【KS5U解析】山西省大同市第一中学2020届高三下学期2月月考数学（文）试题 Word版含解析

1、文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合，进而由交集定义求得结果.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于基础题.2.已知复数满足若，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用复数除法运算求得复数，根据模长定义构造方程求得结果.【详解】，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3.函数的图像大致为（ ）

2、a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及计算，可得结果.【详解】由题可知：函数的定义域为所以可知函数为偶函数又所以选项d正确故选：d【点睛】本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题.4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其

3、中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，且，则的近似值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】将，代入，结合化简计算可得出的近似值.【详解】.故选：d.【点睛】本题考查的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5.已知函数是上的奇函数当时，且，若，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据奇偶性可求得在时的解析式，由此可确定的单调性，利用单调性可将所求不等式化为，解一元二次不等式求得结果.【详解】当时，为上的奇函数，在上单调递增，在上单调递增，且当时，在上单调递增，由

4、得：，即，解得：，实数取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.6.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】d【解析】【分析】利用线面位置关系和充分条件的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项a，b，若n，则，故a，b错误； 对于选项c，若=l，mnl，m，n为，外的直线，显然有m，n，故c错误； 对于选项d，若m，mn，则n，又n，故，故d正确 故

5、选d【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的判断证明，考查充分条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.函数的部分图象如图所示若对任意，恒成立，则实数的最大负值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据函数图象可确定，由此确定，利用可求得，从而得到解析式；由的对称轴为，采用整体对应的方式可确定的取值，进而确定的最大负值.【详解】由图象可知：，解得：.，解得：，又，.，关于直线对称，解得：，则当时，取得最大负数，此时.故选：.【点睛】本题考查根据正弦型函数对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对

6、应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.8.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ）a. 和6b. 和6c. 和8d. 和8【答案】d【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除a，c时，时，所以d选项满足要求故选d9.在平面直角坐标系中，当三点共线时，的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：，三点共线，即，即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，

7、属于基础题.10.已知双曲线的右顶点、右焦点分别是，焦距是，过点作轴的垂线与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线交轴于点.若点到直线的距离不大于，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由直线方程与双曲线方程联立可得坐标，从而求得；由垂直关系可确定，进而得到直线方程，并求得点坐标；根据到直线距离可构造关于的齐次不等式，进而求得离心率的取值范围.【详解】由题意得：，直线为，由得：，则可设，则，直线方程为：，令，解得：，即，到直线的距离为，整理可得：，即，解得：（舍）或，故选：.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，涉及到两条直线垂直的位置关系的

8、应用；关键是能够利用点到直线的距离构造出关于的齐次不等式，从而配凑出关于离心率的不等式，解不等式求得结果.11.谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）向图中第5个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（ ）a. 256b. 350c. 162d. 96【答案】b【解析】【分析】设第一个三角形的面积为，通过图形中的比

9、例关系可确定黑色部分面积是首项为，公比为的等比数列；通过计算第五个图形中黑色部分面积可确定白色部分面积；根据均匀随机数的思想可求得结果.【详解】设第一个三角形的面积为，则第二个图中黑色部分面积为，第三个图中黑色部分面积为，第四个图中黑色部分面积为，第五个图中黑色部分面积为，则第五个图中白色部分面积为，则落在白色区域的细小颗粒物的数量为：.故选：.【点睛】本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列的特点.12.已知等边三角形abc的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥.点p为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，点p到平面距离的最大值为（ ）a

10、. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】采用数形结合的方法，取等边三角形重心，以及的中点，分别过点，作平面，平面的垂线，可得球心，计算半径，可得结果.【详解】如图所示当四棱锥的体积最大时则平面平面由题可知：等边三角形abc的边长为，分别为的中点所以为等边三角形，且所以，取等边三角形重心，以及的中点所以为四边形的外接圆的圆心为等边三角形的外接圆的圆心，分别过点，作平面，平面的垂线，交于点，为四棱锥的外接球的球心则，又所以则四棱锥的外接球半径则点p到平面距离的最大值为故选：a【点睛】本题考查几何体外接球的问题，关键在于找到外接球的球心，考验空间想象能力，属难题.二、填空题13.设函数，则曲

11、线在点处的切线斜率为_【答案】【解析】【分析】根据可得，然后根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以则故答案为：【点睛】本题考查曲线在某点处导数的几何意义，识记概念，属基础题.14.设实数满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域,观察可得,当过点时，有最小值,再联立方程组解得最优解c的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当过点时，有最小值；联立解得 即，故的最小值为【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题.15.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点若，则_【答案

12、】【解析】【分析】设，根据可构造方程求得，利用抛物线定义可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，准线.设，则，解得：，由抛物线定义可得：.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解问题，关键是能够利用向量共线的坐标运算构造方程求得抛物线上点的坐标，进而利用焦半径公式求得结果.16.在平面五边形abcde中，已知，当五边形abcde的面积，cd的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据三角形为等腰三角形，计算可得，进一步可得四边形为等腰梯形，然后计算，最后计算可得结果.【详解】如图由题可知：，所以三角形为等腰三角形，则，又，所以，且，则所以四边形为等腰梯形作交于点，设，所以所以所以又所以即则

13、且又，所以故答案为：【点睛】本题考查解三角形的几何应用，熟练三角形中的正弦定理、余弦定理以及面积公式，注意细节，耐心计算，属中档题.三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.如图，四棱柱中，平面abcd，四边形abcd为平行四边形，.（1）若，求证：/平面；（2）若，且三棱锥的体积为，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据四边形abcd为平行四边形，可得/，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得，进一步可得，然后根据

14、，可得，最后利用勾股定理，可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接.如图由四棱柱的性质可知/，且，则/.四边形abcd为平行四边形，.同理，四边形为平行四边形，/.又平面，平面，/平面.（2），.又，.由正弦定理可得，解得，即.又平面abcd，即平面abcd，cd，ca两两垂直.，.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.18.近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13,2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的

15、60%以上，居世界第一位下表截取了2012-2016年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）.年份20122013201420152016年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6622.92已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式（为大于0的常数）若对两边取自然对数，得到，可以发现与线性相关.（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程（保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年高铁密度会超过30千米/平方千米.参考公式设具有线性相关系的两个变量的一组数据为，则回归方程的系数：，.参考数据：，.【答案】（1）；（2）2019年【解析】分析】（1）根据

16、方程，计算，然后代入，可得，最后可得结果.（2）根据（1）中的结论，根据指数不等式、对数不等式的求解方法计算，然后可得结果【详解】（1）对，则.令，n，得，则与v具有线性相关关系，所以，故.所求回归方程为.（2）由（1）可知：由高铁密度超过30千米/万平方千米，所以，即0. ，解得，所以，即时，高铁密度会超过30千米/万平方千米.所以预测到2019年，高铁密度会超过30千米/万平方千米【点睛】本题考查非线性回归系数的计算，学会等价转化的思想，考验对问题的分析能力以及计算能力，中档题.19.设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，以此

17、类推得点，记的横坐标为，（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求得以点为切点的切线方程，代入可求得，由此可得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果；（2）根据向量数量积的坐标运算可求得，利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）证明：函数，以点为切点的切线方程为：，当时，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.（2）解：由题意得：，则，得：，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和，涉及到利用导数求解曲线在某点处

18、的切线方程、平面向量数量积的坐标运算等知识；关键是明确在数列求和时，需要根据通项公式的形式准确选择求和方法，当通项公式为等差等比时，需采用错位相减法求和.20.已知函数，实数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.【详解】（1）由题知的定义域为，.，由可得.（i）当时，当时，单递减；（ii）当时，当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，时，在区间

19、上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由题意：不等式在成立即在时有解.设，只需.则，因为，所以在上，在上，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此.不等式在成立，则恒成立.又，所以恒成立.令，则.在上，单调递增；在上，单调递减.所以.因此解可得且，即且.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.21.已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形（是第一象限内的点）的面积为，且过椭圆的右焦点的倾斜角为的直线过点（1）求椭圆的标准方程（2）若射线与

20、椭圆的交点分别为当它们的斜率之积为时，试问的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由【答案】（1）；（2）的面积为定值【解析】【分析】（1）根据矩形面积、直线斜率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得，点到直线公式求得点到直线距离，进而表示出；根据，代入韦达定理形式化简可得，代入中化简得到；当直线斜率不存在时，可求得两点坐标，进而求得；综合两种情况可知为定值.【详解】（1）由题意得：，.直线的斜率，由得：，椭圆的标准方程为.（2）面积为定值，理由如下：设，当直线斜率存在时，设方程为

21、.由得：，则，即，又点到直线的距离，.，化简可得：，满足，；当直线斜率不存在时，且，可设，则点的坐标分别为，此时；综上所述：的面积为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积定值问题的求解；求解定值的关键是能够将所求面积利用变量表示出来，根据变量之间的关系化简可求得定值，属于常考题型.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值【答案】(1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2) 【解析】【分析】(1)先得到