常用积分公式

1、kdx kxx dx(1)常用积分公式表例题和点评k为常数)12 dx xc,xdx(4)(6)(10)32 2 x23工 dx 2/x c x1 dxxaxdxln|x|axInc,*xxe dx esin xdxcosxdx12 dx sin x12dx cos xa2cosxsin x c1 dx2x1 a22 dx x2 dx a2 x2122 dxx atan xdxcsc2xdxse(2 xdx.一 xarcsin- a1 arctan xcotxtanxc (ac (a0),特别,dx arcsin x c0),特别,1,dx arctanx c1 x221aln1 In 2ac

2、 (a 0)c (a 0)In cosx cot x dx Insinx(14)cscx dx1 dx sin xIn cscxcot x(15)secxdx1 dx cosx(16)x22 aa22x cx2a2c1(18)(a 0)dx=ln(19)(20)InInln, x tan-2secxtan;tan xTt二 a2 arcsin xxa2(a 0) x2a .In x2eaxsin bxdxeax cosbx dx12 22、n dx(a x )跟我做练习asin bx b cosbx2,2a bbsinbx acosbx2.2a bax eax ex222、n 12(n 1)a

3、 (a x )2n 32(n 1)a2n 1 c （递推公式）（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式例24 含根式Vax2bxc的积分 x2 4x 5dx(x 2)21d（x 2）套用公式(x 2)2 11一 ln (x22) ,(x 2)2 1 x、, x2 4x 5dx12(2x4) 4 x2 4x 5dx(4)(6)1-.x 4x5d(x2 4x 5) 2 , x 4x5dx（请你写出答案）1. 二dxx2 4x 5I 1 d(x (x 2)2 12) ln x 2、,(x 2)2 1,x2 4x 5dx（请你写出答案）.5 4x x2dxx ,5 4x

4、x2dx(2x 4) 4 dxx2 4x 5.32(x2)2d(x2x)-.5 4x x2 d(5 4x 2（请你写出答案）dx5 4x x2xdx.5 4x x2（请你写出答案）x2)_d(x=2)=.3212)22)套用公式式d（x2 4x 5）4x 532arcsin 2套用公式4 5 4x x2dx2 .5 4x x2 dxarcsin-2套用公式 31(4 2x) 4 dx2.5 4x x2, 2、1d(5 4x x2)25 4x x21例25 求原函数-dx .1 x因为 4一 24- 22 2x4 (1 2x2 x4) 2x2 (1 x2)2(2x)2 (1 2x所以令12dx,

5、x2 4x 5x 2 -222 ；3 (x 2)2 dx5 4x x2x2)(1 2xx2)Ax BCx D1 x4-=一 一一(A,B,C,D 为待定常数) .2x 1 x22x 1(Ax B)(x2 ,2x 1) (Cx D)(x2 2x 1)x2. 2x 1 x2 ,2x1从恒等式（Ax B）（x2.2x 1) (Cx D)(x2J2x 1） 1（两端分子相等），可得方程组A .2B,2A BB DC 、2D,2C DA C1000（常数项）（一次项系数）（二次项系数）（三次项系数）解这个方程组（在草纸上做），得A表,B2,C止,D-.因此, 2右端的第一个积分为2x 1dx类似地,所以

6、14 2dx x14.2(2x1_ x2 2 _x2 .2xx2 2x 112dx112 2xx22x 1dxdx14.2(2x . 2)dxx2 2x 11x22x 1dxd(x22x 1)x2,2x12 2x 2rdx（套用积分公式）1 224121n(x22x1)2.2arctan(. 2x1)右端的第二个积分为11,2x 11 4”xV2x 1) f=2,2arctan( 2x 1)1 rvdx1_ in x2 V2x 14 2 x2 2x 12x 11厂1厂arctan(、. 2x 1)arctan(、.2x 1)2.22.21 J x2 .2x 14.2 口 x22x 11, 2x

7、=arctan2 (见下注)2.21 x2【注】根据tan( ) -tan一tan,则 1 tan tantan arctan(*./2x 1) arctan(：，2x 1)(2x 1) ( 2x 1)2 2x 2x1 ( 2x 1)( 2x 1) 2(1 x2) 1 x2因此,arctan( 2x 1) arctan( 2x 1)arctan2x1 x2 d dx例 26 求(01).1 cosx, dx一.【关于笠(01),见例17】1 cosxx解令t tan (半角替换)，则22 x 2 xcosx cos - sin 一 222 x2cos2- 121 t2dx d(2arctan

8、t)2 2 dt1 t22 x sec 一2,2 x tan2t2于是,dx1 cosxdtdt(1(1 )t2t2、1_ arctan2.1_ tan- c22【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数 y y(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y (x) 眄-y(x-h)一y(x) 或 dy y (x)dx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如xx21e sin x e dx, dx,一dx, dx 等In x xx都不能表示成初等函数.因此，一般说