2019年上海市高三二模数学填选难题及解析

1、2019年上海市高三二模数学填选难题解析2019-04-151.宝山,一，一 9八八一 9 , 一 411 .已知无穷等比数列 四，a2, a3,各项的和为，且a2 = 2 ,若| Sn | 10一，22则n的最小值为a91【斛析】10.根据题忌，0 | q | 1 , =一，aq = -2 ,解得 q = -一 , a1 = 6 ,1 -q 23Sna1（1q ） =91_（_l）n? . |0 9| 旦（1）n 上1 -q 2322 3104即n的最小值为10.12 .在线段AA的两端点各置一个光源，已知 A、A2光源的发光强度之比为 1:2,则该线段上光照度最小的一点到 A、A2的距离之

2、比为 （光学定律：P点的光照度与 P到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】1: 3/2 .设PA1 =a , PA, =b ,不妨设线段 A4定长为d , A光源的发光强度为12定值1,则A2光源的发光强度为 2,即转化为“已知 a+b = d ,当 二十二取得最小值时，a b求a的值，: +a+a至3,工 w a =3,看r+b+b至3 出 =版，两不等式12。,12 o相加，即-2+=+2a+2b 之3+3底，: a+b = d ,，-2+不 之 3+ 3耳22d ,当且仅 a ba b当=a, 4 =b时等号成立，即a=1, b=#2, 距离之比为1:3/2. a b.

3、rT222216.设向量u =（a,b,0） , v=（c,d,1）,且a叱 =c +d = 1 ,则下列判断错误的是（）A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与 c、d之值无关）B. u v的最大值为V2比3二C. u与v夹角的最大值为4D. ad -bc的最大值为1【解析】选B.结合空间直角坐标系，u、V向量如图，由题意,.n 7JI圆柱底面半径为1,高为1. A选项，/VOz=一,即v与z轴正方向夹角为 一，正确;2 4 4B选项，结合投影白几何意义，u v |u|2 = 1 , gp u v的最大值为1,B选项错误；3111C选项，/VOU最大值为,正确；D 选项，SvOu= |ad b

4、c|-OV OU=,4222-1 ad -bc 1,正确；综上所述，选 B.2.杨浦11.若 ABC的内角A、B、C ,其中6为 ABC的重心，且GA GB = 0 ,则cosC的最小值为4 【解析】一.方法一：如左图构造，GA_LGB,根据题意，AA、BB均为中线, 5设 GA = 1,BD = 4t , tanC =tan(. BCD BCD)=tan. BCD - tan. BCD 3t一.一21 tan. BCD tan. BCD 2 2t 2/t 2t.tanC的最大值为-,即cosC的最小值为-.4QGB=t，作 CD _LBD , .AGB与 CDB 全等， . CD =2, D

5、B = t,方法二：如右图构造，GA_LGB ,点G在以AB中点。为圆心的圆上，不妨设半径为 1,则CO =3,要求cosC的最小值，即求 /C的最大值，很明显 CO_LAB时，/C会最大,.C 1. 一 3 一 一 4此时 tan , tan C ,即 cosC .2 34512.定义域为集合1,2,3, 112上的函数f(x)满足：f(1)=1 ；| f(x+1)f(x)|=1(x =1,2，,11); f(1)、 f(6)、f (12)成等比数歹U;这样的不同函数 f(x)的个数为【解析】155.根据题意，当n为奇数，f(n)也为奇数，当n为偶数，f(n)也为偶数，且f(n) n ,因为

6、 f (12) = f 2(6) , . f(12)只能为平方数 4, . f(6)=2. f(1)=1, f(6)=2, f(12)=4 ;其中 f(1)T f(6)的五步中有 2 步一1、3步+1 ,22f(6)T f (12)的六步中有 2 步1、4 步+1 , f (x)的个数为 C5 c6 =150 ; f(1)=1, f(6)=2, f(12)=4;其中 f(1)T f (6)的五步中有 4 步一1、1 步+1,40f(6)T f (12)的六步中有0步1、6步+1 , f (x)的个数为C5C6=5;综上所述，这样的不同函数f(x)的个数为150+5 = 155个16.已知 AB

7、C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cosA = 7, I为 ABC内8部的一点，且aIA +bIB +cIC =0,若AI =xAB +yAC ,则x + y的最大值为(5A.一41B.一25C. 一64 D.5【解析】选D. a肃二bB cIC =b(lA AB) + c(IA + AC)=bIA +cIA +bAB +cAC ,(a b c)AI =bAB cAC，即 A* =-Ab a b cc 7 .b c+AC ， x + y =，a b ca b c.err1115(b )2由余弦th理： a =b +c 2bccosA= a =(b + c)bc, bc ,442.2

8、15.1.21 .4.1- a =(b +c) bc 之一(b +c) = a 之一(b + c) ,，x+ y -,故选 D. 416453.奉贤211 .实系数一兀二次万程 ax +bx+1 = 0 (ab #0)的两个虚根 乙、Z2,乙的实部Re(z)0,则20 *21 2020乙的模等于1,则实数m =29m - 2020Z2【解析】2.设2=*+皿，xw R , yw R,且x0,则Z2=x yi,20m 21m -2020Z1 20m 21m - 2020x - 2020yim=m,其模为 1,29 - 2020Z229 -2020x 2020yi即 20m+21m 2020x=2

9、9m 2020x或 20m +21m 2020x = 2020x 29m (由 x0 , f(x + 3) = f(x+2) f(x+1)=f(x+1)f(x) f(x+1) = f(x),f (x+6) = f (x+3) = f (x),即 x0时，周期为 6.或者简单归纳，f(1) = 2,f(0)=1, f(1)=f(0)-f(-1) = -1 , f(2)=-2, f(3) = -1, f(4)=1, f(5)=2,f(6)=1,，观察可得，周期为 6, f (2019)= 336父6 + 3)= f(3) = 1, _ 1,422_ ,12 .过点P(一,2)作圆C :(x m)十

10、(ym+1) =1 ( m R )的切线，切点分别为 A、2H3B,则PA PB的最小值为【解析】2，23.设NACPuH,二.1日0,一), /ACB=26，CP =-,2cosuT J T TPA PB =(PC CA) (PC CB)PC PC CB CA PC CA CB=-2- -1 -1 +cos28 = -2- +2cos2 6 -3 272 -3,cos Fcos 116.已知等比数列an的首项为2,公比为,其前n项和记为Sn,若对任意的nW N ,6、，.11均有A 1 - 1 + 1 -41.4 S2 Sn - SI ,即=Sn -2 ,设 f (Sn ) = 3Sn,可知

11、其在一 ,2上单倜递培,3Sn341311 f(-) f(Sn) f(2),即f(Sn) x2 +4x的解集为【解析】(,Y)U(0,Z).根据题意，g(x)为偶函数，由f (x+2) f (2) x2+4x得,22f(x+2)(x+2) f (2) -2 ,即 g(x+2)g(2)，: g(x)为偶函数，且在区间0,代)上是增函数，|x+2|2,，*0,即解集为(o,Y)U(0,收).方法二：取特殊情况，不妨设 f(x)=2x2,符合题意，解得解集为 (,-4)U (0,y).16.设函数f(x)=sin(x),若对于任意aW6定的P,使得f(a) + f(P)=0,则m的最小值为(n,在区

12、间0, m上总存在唯一确2)兀A. 一6nB.27 二C.一6D.二【解析】选B.二 .3.3.，万,f (小尸一下。，一f9)匚 Mg,设1=一fp),3223- -即对任思tw0,f(P)=t在区间0,m上有2唯一解，结合图像可知，:f (三)=f(生)26二 5 二 m 0)的图像与其对称轴在AA,A3,，在点列An中存在三个不同的点入、A、Ap,使得 AkAAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的切值从小到大组成的数列记为CO。,则2019先求81,如左图所示,2 二T =4=必=；再分析82 ,如右图所本, . 123 二;归纳可得,24037【解析】.2c c 2 二3T = 3 =

13、4 =/-115.已知直线11 :4x3y+6=0和直线127 D.-4直线l2的距离之和的最小值是(37 A.1611 B.5C. 2【解析】选C. .动点P到直线12： x = -1的距离等于P到焦点F(1,0)的距离，所求的距离之和的最小值可以转化为焦点F (1,0)到直线11 : 4x3y+6 =0的距离，d=2,选C.16.设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数为？2亡R ,使得f(*=211 f(x) = xf(x1)f(x2)2,则称函数f(x)具有性质P,那么下列函数:_322f(x)=x ； f(x)=|x -1|； f (x) = x ；0 x =0不具有性质P的

14、函数为(D.A.【解析】 选D.函数f(x)要具有性质P,即函数图像上存在两点，使它们中点也在图像上如图，对于，均为奇函数，存在为=-x2满足题意；对于，存在x1=-J2, x2=J2,10.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四棱锥P -ABCD即满足题意的四棱锥,【解析】J22 .构造如图边长为 3的正方体,使之具有性质P；对于，函数图像上任意两点的中点都不在y = x2上，故选d.最长棱的长度为7.青浦可知 pc最长，pc = 732 +32 +22 = J222_11.已知函数 f (x) =x +ax+b ( a,b R ),在区间(1,1)内有两个零点，则2a -2b的取值范

15、围是【解析】(0,2).由函数在(一1,1)内有两个零点，可得f(1)0, f(-1)0,a-e(-1,1),A 0,即 1+a+b0, 1 -a+b0, -2 a 3, k2019d2019 n k 25, 3n =2k 50.8.黄浦11 .设邛母0,2町，若关于x的方程sin(2x+中)=a在区间0,冗上有三个解，且它们的和为/，则中=37二.4二.二.【斛析】一或 一 .y =sin(2x十中)周期冗，且三解和为 一，f (0) = f (冗)=f () = a ,66333 312 .已知复数集合 A=x+yi |x 区 1,|y 区 1,x,yw R, B =z2 | Z2 =(一

16、十一|)4，乙 w A,4 4其中i为虚数单位，若复数 ze AQB,则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为3333=-x y (- x - y)i44443 3设 z2 = m ni = (- i)( x yi)4 43 32,、n=x+y,x= (m + n),4 4323y =-(-m+n), |x 5 1, |y|1, . |m + n| c ,在 瓜、加、Jc为边长构成的三角形中,a _ b _ ,c , 最大角为，c所对角，设其为c ,，由余弦定理cosC = (而之十(迎二(O = a + b2c 0,即最大角为锐角，故为锐角三角形.2 a . b2. ab9 .长宁嘉定.

17、一 T , 一一七 1 4七10 .在 ABC中，已知CD=2DB, P为线段AD上的一点，且满足 CP=mCA + CB, 94 I t 4【解析】.CP=mCA HM 2TT 1CB = mCA + CD,由共线te理， m=-，由 SABC =73可得933A_ 三 1 7 4若 ABC的面积为J3, ZACB =-,则|CP|的最小值为一、212428CA CB=4, . CA CB =2, CP =(CA 十CB) =(-CA) +(一CB)十CACB 之 3939271416 1642 (-CA) (-CB), .CPI 之二.39279311 .已知有穷数列4共有m项，记数列a所

18、有项的和为S(1),第二及以后所有项的和 为S(2) , ,第n(1WnWm)及以后所有项的和为 S(n),若S(n)是首项为1公差为2的等差数列前n项的和，则当1Wnm时，3 =【解析】2n-1.S=n1+n八n2,根据题意，S小S(n+1) =an +an 辜 + + am ,an =S(n) _S(n+1) =-2n _1 , 1 n 1-log23,则实数 t 的 2取值范围为【解析】0,3 . .f (x)为定义在 R 上奇函数，f(0)=0= a = 1 , f (x + 2) =_f(x),2115.周期为 4,回出 f(x)图像如图所小，:f(-x2 +tx+-)1-log23

19、= f(-)= f(-),1-215_. . . . 一 - +4k -x +tx+- -+4k , k WZ, 对于任意 x 0,1都成立，代入 x = 0,115. 1215一一 +4k - - +4k ,即 k =0 ,，对于任息 x w 0,1 , - -x +tx + -成立，22 222 21212当 xW (0,1,分曷参数付 x - Et Ex+恒成立，(x-)max Mt E(x + -)min , t = 0,3.2215 .已知圆（x2） +y =9的圆心为C,过点M （2,0）且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线

20、 BC于点P,则 点P的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【解析】 选 C.如上右图， AC=BC, AC /MP,2B=/BAC =NBMP ,PM =PB ,. PM PC =PBPC =BC =3MC =4 , .点P的轨迹是双曲线的一部分 .一 ，.，, 八 , 一 cos A cosB cosC ,-,16 .对于 ABC ,若存在 ABG ,满足=1 ,则称 ABC为“ Vsin A sin B1 sinC1类三角形”，“ V类三角形” 一定满足有一个内角为（）A.30 B.45C.60D. 75 【解析】 选 B. , AB1cl 中，

21、sinA、sinB1、sin C1 均为正，cosA、cosB、cosC 均 为正，即 ABC为锐角三角形.假设 AB1C1也为锐角三角形，由sinA=cosA可得， A +A=90 :同理 Bi +B=90 : Ci +C =90 ; 相加为 A +B1+G +A+B+C = 270 1 明显不成立，故a AB1G为钝角三角形.不妨设A为钝角，1800-A1 + A = 90, B+B=90 : C1+C=90 :相加整理得，Bi +G A =-90 180 02A =-90 1A =135 ,即 A=45 .10.崇明11 .已知函数f (x) =|x+2 a|+a在区间1,9上的最大值是

22、10,则实数a的取值范围是 x99【斛析】(_oo,8,分类讨论， a 6 , f (x) = x+，在区间1,9上,f(x)max = f(1)=f(9)=10, a 46 符合；当 6aE10, f(x)max=f(1),f(3), f(9)max, . . |10a| 坨=10a+a=10且|6a|+a=a6 + a = 2a6E10,解得 6a10,此时f(x) 10,均不符合.综上所述，a(-,8.12 .已知点C是平面ABD上一点，/BAD =(, CB =1 , CD则| AP |的最大值为【解析】4J3,作正三角形BDA及其外接圆，A在BA1D上，可知满足 ZBAD =. AP

23、 = AB+AD =2AE,3APmax =2AEmax =2AE =V3bD , . BDCB+CD=4,口r ，,L即 BDmax =4, . | AP| 的最大值为 4V3.15 .已知线段 AB上有一动点D ( D异于A、B),线段CD _L AB，且满足CD2=KAD BD(X是大于0且不等于1的常数)，则点 C的运动轨迹为()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【解析】选B.建立平面直角坐标系，设A(t0) , B(a,0) , C(x,y), D(x,0),根据题意,22CD2=?.AD BD ,y2 =Ma+x)(ax)=Ma2x2),整理得 与

24、+9=1,故选 B.a a16 .在平面直角坐标系中，已知 A(T,0)、B(1,0),若对于y轴上的任意n个不同的点P, P2, , Pn,总存在两个不同的点P、Pj (i,j =1,2, in),使得1| sin /APB -sin ZAPj B | W ,则 n 的最小值为()j 4A. 3B. 4C. 5D. 61【解析】选 C. .sin/APB=0,1,取一种极端情况，设 sin/APB=0, sin/AP2B=一,41.3._Sin/AP3B=-, sin/AP4B =，sin/ARB =1 ,此时对于这 5个点 P、P2、P3、P4、P5, 241对应的正弦值将区间0,1四等分

25、，总存在两个点满足|sin/APBsin/APB| =.j 41，在y轴上，对于任意其他 5个点，也总存在两个点满足| sin/APB -sinAPjB| -.j 411.浦东10 .已知6个正整数，它们的平均数是 5,中位数是4,唯一众数是3,则这6个数方差的最大值为 (精确到小数点后一位)【解析】12.3,根据题意，设该六个正整数为a、3、3、5、b、c,，a+b + c =19 ,二.要使得方差最大，需要各数差异最大，a =1, b=6, c=12,此时方差为12.311 .已知正方形 ABCD边长为8, BE=EC, DF =3FA ,若在正方形边上恰有 6个不同的点p ,使pE pF

26、=九，则人的取值范围为 【解析】(1,8),建系，设P(x,y),则由BE=EC, 得 E(4,0),由 DF=3FA得 F(2,8),从而由PE PF =(4x,y) (2 -x,8 y)=九，可得P的轨迹方程为(x -3)2 +(y 4)2 =九+17 ,与正方形四条边有且仅有6个公共点，半径 JZ+17 (4,5),解得( (-1,8)212 .已知f(x)=2x +2x+b是定义在1,0上的函数，若ff(x)E0在定义域上恒成立,而且存在实数Xo满足：ff(x0)=x。且f(x0)x0,则实数b的取值范围是 1 311【解析】_), f(x)min =f(，)=b,，f(x)max =

27、 f(0)=f(1)=b,2 82211“r ,-1 b b W0= bW,0,满足 f f(x) 0,且 h(-1) = b+ S,233令 h(x) = 2x +3x +b + ,-1 0时，_xxxxxf(x) =4 +(2x9)2 +(x 3)(x 6) =(2 +x 3)(2 +x6)=0,即 2 =3 x 或2x =6x,结合 y =2x 和 y =3x、y=6 x 图像可得，x = 1 或 x = 2, f(1)=f(2)=0,f(x)为偶函数，f(1) = f(2)=0,即所有零点的集合为2,1,1,2.2212.如图，A是圆O:x +y =9上的任意一点，B、C是圆O直径的两

28、个端点，点 D在直 一一，二一T 一，一1径BC上，BD =3DC，点P在线段AC上，若AP = PB + (九)PD ,则点P的轨迹方2程为一一 22I I 1 .1 . .一【解析】(x1)2 +y2 =4 ,如图所示，设 PC=NAP, PC =KNPB + (R7P)PD ,21 , r . B、D、C 二点共线，KN+(N 7P) =1 ,即 N =2 , . . PC =2AP ,设 P(x,y),2则 A(3x二1,双)，代入圆的方程，(3x二1)2+(处)2=9,即(x1)2+y2 =4. 222216.如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y = x等分成八个区域(不含边

29、界)，已知数列an , Sn表示数列an的前n项和，对任意的正整数 n ,均有4(20%)=1 , 当 an 0 时，点 R(an,an+)()A.只能在区域B.只能在区域和C.在区域均会出现D.当n为奇数时，点Pn在区域或, 当n为偶数时，点 R在区域或1【解析】 选 B.由题意，an卡(2S + &)=1 ,且 2Sn =+an,an A0 , S 1,an2得：an 1 =-2Sn ； 4Sn 4= -Sn 土 JS2 +1 ,分两种情况讨论:1ancan，此时 an 书 W(0,an)；, Sn斗=Sn +an书，即Hn不(2& + Hn4)=1 ,整理信2门4+2&2门书1=0,由求

30、根公式，2w（g,an）,点 Pn（an,an噂）在区域.当an噂w (0,an),点Fn (an,an+)在区域；当a13.金山11.若集合A =x| x 2 若 A=2,则需满足 f (1)0 , f(2)0, f(3)2 0,解得 aW0 ； . aw (,*. 3方法二：可以转化为 x2 2x+2 0,如图所示，,1 2 f(1)rg(1)且 f (2)2(2)，.- a =(-,-2 312.正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,动点P满足|OF|4-1 ,2m 1,.若AP=mAB+nAD ,其中m、n=R,则m的最大值是（a+2）x+2a 0 ,2 3 a = M+2-，此时对称轴xua/范围在（1,2）之间，集合 A中的元素为1或2.12若 A=1,则需满足 f(0)0, f (1)0 , f(2)至0 ,解得a ；2n 223【解析】1,如图建系，AP=mAB + nAD = m(2,0) +n(0,2) =(2m,2n),，P(2m,2n),O（1,1）, |OP| =诋，（2m1）2+（2n1）2 =1 ,即（n1）2+（m 1）222222m 11-的几何息义可以看作点 （n,m）与点（-1,-一）连线的斜率大小，2n 22.结合图