带电粒子在磁场中的运动解题技巧

1、带电粒子在磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题， 而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）;带电粒子如果沿半径方向射入具有圆

2、形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。MNB勺匀强磁场。正、负电子同时从同3如图所示，直线上方有磁感应强度为例1. OMNvm）e它们从磁场射入磁场（电子质量为成30。角的同样速度，电荷为一点以与中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4）,由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点LT AsmAf = Brs由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、相距=2,=找半径和用对称。rv的圆形区域

3、内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度5所示，在半径为例 2.如图 。MNOMON= 120点射出，。时，求：带电从点为圆心。当/点沿半径方向射入磁场区，并由R及在磁场区中的运动时间。粒子在磁场区的偏转半径E3-5日 KM NOM ONO即为带电粒子作圆周的垂线，此两垂线的交点点作半径解析：分别过运动时圆弧轨道的圆心，如图 6所示。MNO O'的边线为该圆心角由图中的几何关系可知，圆弧0 ,所对的轨道圆心角为60I苏R=r=/tan30的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为。国耳qB:故带电粒子示半子带电粒的轨道径可表为运动周期：又_；枢氏I 二 - Ff 反i = J =芋 X带电粒

4、子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7）,用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。Svm质量为，所示，0度范围内发射速度大小为为电子源， 它在纸面360例3.如图80qqMNSL 挡板左侧充的电子（是一块足够大的竖直挡板，与<0）,电量为的水平距离为 mvqL求挡板被电子击中的范围为多大？ /满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为0w/ HHiKL II ao 阳s四=9S点旋转的动态圆，粒子的轨迹为绕且动态解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，圆的每一个圆都是逆时针旋转

5、，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最MNPMNSQQ为最，最低点为动态圆与高点为动态圆与为直径时的相切时的交点相割，且单"E = w y低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由得:蟆二坨二国SO=L , SQSQ=L由几何关系得：为直径，则：2LOP= P o为切点，所以，所以粒子能击中的范围为 s 2xyyAx.范围内有垂直于 0«« 0所示，在（ 例4. 2010全国新课程卷）如图 10BO处有一个粒子源，在某时刻发射大平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。坐标原点mqxy平面内，的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均

6、在量质量为、电荷量为y己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到90°范围内。与轴正方向的夹角分布在 0a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：y轴正方向夹角正弦。）速度方向与 2）速度大小；（1 （vR,由牛顿第二定律和洛仑兹 解析：设粒子的发射速度为，粒子做圆周运动的半径为mv,解得：。力公式得:RaOR作“动态圆”，如图11V （从 所示，由图不难看出，在磁场中点以半径C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。其轨迹是圆心为设该粒子在磁场运动时间最长的粒子，2OCAJ。，依题意，所以/中的运动时间为轴正方

7、向的夹角为y”，由几何关系得：设最后离开磁场的粒子的发射方向与sir. a =6-启1D化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆(如图 的轨迹，使问题得到解决。,解得：三、缩放圆法带电粒子以大小不同， 方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变12),利用缩放的动态圆，可以探索出临界点dB, 一电子从左边界垂直匀强所不，匀强磁场中磁感应强度为，宽度为快J 5 .如图13em。，要使电子能从轨，已知电子的质量为磁场射入，入射方向与边界的夹角为，电量为道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨

8、道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率v,带电粒子在磁场中作圆周运动，由大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为or+r 0 d =几何关系得：cos:,所以供提向心力：力伦时运场在电 子磁中动洛兹得：，所以电子从另一侧射出的条件是联立解速度大于d,电所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为卷）如图 15. （2010全国II 例6UB方面 平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边压为，两板间有匀强磁场，磁感应强度为0aEFGE边与金属板垂直），有一边长为（的正三角形区域在此区域内及其边界上也有匀强Bq的正离子沿平行于磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。假设一系

9、列电荷量为EF金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经H射入磁场区域。不计重力。边中点EGE叫出磁场，求离子甲的质量；）已知这些离子中的离子甲到达边界后，从边界 （1EGIGI长为）已知这些离子中的离子乙从点（图中未画出）穿出磁场，且边上的（2a/4 ,求离子乙的质量；3（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达?qvBqUd解=解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：/ w=U/Bd（为一定数值）。得离子的速度为：0m改变，但质量结合带电离子在磁场中做匀速圆周运

10、动的半径 分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图EGAEFK,与边相切于（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图虽然离子速度大小不变，R=mv/qB16中的动态圆。公式17中的半圆，半圆与aRaB ） ° cos30tan15 0 =（边垂直相交于点，由几何关系可得半径:m从而求得离子甲的质量EIO中，由余弦定理得：）离子乙的运动轨迹如图 18所示，在A（22瞪=中室-底-吟仁-小如附R24 ,=,解得二日的金昭u£7（3）由半径公式可知R=mv/qBRm结合（1） （°02）问分析可得:若离子的质量满足/2（,甲甲mmmEH离开磁场，则所有离子都垂直

11、（离开磁场的位RRHS置到之间，即的距离介于到2甲甲mmmEG离开磁场，离开磁场的位置介若离子的质量满足< <,则所有离子都从 二甲IEIEAEAIAE=于。到距离之间，其中的距离 四、临界法rv和速度 以题目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等词语为突破口，借助半径B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然以及磁场后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图 19.长为所示，磁感应强度 7 例BLmq勺 带负电粒子（不计重力）为，板间距离也为电量为，两极板不带电，现有质量为v射入磁场，欲

12、使粒子打到极板上，求初速度的从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度范围。解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界OAB在直角三角形打到右边界时，21所示，分别作出两个状态的轨迹图，如图20、图状态，解得轨道半径中，由几何关系得:因此电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力所示，由几何关系得轨迹半径21打在左侧边界时，如图向心力所以供运电子在磁场中动时洛伦兹力提v<&所以打在板上时速度的范围为30射出与0mq adL, ab边足abcdB,方向垂直纸面向里内充满磁感应强度为.如图 22, 一足够长的矩形区域例8adOOdV勺 带电粒子，。，大小为边夹角为的匀强磁场，现从矩形区域边中点够长，粒子重力忽略不计。求：边长为已知粒子质量为，电量为abv的大小范围；(1 )试求粒子能从边上射出磁场的0(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围Oab边射出的粒子的点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆,能够从（1）画出从 解析：dcabAO则边上的所示，轨迹与临界轨迹如图23点，此时轨迹圆心为边相切时，射到Lr得最大速度。轨道半径，由ababBOrL/3点，此时轨迹圆心为轨迹与，则轨道半径边相切时，射到，