(整理)不定积分与定积分的运算.

1、精品文档精品文档不定积分与定积分的计算1 .不定积分1.1 不定积分的概念原函数：若在区间I上F'(x) = f(x),则称F(x)是/的一个原函数.原函数的个数：若网幻是/在区间I上的一个原函数,则对Vc， 尸+ C都是/在区间I上的原函数；若 G(l)也是/在区间I上的原函 数，则必有 G；一：一.可见，若F,则/的全体原函数所成集合为F(x) + c I cf R.原函数的存在性：连续函数必有原函数.不定积分：的带有任意常数项的原函数称为/(»的不定积分。记作f (x)dxIx.上连续，aw I ,则f(t)dt是的一个1 a了原函数。1.2不定积分的计算(1)裂项积分

2、法例 1:x-z一1dx = x-，2 dx = (x2 -1 )dx = - - x 2arctanx Cx2 1x2 1x2 13例2:dxcos2 x sin2x ,22 .,2- = 22dx = (csc x sec x)dx22(x 1) -x=22dx =x2(x2 1)dx 2xcos xsin x cos xsin xdx 12 二 一一一 arctan x C1 x2 x(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分Jcos2xdx ,如果凑上一个常数因子2,使成为C ,1C ,1C C1cos2xdx=- co

3、sx*2xdx=- cos2xd 2x =sin2x C222dx例 4：3 -x1- =2= 24.1. x=2arctan x C例5:J 一 =d 1 =- 1 1 d1 x2 1 x21 x2 x x 1 1 x.W2.1二wJ wT2卜即2C"1.：arctan x例 6: f-、x(1 x)arctan x , t = xdx = 2d x = 2arctant2 dt=2 arctant d(arctant) =(arctgt)2 c = (arctg . x)2 c .(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下:被积函数包含n/a

4、x+b,处理方法是令Uax + b=t, x =(tn-b)； a被积函数包含Ja2-x2 (a > 0),处理方法是令x = sin t或x = cost ;被积函数包含da2 +x2 (a a 0),处理方法是令x = tant;被积函数包含Jx2 a2 (a >0),处理方法是令x=sect;例 7 ：计算 f Ja2 - x2 dx(a > 0 )解：令jix 二 asint, - _ t :x一，则t =arcsin 一，一a W x E a ,且=a cost = a cost,dx = acostdt,从而-x2dx，2 ,2 ,fa cost .a costd

5、t =a J cos tdta.1 cos2t 出a 1 . t sin 2t J，C = t sin t cost C由图2.1知.x sin t 二一a工 .a -xcost 二a所以 a2 -x2dxa 一 x a一arcsin 一 一2a . x x -2 20arcsin 一 a - x C2 a 2,一，dx t*'12dtdt例 8: =6 t =-6 (1 t)dt 6 =x-3x21-t1-t(4)分部积分法当积分f f(x)dg(x)不好计算，但fg(x)df (x)容易计算时，使用分部积分公式 jf (x)dg(x) = f (x)g(x) - >g(x)d

6、f (x).常见能使用分部积分法的类型:(1) Jxnexdx , fxn sinxdx,xn cosxdx等，方法是把 ex,sin x,cosx移至U d 后面, 分部积分的目的是降低x的次数(2) fxn lnm xdx, jxn arcsinm xdx, jxn arctanm xdx等，方法是把 xn移到 d 后面, 分部几分的 目的是化去ln x, arcsin x, arctan x .2 x ,2 , x 2 x x例 9： x e dx = x de = x e - e 2xdx =2 x2 xxx、Yo_x e -2 xdx = x e -2(xe - e dx) = ex

7、(x2 -2x 2) CIn x例 10: . 丁 x.11 .1 .dx = In xd 二lnx -dlnx = xx x1 dx 1-In x = (In x 1) C例 11:(1 6x2)arctan xdx = arctan xd(x 2x3)=x 2x3arctan x 一x 2x31 x2dx =x 2x3 arctanx j 2x 2 dx =3212_x 2x arctanx -x -ln 1 x C例 12:cos2 xdx = cosxdsin x = cosxsin x - isin2 xdx =cosx sin x + x - J cos2 xdx,x 1斛得 co

8、s xdx sin 2x c.2 4例 13:sec xdx = secx sec xdx = secxdtgx = secxtgx - tgxsecxtgxdx23= secxtgx - (sec x -1)secxdx = secxtgx - sec xdx» i secxdx =3,= secxtgx ln | secx tgx | - sec xdx,解得sec3 xdx =-secxtgx - ln | secx tgx| c.以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例14设函数f(x)的一个原函数是snx,求x(x)dx。 x解:sin x _ xc

9、osx -sin xf(x) = =2xxx cosx 一 sin x sin xxf (x)dx = xd( f (x) = xf (x) - - f (x)dx =x2 cxx2sin x =cosx - cx评:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法arctanx例15计算xRx(1x2)2说明涉及到arcsin x,arctan x的积分一般有两种处理方法.(1)用分部积分法；(2) 作变量替换令arcsinx = 1或arctanx = tarctan xarctan x解法一：e-rdx-3d(1 x2)=2 earctanxd(1 x2)，2 (x2尸2：11x2arc

10、tan x e11 x2dx.arctan xI arctan x e=/ e + f3dxd x2(1 x2)2评:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法解法二:令 arctanx = y, x = tan yarctan xxe .3-dx 二(1 x2)2tan y ey sec2 y . y .1 y,1 arctan x=e21 x211 x2评:变量替换后几分的难度大大降低，Jsinyeydy是每种教材上都有的积分.2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算(1)基本积分法例16计算广dx(1 5x2 ),1x2解："v x =tan

11、t,则dx(1 5x2) ,1 x2Tt石- 0sec2 tdt(1 5tan2t)sect五一石costdt0 cos21 5sin216 d(2sint)2 0 1 (2sint)21 ，一.、=-arctan(2sint)(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小信函数例17计算f3xx 2dx0Q解:32381°xx -2dx = Iox(2 - x)dx+ f2x(x -2)dx =- 一 3例 17 计算 §maxx,1 xdx3 dy = sin ye dy =-e (sin y - cosy) C sec y2解:ii°maxx,

12、1 xdx=。2(1 x)dxxdx =- 5(3)利用函数的奇偶性化简定积分0f(x)dx= J aof(x)dx当f (x)是奇函数当f (x)是偶函数1c c例 18 计算 j(x + U1 + x2)2dx1 11解：(x .1 x ) dx=1dx 2x .1 x dx=2+0=21例19计算j(x十x)e"xdx解：J(x + x)e"dx= Jxe*dx + J1xe* dx_1。. 一 1=02 xe dx = 2 - 4e二八x 2 .例20计算J 4*xdx xV 1 e分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化 简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。二-x _,_2 解：z.e sin x x-7 1 edx 二二 x24 e sin x1 ex_x _ 2 e sin x1 exdxc 八X -20 e sin x1 exdx =0esin2 3(-y)4：1 e，d(.y) = ；e's1n y1 e-ydy =tsin2 y01 - eydy= 07sin2 x1 exdx所以ji4n-4一X 2 e sin x1 exdxin04一X2e sin x1 ex:.0dx