2020-2021中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1)

1、2020-2021中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练：培优篇及答案解析(1)一、一元二次方程1.解下列方程：(1) x2- 3x=1.1 c(2) (y+2) 2-6=0.2【答案】x1 313,x2 3、13 ;(2)y 2 2、3,y22 2 322【解析】试题分析：(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开方法解即可；试题解析：解：(1)将原方程化为一般式，得x2-3x- 1=0,b2- 4ac=130 或讨,y12 2x/3, y22 2732.如图，在 ABC 中，AB=6cm, BC= 7cm, Z ABC= 30,点 P从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向B点移动，点

2、Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动.如果 P、Q两点同时出 发，经过几秒后4PBQ的面积等于4cm2?【解析】【分析】1作出辅助线，过点 Q作QE PB于E,即可得出 Sapqb=- X PBX Q的P、Q点的移动速2度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案.【详解】dF尸 E g如图，过点 Q 作 QE PB于 E,则 / QEB= 90. / ABC= 30 ；，2QE=QB.Sa pqb= 1?PB?QE 2设经过t秒后APBQ的面积等于4cm2,则 PB= 6-t, QB=2t, QE= t.1根据题意，一？(6- t) ?t=4.2t2

3、- 6t+8 = 0.t2=2, t2=4.当t = 4时，2t=8, 87,不合题意舍去，取 t = 2.答：经过2秒后4PBQ的面积等于4cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去.3.已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+i = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L的长.3【答案】(1) k ; (2)年.4【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2(2k+1)x+k2 + 1=0有两个不相等的实数根，得出 。，再 解不等式即可；(2)当k

4、=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是 m、n,则矩形两邻边的长是 m、n, 利用根与系数的关系得出 m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为 Jm2 n2 ,利用完全平方 公式进行变形即可求得答案 .【详解】(1)二,方程x2(2k+1)x+ k2+1 = 0有两个不相等的实数根，A= -(2k+1)2-4X1x(kb 1)=4k-30, 3 k ;4(2)当k=2时，原方程为x2-5x+5 = 0,设方程的两个根为 m, n, - m + n= 5, mn= 5,矩形的对角线长为：Jmn2 Jm_n-2mn 155 .【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，

5、一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 。时，方程有两个不相等的实数根；(2)4=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 40时，方程没有实数根.4.已知关于x的二次函数y X2 (2k 1)x k2 1的图象与x轴有2个交点. (1)求k的取值范围；(2)若图象与x轴交点的横坐标为Xi,X2,且它们的倒数之和是3,求k的值.23【答案】(1) kv- ； (2) k= - 1【解析】试题分析：(1)根据交点得个数，让 y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式 = b2-4ac的范围可求解出k的值；(2)利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.

6、试题解析：(1) .,二次函数y=X2- (2k-1) x+k2+1的图象与x轴有两交点，当y=0时，x2-(2k-1) x+k2+1=0有两个不相等的实数根. =b2-4ac=- ( 2k-1) 2-4 X 1 *k2+1) 0. 一. 3斛得k -；4(2)当 y=0 时，x2- (2k-1) x+k2+1=0.贝U x+x2=2k-1 , x1 ?x2=k2+1,113町 x2xiK2kZ+l 2，1解得：k=-1或k= 一(舍去)，31. k= 15 .父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学 学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店

7、卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评“或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨 一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20一“ 15两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%,求出m的值.2【答案】(1) 120； (2) 20.【解析】试题分析：(1)

8、本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x元，列不等式为 0.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在 大众点评网上的购买实际消费总额：120a (1-25%) ( 1+-m%),在 美团”网上的购买实际消费2总额：a120 (1 - 25%) - m (1+15m%)；根据 在两个网站的实际消费总额比原计划20的预算总额增加了 一 m%列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为x元，列不等式为 0.8x?80W7680 x) +a

9、(72 & m) ( 1+15m %) =144a2220(1+ 15m%),整理得：0. 0675m2T.35m=0, m2- 20m=0,解得：m1=0 (舍)，2m2=20.答：m的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出大众点评”或 美团”实际消费总额是解题关键.6 ,已知：关于 的方程W + (2A -+ k _ 3 = 0有两个不相等实数根体 巧)，且卜】，求人的值.【答案】(I);kx2+ (2k- 3)x+k 3 = 0是关于x的一元二次方程. A=(2Jt-3)3 -4i(Jfc-3) = 9由求根公式，得(3-2k)3Ikx - - 1 或1=二一

10、1，、，,3 ,(II)二无0,-1 巧， x1 = , X；X2-+2fc = 0由题意，有肛31 2k = 0 k解之，得 经检验如用是方程(*)的根，但 * 0,再利用求根公式即可求出方程的两根即可；(2)有(1)可知方程的两根，再有条件 X1X2,可知道X1和X2的数值，代入计算即 可.一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、 保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过 冷(吨)时，超过部分每吨加收环境保护费二上元.下图反映100了每月收取的水费， 请你解答下列问题：(元)与每月用水量

11、X(吨)之间的函数关系7,已知关于X的方程1 2 (k 1)x -k410有两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)若方程的两实数根分别为X1， X2,且2X12X26x1X2 15,求 k 的值.3【答案】(1) k (2) 42【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出2k3 0 ,解之即可得出结论.根据韦达定理可得:X1x2 k 1, X1X21k24-.221 ,结合X1X26X1X2 15即可得出关于k的二次方程，解之即可得出k值，再由的结论即可确定k值.试题解析:因为方程有两个实数根，所以212k 14 1-k 1 2k 3 04，解得k 3.2根据韦达定理,1k2X1

12、X2k 1, x1 x21.22因为 X1X26X1X2 15 ,所以 x12X28X1X2 15 0 ,将上式代入可得,21,22k 18 k 115 0 ,整理得 k 2k 8 0 ,解得43k14 k22 ,又因为k万，所以k4.8.元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为 4元和2元时，陈老 师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用 82元.(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？(2)在(1)的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果 100千克和乙种苹果140千克，若 将这两种苹果

13、的售价各提高 1元，则超市每天这两种苹果均少售出 10千克，超市决定把这 两种苹果的售价提高 X元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利 960元，求X的值.【答案】(1)甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；(2) X的值为2或7.【解析】【分析】(1)根据题意列二元一次方程组即可求解，(2)根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】(1)解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克，b元/千克.由题得:a b 183 a 44 b 282解之得:a 10b 8答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克(2)由题意得:4 X 100 10x2 X 140

14、 10x960解之得：X1 2 , X27经检验，X1 2, X27均符合题意答：X的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用，中等难度，列方程是解题关键2k9.关于x的万程kx k 2 x - 0有两个不相等的实数根.41求实数k的取值范围；2是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k 1且k 0； (2)不存在符合条件的实数 k,使方程的两个实数根之 和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V 0,由此可以得到关于 k的不等

15、式，解不等式即可求出 k的取值范围.2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等 于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在1中的取值范围内解：1依题意得V (k 2)2 4k k 0,4k 1,又Q k 0,k的取值范围是k 1且k 0；2解：不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，2k.理由是：设万程 kx k 2 x - 0的两根分别为x1，X2,4k 2* *2T由根与系数的关系有：k ,1x1 x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根,由1知，k 1,且k 0

16、,4 “人什一k不符合题意，3因此不存在符合条件的实数 k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方 根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。10.设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2 (m-2) x+m2-3m+3=0有两个不相等 的实数根X1、X2,(1)若 X12+X22=6,求 m 值；T=-1mx1x1mx2,求T的取值范围.1 x2【答案】(1) m= 5 .17 ; (2) 0VTW4且 TW22【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得-1Wm1,根据根与系数的关系可得 X1+x2=4-2m, X1?x2=m2-3m+3；

17、(1)把 X12+x22=6 化为(X1+X2)2- 2x1X2=6,代入解方程求得 m 的值，根据-1Wm0,所以m1,又m是不小于-1的实数,1 m 1.,.X1+X2=- 2 (m 2) =4 2m, x1？x2=m23m+3 ；(1) X12+X22=6 ,.(X1+X2)2- 2X1X2=6,即(4-2m) 2-2 (m2-3m+3) =6 整理，得 m2- 5m+2=0解得m=一产二 1 m 1所以m=.z由1(1 -Z2) +由工 2 (1 -K1)=1)m (x 12)-2x x2 1-(勺+*2)+又/2m4-2ni_2 用+ 61n - 6 =l-4+2irH-ni -3i

18、rrl-3-2m (ni-l 产=2m -id：=2 - 2m.-.- 1 m 1 且 mw。所以 0v2-2m ； (2)x1 = 0, X2= - 1 .2【解析】【分析】c1 C(1)由题意得 = (k+1)2-4Xk20,解不等式即可求得答案；4(2)根据k取最小整数，得到 k=0,列方程即可得到结论.【详解】1 . 2(1);关于x的一兀二次万程 x2+(k+1)x+-k =0有两个不相等的实数根，4o . 1 一=(k+1)2-4X- k20,41 . k -;2(2) k取最小整数，. . k = 0,，原方程可化为x2+x=0, .x1= 0, x2= 1 .【点睛】本题考查了

19、一元二次方程 ax2+bx+c= 0(awQ)J根的判别式 =/-4ac：当。，方程有两 个不相等的实数根；当 :。，方程有两个相等的实数根；当 0,方程没有实数根.12.分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用分块计数”的方法.例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，；按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6块，每块黑点的个数相同(如图)，这样图 1中黑点个 数是6X1=6；图2中黑点个数是6X2=12个：图3中黑点个数是6X3=1孙；所以容易求 出图10、图n中黑点的个数分别是 、.请你参考以上 分块计数法”，先将下面的点阵进行分块(

20、画在答题卡上)，再完成以下问 题：(1)第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于 271吗？如果会，请求出是第几个点阵.O O O O O【答案】60个，6n个；(1) 61； 3n2- 3n+1 , (2)小圆圈的个数会等于 271,它是第10 个点阵.【解析】分析：根据规律求得图 10中黑点个数是6X10=66；图n中黑点个数是6n个；(1)第2个图中2为一块，分为3块，余1,第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1,得第n个点阵中有：nX3 (n-1) +1=3n2- 3n+1 ,(2)代入271,列方程，方程

21、有解则存在这样的点阵.详解：图10中黑点个数是6X10=60;图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；(1)如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2X3+1=仆，第3个点阵中有：3X6+1=1力，第4个点阵中有：4X 9+1=3仆，第5个点阵中有：5X 12+1=6仆,第 n 个点阵中有：nX3(n-1) +1=3n2- 3n+1 , 故答案为：60, 3n2-3n+1;(2) 3n2-3n+1=271 ,n2- n 90=0,(n 10) ( n+9) =0,n1=10, n2= - 9 （舍），小圆圈的个数会等于 271,它是第10个点阵.点睛：本题是图形类的规律题，采用分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键.13.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1） 4元或6元；（2）九折