备战中考数学圆与相似综合题汇编含详细答案

1、备战中考数学圆与相似综合题汇编含详细答案、相似Lj1.如图，已知二次函数y=ax2+ 士 x+c的图象与y轴交于点A （0, 4）,与x轴交于点B、请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c的表达式;(1)(2)判断 ABC的形状，并说明理由;(3)若点N在x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点 B、C重合），过点 N作NM / AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点 N的坐标.【答案】（1）解：. A （0, 4） , .-.c=4,把点 C坐标（8, 0）代入解析式，得：a=-，二次函数表达式为(

2、2)解：令y=0,则解得，x1=8, x2="-2" ,.点B的坐标为(-2,0),由已知可得，在RtA AOB 中,AB2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 RtA AOC 中 AC-2=AO2+CC2=42+82=80 ,又 . BC=OB+OC=2+8=10 .在4ABC中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2 , . 4ABC是直角三 角形；（3）解：由勾股定理先求出AC,时，NO=CO=8, .此时 N (-8, 0)AC=M - 6 点，在x轴负半轴，当 AC=AN ;在x轴负半轴，当 AC=NC时，NC=AC=.曰,.CO=8,NO=(8-,

3、0）；在x轴正半轴，当 AN=CN时，设CN=x,贝U AN=x,此时 N (3, 0);ON=8-x,在 RtA AON 中,|斟十出一、/= .r ,解得：x=5,在 x 轴正半轴，当 AC=NC时，AC=NC=A/ , .ON=J、ON=3,+ 8,，此时;综上所述：满足条件的N点坐标是（-8, 0）、（ 8-, 0)、( 3,0)、 (8+0)；（4）解：设点 N的坐标为（n, 0）,则BN=n+2,过M点作MD，x轴于点D, .MD / OA, . . BMDsBAO,. OA=4 ,BC=10 , BN=n+2 ,瞰 MbBA OA , . MN /AC,一1MD= 3( n+2

4、),期)BSOA BC ,. ' Sa amn= Saabn- Sabmn = BMDsBAO,于是有比，也例式即一钢，根据平行线分线段成比例定理可得所以期 将已知线段代/1112-BN L QA - -BN ' W - - X (n * 2) X 4 -二 X :彷如 X (n * 2) (J4BJifqqju-U1.I_(n 3)1+5, 一，0,，n=3时，S有最大值，当AAMN面积最大时，N点坐标为（3, 0）.【解析】【分析】（1）用待定系数法可求二次函数的解析式;（2）因为抛物线交 x轴于 曰C两点，令y=0,解关于x的一元二次方程可得点 B的坐 标，然后计算 AB

5、、BC AC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；（3）由（2）可知AC的长，由题意可知有 4种情况：在x轴负半轴，当 AC=AN叱 在x轴负半轴，当 AC=NC时； 在x轴正半轴，当 AN=CN时； 在x轴正半轴， 当AC=NC时；结合已知条件易求解；（4）设点N的坐标为（n, 0）,则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得入比例式可将 MD用含n的代数式表不出来，根据三角形的构成可得Saamn= Saabn- Sabmn =/1-? BN?OA-BN?MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的性质即可求

6、解。 2.如图：在 中，BC=2,AB=AC点D为AC上的动点，且10(1)求AB的长度；(2)求ADAE的值；(3)过 A 点作 AHXBD),求证：BH=CD+DH.【答案】(1)解：作AM ± BC, . AB=AC,BC=2 AM ± BC, 1.BM=CM= BC=1,在 RtAAMB 中， 留 xfji .cosB=,BM=1,y/7dAB=BM + cosB=1 1 4 =寸位.(2)解：连接CD, .AB=AC,/ ACB=Z ABC, 四边形ABCD内接于圆O, / ADC+Z ABC=180, °又 / ACE+Z ACB=180,/ ADC=

7、Z ACE, Z CAE之 CAD, .EACACAD,A 凶, .AD AE=AG=AE2=2=10.(3)证明：在 BD上取一点N,使得BN=CD,Cl!在 ABN和AACD中AB = AC f/3 = Z1 . 小 CD .ABNAACD) (SAS ,.AN=AD, . AHXBD), AN=AD,.NH=DH,又 BN=CD,NH=DH, .BH=BN+NH=CD+DH./【解析】【分析】(1)作AMBC,由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM=_ BC=1,在BM5RtA AMB中，根据余弦定义得 cosB=川，由此求出AB.(2)连接CD,根据等腰三角形性质等边对等角得 /ACB

8、=/ABC,再由圆内接四边形性质 和等角的补角相等得 /ADC=/ ACE由相似三角形的判定得 EA8 4CAD,根据相似三角 形的性质得网 AE初 水；从而得AD AE=A(2=AB2(3)在BD上取一点N,使得BN=CD根据SAS得 ABN AACD,再由全等三角形的性质 得AN=AD,根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.3.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在4CFE中，CF=6,CE=12/ FCE=45，以点C为圆心，以任意长为半径作 AD,再分别以点 A和点D

9、为圆心，大于AD长为半径做弧，交出于点B,AB/ CD.(1)求证：四边形 ACDB为4CFE的亲密菱形;(2)求四边形 ACDB的面积.【答案】(1)证明：由已知得：AC=CD,AB=DEft已知尺规作图痕迹得：BC是/FCE的角平分线，/ ACB=Z DCB,又 AB/ CD,/ ABC=Z DCB,/ ACB=Z ABC,.AC=AB,又 AC=CD,AB=DB, .AC=CD=DB=BA四边形ACDB是菱形，又 / ACD与4FCE中的/ FCE重合，它的对角 /ABD顶点在EF上, ，四边形ACDB为4FEC的亲密菱形.(2)解：设菱形 ACDB的边长为x, CF=6,CE=12,

10、. FA=6-x, .sin/ACH=把， 产.AH=4 X- =2 ",四边形ACDB的面积为： X入号H也.【解析】【分析】(1)依题可得：AC=CD,AB=DB,BC是/ FCE的角平分线，根据角平分线的定义和平行线的性质得 /ACB=/ ABC,根据等角又卡?边得 AC=AB,从而得 AC=CD=DB=BA根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形；再根据题中的新定义即可得证(2)设菱形 ACDB的边长为x,根据已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x根据相似三角形的判定 6 - x .和性质可得6-1，解得：x=4，过点A作AHLCD于点H,在RtACH中，根

11、据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH再由四边形的面积公式即可得答案.4 .如图(1),已知点 G在正方形 ABCD的对角线 AC上，GE± BC,垂足为点 巳 GF± CD,垂足为点F.BdH D图AG： BE的值为(00< a< 45。)，如图(2)所示，试探究线段图回(1)证明与推断： 求证：四边形 CEGF是正方形； 推断：(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转“角AG与BE之间的数量关系，并说明理由：(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当 B, E, F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长 CG交 AD于点 H.若 AG=

12、6, GH=2 袒,则 BC=:【答案】(1)证明：二四边形ABCD是正方形，/ BCD=90 ； / BCA=45 ；-. GE± BC GFXCD,/ CEG=Z CFG=Z ECF=90,°，四边形 CEGF是矩形，/CGE=Z ECG=45,°EG=EC，四边形CEGF是正方形在 RtA CEG和 RtA CBA 中,Cb 的CL =cos45 =° 2、t>i =cos45 =° 2 ,C6 CA 2=赤 ,一 ,.AC8 4BCE线段AG与BE之间的数量关系为 AG= V- BE(3)为飞【解析】【解答】(1)由 知四边形CE

13、GF是正方形,/CEG4 B=90 ,° /ECG=45,°B、E、F三点共线,/ BEC=135, ° .ACGABCE,/ AGC=Z BEC=135 ,/ AGH=Z CAH=45 ； / CHA=Z AHG, .AHGsCHA,. .云一新F,设 BC=CD=AD=a 贝U AC= . a,AG Ch 6为口则由AC .他得却，.AH= ”,1 皿则 DH=AD- AH= a, CH十戒=3 a,I2-d63AGAh窗豆ylbi Aa由 4f a得,解得：a=3 / ,即 BC=3 xfl,【分析】(1)根据正方形的性质得出 /BCD=90, / BCA=

14、45 ,根据垂直的定义及等量 代换得出/CEG=Z CFG=Z ECF=90,根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出/CGE=Z ECG=45,根据等角对等边得出 EG=EC根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形； 根据正方形的性质得出GE/ /CD,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE/ AB,根据平行线分线段成比例定理得出 GC： EC= AG： BE,根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC： EC=T ,从而得出答案；CG CACE CB ，从而判断出(2 )连接CG,由旋转性质知/ BCEW ACG=,根据余弦函

15、数的定义得出 CE ©° WCG2 CA2 ACGsBCE,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段AG与BE之间的数量关系为AG= . BE ;(3 )根据/CEF=45,点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出/ BEC=135 ,根据 ACGABCE , 得 出 /AGC=/ BEC=135 °, 故 / AGH=/ CAH=45° , 然后 判断出 AHGACHA,根据相似三角形对应边成比例得出AG： AC= GH ： AH = AH ： CH,设BC=CD=AD=a则AC=- a,根据比例式得出关于 AH的方程，求解 AH的值，根据 D

16、H=AD -AH表示出DH,根据勾股定理表示出 CH,根据前面的比仞式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出 BC的值。5.问题提出;(1)如图1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P为BC上的动点，CP= 时， APE的周长最小.(2)如图2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P、点Q为BC上的动 点，且PQ= 2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点 P的位置(即BP的长) 问题解决；(3)如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点 P处修一 个凉亭，设计要求 PA长为100米，同时点 M, N分别

17、是水域 AB, AC边上的动点，连接 P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形 AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形 AMPN面积的最大值是多少？【答案】(1)3(2)解：点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,连接MF ,交BC于Q, 此时MQ+EQ最小，N p Q ： . PQ=3, DE= C曰2, AE= 2、£；,，要使四边形APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,过 M 作 MNLBC于 N, .MN / CD .MNQs"CQcf a .盅V 瓶2 6 - NQ.NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2-

18、2=4(3)解:如图，作点 P关于AB的对称点 G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交 AB, AC于点M, N,此时 APMN的周长最小.,-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,过点A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 & 米，口/.Saagh=上 GHX AO2500、后平方米,S 四边形 ampn= Saagm+Saanh= Skagh Saamn ,S

19、aamn的值最小时，S四边形ampn的值最大，MN = GM=NH=3 时，S 四边形 ampn= Szagh Saamn = 2500 J = ：二 平方米.【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB= CA 4, BC= AD= 8, .E为CD中点, .DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得：AE= 416+疵=k/出*4=2行,即 APE的边AE的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，延长AB到M ,使BM = AB= 4,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P ,此时AP+EP的值最小， 四边形ABCD是矩形， .AB/

20、 CD ,.ECFPAMBP ,CE 色a.CP=故答案为：【分析】（1）延长AB至Ij M ,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接 EM交BC于P, 此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩彩f质得出 AB/ CD,推出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出CP长；（2）点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,连接 MF,交BC于Q,要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行，证 MNQsfCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点 G, 作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 PMN的周长最小.S四 边形a

21、mpn=Sagm+Saanh=Saagh-Sa amn ,即Sa amn的值最小时，S四边形ampn的值最大.6 .已知锐角 4ABC中，边BC长为12,高AD长为8E、F分别在 AB、AC边上，EF(1)如图，矩形 EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点交AD于点K求AA的值设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式, (2)若ABAC,正方形 PQMN的两个顶点在 4ABC 一边上, 两边上，直接写出正方形 PQMN的边长.并求 S的最大值另两个顶点分别在 4ABC的另【答案】(1)解：、EF/ BC .AEFAABC v AD± BC /.AKI EF咬 BC

22、12 =J，:E!l+得:EH EF访* BCy.- EH=x, AD=8, BC=12 . .EF=12国 x .S=EHEF=-+ 12x= 行 沙+24 S的最大值为24(2)解:【分析】根据 EF/ BC得出AEFABC,从而得到,求出答案；根据题意得出EHAbBEEF Ab身和欧加，将两式相加得到附,BC,根据 EH=x,得出 EF=12-X,根据答案S=EHEF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出7 .抛物线y=ax2+bx+3 (aw。经过点A ( - 1, 0) , B (-，0),且与y轴相交于点 C.(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物

23、线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0, y=3,.C (0,3) J设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-幺).J将c (0, 3)代入得：-上a=3,解得a=2,，抛物线的解析式为 y=-2x2+x+3(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N。 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直线AC的解析式为y=3x+3.ACXBM,I 1 =BM的一次项系数为''。BM的解析式为y= ? 二：. ;133# mH将 丫

24、=3*+3与丫= .7二联立解得：x= i ,y= 1| J1.区.MC=BM= 7 / = /. .?MCB为等腰直角三角形。/ ACB=45o. / ACB=45o点D是第一象限抛物线上一点， / ECD>45o.又. ？DCE与？AOC相似，Z AOC=Z DEC=90o,/ CAO=Z ECD.CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4.F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3，将F （4,0）代入得4k+3=0,解得k= 4。 3，CF的解析式为y= ? x+3.J/将y= ' x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0 （

25、舍去）或x=方.0 n g将x= 6代入y= x+3得y=:七.z肾.D （ S ,把）【解析】【分析】（1）易求得 C的坐标，利用交点式设出解析式，再把 C的坐标代入可 求出；（2）过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N.由tan / CAO=3先求出 直线AC的解析式，从而求出 BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之 间的距离求出 MC=BM,进而得出？MCB的形状，求出答案；(3)延长CD,交x轴于点F,由？DCE与？AOC相似可得出CF=AF利用勾股定理求出 F的 坐标，由待定系数法求出CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.8.在

26、正方形 ABCD中，AB=8,点P在边CD上，tan/PBC=',点Q是在射线 BP上的一个 动点，过点Q作AB的平行线交射线 AD于点M,点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP(1)如图1,当点R与点D重合时，求PQ的长；刑1(2)如图2,试探索：，幅的比值是否随点 Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值；(3)如图3,若点Q在线段BP上，设PQ=x, RM=y,求y关于x的函数关系式，并写出 它的定义域.【答案】(1)解：由题意，得嗣=比-6 =必鼠比'r在Rt及中，"靖PC弋融/PBC - TBC.j弋式支/PBC - JPB

27、 PCRP PQ 1062 PQ6(2)解：答：版的比值随点匕的运动没有变化 理由：如图，KH 3 - 一MQ 1融J.耀的比值随点儿的运动没有变化，比值为4(3)解：延长 屏交态的延长线于点b/拓PD 必 二 .AB VAA 'A = ND 四=8，&926,0 x 它的定义域是【解析】【分析】(1)由题意解直角三角形PBC可求得CP=6, PB=10,根据 PBCAPRQ可得比例式求解；AV KPC 6 3 由题意易得RMQsFCB,可得比例式 必 应，由(1)知应I3/为一定值，所以居的比值不会发生变化；(3)延长B P交A D的延长线于点 N,因为PD/ AB,所以由平

28、行线分线段成比例定理可得比例式求得ND、PN,由题意易得PD/ MQ,根据平行线成比例定理可得比例式PD A7二第 4t,则y与x的关系可求解。、圆的综合9.如图，已知 4ABC内接于OO, BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长 线于点G,垂足为F.连接OC.(1)若/ G=48 ,求/ ACB的度数；(2)若 AB=AE,求证：/BAD=/ COF;(3)在(2)的条件下，连接 OB,设4AOB的面积为Si, 4ACF的面积为若1,、Si tan / CAF=,求 丁 的值._ 3【答案】(1) 48。(2)证明见解析(3)【解析】 【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理和垂

29、直的定义可得结论；(2)先根据等腰三角形的性质得：/ABE=/ AEB,再证明/ BCG=Z DAC,可得Cd Pb Pd ,则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结 论；(3)过 O作 OG，AB于 G,证明 ACOFAOAG,则 OG=CF=x AG=OF,设 OF=a,则OA=OC=2x-a根据勾股定理列方程得：(2x-a) 2=x2+a2,则a=3 x,代入面积公式可得结论.【详解】(1)连接CD,.AD是。的直径，/ ACD=90 ； / ACB+Z BCD=90 ,° .ADXCG, ./AFG=/ G+/BAD=90 ,° / BAD=Z

30、BCD,/ ACB=Z G=48 -(2) AB=AE/ ABE=Z AEB,. /ABC=/G+/BCG, Z AEB=Z ACB+Z DAC,由(1)得：/G=/ACB,/ BCG=Z DAC,Cd Pb ,.AD 是。的直径，AD± PC,Cd ?d，Cd ?b ?d ,Z BAD=2/ DAC, / COF=2Z DAC, / BAD=Z COF;(3)过 O作 OG±AB于 G,设 CF=%1 CF . tanZ CAF=,2 AF.AF=2x, . OC=OA,由(2)得：/COF=/OAG, / OFC玄 AGO=90 ； .-.COFAOAG, ，OG=CF

31、=x AG=OF, 设 OF=a,贝U OA=OC=2x- a,RRCOF 中,CC2=Cf2+OF2, (2x-a) 2=x2+a2,a=3x,43.OF=AG=-x 4， . OA=OB, OG± AB, .AB=2AG=3x,213 AB OGx x 02 2 3S2 1CF AF x 2x 42【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据圆周角定理找出 /ACB+/ BCD=90;(2)根据外角的性质和圆的性质得：CD pB PD； ( 3)利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题.

32、10.如图1,将长为10的线段OA绕点。旋转90得到OB,点A的运动轨迹为 Ab，P是 半径ob上一动点，q是ab上的一动点，连接 pq.发现：/POQ=时，PQ有最大值，最大值为 ;思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求?Q的长；(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在OA的延长线上， 求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径OA相切，切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.【答案】发现：90 °, 10 J2 ;思考：(1) 鼻；(2) 25 % -10072 +100; (3

33、)点 O 到折痕PQ的距离为疯.【解析】分析：发现：先判断出当 PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结 论；思考：(1)先判断出Z POQ=60,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解得 OP=10j2-10,最后用面积 的和差即可得出结论.探究：先找点 。关于PQ的对称点O',连接OO、O' E O' G O' ?证明四边形 OCOB是矩形，由勾股定理求 O' H从而求出OO的长，则om=2oo 430.2详解：发现：p是半径ob上一动点，q

34、是ab上的一动点，当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，/POQ=90, PQ=J0A2 由=10 6；f:思考：(1)如图，连接OQ,彳点P是OB的中点,_ 1 _ 1 一.OP= OB= OQ. .QPXOB,/ OPQ=90 °OP 1在 RtA OPQ 中，cos/ QOP= 一,OQ 2/ QOP=60 ；6010 10 lBQ= 一 ；1803(2)由折叠的性质可得，BP= BP, AB'= AB= 10 J2 ,(10-OP)在 RtB'OP 中,OP2+(10 J2-10)2=解得 op=10J2-10,2 1 10 (10.2 10)

35、90102S 阴影一S 扇形 aob-2Sa aop=360= 25 71-10072+100；180探究：如图2,找点。关于PQ的对称点O',连接 OO、O' R O' G O' R则OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP=3点O'是？ Q所在圆的圆心, ,.O' C=OB=10 折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点, .O' dAO, .O' a ob, 四边形OCO'建矩形，在 RtO' B呻，O B='62 422V5，在 RtA OBO K, OO $02

36、(275)2=2而，11 . OM= _ OO X2V3q = v130 ，22即O到折痕PQ的距离为向.点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n Rl=(n为圆心角度数,R为圆半径)，明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常11 .如图，在 ABC 中，BAC 90 , AB AC A,D的。O分别与AB,AC交于点E,F ,连接EF (1)求证： ADE 且 CDF ;(2)当BC与。相切时，求。的面积.本【答案】 见解析；(2) 一.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性质知AD=CD /叵AD BC ,垂足为D ,过 ,de,df .1 = /

37、C=45°,由 / EAF=90°知 EF是。O考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.的直径，据此知 Z2+Z 4=7 3+7 4=90°,得/2=/3,利用(2)当BC与。相切时，AD是直径，根据 /C=45°、 公式可得答案.详解：(1)如图，- AB=AC, /BAO90'ZC=45°.1又AD，BC, AB=AC,/ 1= / BAC=45 ； BD=CD, /2又 / BAC=90 °, BD=CD,. AD=CD.又 / EAF=90 °, EF是。的直径，Z EDF=90 °,又/3+/4=

38、90 ： ，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 C. . AD CD ,AADEACDF (ASA) .2 3/松(2)当BC与。相切时，AD是直径.在 RtADC中,AD. 1 .sin/C=,AD=ACsinZ C=1, . 0O 的半径为一， AC2点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰 三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.“ASAE明即可得；ac=J2可得AD=1 ,利用圆的面积(ADC=90 :7 2+7 4=90°.Z C=45 °, AC=T2 ,2. OO的面积为.43直角三角形的性质、全等12.如图，在。0中，直径 AB，

39、弦CD于点E,连接AC, BC,点F是BA延长线上的一 点，且 / FCA= / B.求证：CF是。的切线；（2）若 AE= 4, tan/ACD=叵,求 FC的长.3【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出/OCF=90,进而得出答案；（2）根据正切的性质求出 EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形 的性质，利用勾股定理求出即可.详解：（1）证明：连接 OCAB是。的直径， ，/ACB= 90； . . /OCB+/ ACO= 90： -. OB=OC,，/B=/OCB.又 / FCA= / B,/ FCA= / OCB, / FCA+

40、 / ACO= 90 ；即/ FCO= 90 ； FC± OC,二.FC是。O切线.AE（2）解：-.ABI CD, ，/AEC= 90°, . EC=tan ACE设 OA= OC= r,则 OE= OA-AE= r-4.在 RtOEC中，OC2=OE2+C彦， 即 r2=（r4）2+石）2,解得 r=8.-，OE=r-4 = 4= AE. .CE± OA,，CA=CO8, .AOC是等边三角形， / FOO 60 ；/ F= 30 .在 RtFOC 中，/ OCF= 90 ； OC= 8, / F= 30 °, ,-.OF=2OC= 16, fc=、

41、OF2 OC2 8、3.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键.13.如图，OB是以（O, a）为圆心，a为半径的。1的弦，过B点作。O1的切线，P为劣MOB上的任一点，且过 P作OB、A® OA的垂线，垂足分别是 D、E、F.（1）求证：PD2=PE?PF（2）当/BOP=30, P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S/XDEF.BE【答案】（1）详见解析；（2）D ( ga,3、 一，4 a）,0) , P (-2a 、 a,1)2& DE" a2.16【解析】试题分析:连接PB,t PBOPPD同

42、理,OP,利用AB切。Oi于B求证PBa4POD,得PB PD OPFABPD,得出 ，然后利用等量代换即可.OP PF(2)连接 OiB,O1P,得出OiBP和OiPO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标.再利用三角形的面积公式可直接求出三角形 积.DEF的面试题解析：（1）证明：连接PB, OP,-. PE± AB, PD± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,.,.PBEAPOD,(2)连接 OB, O1P,. AB 切。O1 于 B, Z POB=3O°,/ ABP=30

43、 ；/ O1BP=9O - 30 =60 °, .O1B=O1P, .O1BP为等边三角形， .O1B=BP, .P为弧BO的中点，BP=OP,即OlPO为等边三角形,，OiP=op=a / OiOP=6O°,又P为弧BO的中点， -.OiP± OB,在OiDO 中， ZJOiOP=6O°OiO=a,. .O1D= a, OD=a, 11过 D 作 DM，O。于 M,DMOD=-a,OM= DM=ja, D （一ga, y a）,4 q Z OiOF=9O°, ZOiOP=6O°/ POF=3O ；. PE，OA,PF=r-OP=7-

44、a, OF=-a,22， 2V3 a VsP （-芋a, ） , F （-皆a, O）. AB 切。Oi 于 B, /POB=3O°, / ABP=Z BOP=3O ,°-. PE± AB, PB=a, / EPB=6O °.P为弧BO的中点,BP=PO,/ PBO=Z BOP=3O ,°/ BPO=i2O ,° / BPE吆 BPO=i2O + 6O = i8O ；即OPE三点共线,.OE=2 a+a=2 a,过E作EMx轴于M, .AO切。Oi于O, / EOA=3O ；，EMa OM= aW -4，4E (一E (一a,a) ,

45、 D (-蜉a,亍 a)，44. DE=-率-挈"除'DE边上的高为:a,Sa de故答案为：D (-a2.a) , F (一Vs2a,-)；SDEF=" 3 a【答案】(1) P1 和 P3； (2) 1<x< 33_J； (3) 3wrW3 V3 2. ： 1&B个动点，过点中心，将垂线关联点如图，M (1, (1)在点P1(2)如果点P在直线y x 1上，且点P是线段MN的 关联点”，求点P的横坐标 值范围；(3)如果点P在以O (1, 1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的 点”，直接写出OO半彳仝r的取值范围.14.

46、对于平面直角坐标系 xOy中的线段MN和点巳 给出如下定义：点 A是线段MN上一A作线段MN的垂线1,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转MN的l沿逆时针方向旋转 60。后与线段MN有公共点，我们就称点 P是线段2) , N (4, 2).3) ,3), P2 (4, 0) , P3 (3, 2)中，线段 MN 的关联点”有x的取关联【解析】【分析】(1)先根据题意求出点 P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；(2)由直线y=x+1经过点M (1, 2),得出x>l设直线y=x+1与P4N交于点A,过点A 作ABMN于B,延长 AB交x轴于C,则在 4AMN中，

47、MN=3, / AMN=45 ,/ANM=30 °,设 AB=MB=a, tan Z ANM= -AB-,即 tan30 = a,求出 a 即可得出结果；BN3 a(3)圆心。到P4的距离为r的最大值，圆心 。到MP5的距离为r的最小值，分别求出两 个距离即可得出结果.【详解】(1)如图1所示： Q却点A是线段MN上一个动点，过点 A作线段MN的垂线1,点P是垂线l上的另外一个动 点，M (1, 2) , N (4, 2),，点P的横坐标1 < x页4以点P为旋转中心，将垂线1沿逆时针方向旋转 60后与线段MN有公共点，MN 3当/MPN=60 时，PM=-= = J3tan6

48、0 、3 ' '同理P' N=3 ,，点P的纵坐标为2- J3或2+ J3 ,即纵坐标2-73<y<2+3,线段MN的关联点”有Pi和P3；故答案为：Pi和P3 ；(2)线段MN的 关联点午的位置如图所示，直线y x 1经过点M ( 1, 2),x> 1.设直线y x 1与P4N交于点a .过点A作AB，MN于B,延长AB交x轴于C.由题意易知，在 AMN 中,MN = 3, Z AMN = 45； Z ANM = 30： 设 AB = MB = a,tan ANM -AB-,即 tan30 aBN3 a3.3 3解得a u33 122.点A的横坐标为

49、x a 13、3 12x综上3.3 1 .23 3 11 x .2(3)点P在以O (1, -1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联点”，如图3所示:r 0图3连接P4O交x轴于点D, P4、M、D、O共线，则圆心。到P4的距离为r的最大值，由(1)知：MP4=NP5 = J3,即 OD+DM+MP4=1+2+J3=3+J3,圆心。到Mp5的距离为r的最小值，作 OEL MP5于E,连接OP5, 则OE为r的最小值，MP5= JmN2_NF52 = J32(拘2 =2百,OM=OD+DM=1+2=3, OMP5 的面积=-OE?MP5=1OM?MN,即1 X OEX73

50、 = X 33 2222解得：OE=3_!,23 w r w 3+3 . 2【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握 关联点”的含义，作出关于 MN的 关联点”图是关键.15.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块 30° (/CAB= 30°)角的三角板拼在一起，三角板的 斜边AB与量角器所在圆的直径 MN重合，现有射线 C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每 秒2°的速度旋转到与 CB,在旋转过程中，射线 CP与量角器的半圆弧交于 E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是 ,此时4BCE的形状是； (2)设旋转x秒后，点E处的读数为V,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0致W45 ； ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意ZACE= 2x, / AOE= y,根据圆周角定理可知 /AOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1