PA=PC.（1） / ABC的度数为。；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点。不重合），使得以Q B、C为顶点的三角形与 PAC 相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如1y果不存在， 请说明理由.模拟试题：在如图的直角坐标系中，已知点 A (1, 0)、B

31、(0, -2),将线段AB绕点A按 逆时针方向旋转90°至AC若抛物线y= -；x2+bx+2经过点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q (0, -2)作不平行于x轴的直线交抛 物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点 P,使4PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(3)在抛物线上是否存在一点 M使得以M为圆心，以回为半径的圆与直线BC相切？若2存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.卸却邳九、与圆有关的二次函数综合题：例9.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,其顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.(1)求二次函数的解析式；(2)求 ABC外接圆的半径及外心的坐标；(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形 ACPB勺面积最大值.变式练习：如图，已知抛物线y=a (x-2) 2+1与x轴从左到右依次交于 A B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3, 0),连接AC BC(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为抛物线的对称轴上的一个动点，连接 PA PB PC设点P的纵坐标表示为mi试探究：当m为何值时，|PA-PC|的值最大？并